江苏2020中考一轮复习培优 第20课时　直角三角形与勾股定理 练习课件

课时训练(二十)　直角三角形与勾股定理

(限时:40分钟)

|夯实基础|

1.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是 (    )

A.a=-2       B.a=   

C.a=1       D.a=

2.如图K20-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点,连接ED,则∠EDC的度数是 (　　)

图K20-1

A.25°       B.30°   

C.50°       D.65°

3.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是              (    )

图K20-2

4.[2016·连云港]如图K20-3①,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1,S2,S3;如图②,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=              (    )

图K20-3

A.86        B.64    

C.54        D.48

5.[2017·十堰]如图K20-4,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为              (　　)

图K20-4

A.3   B.3   C.6   D.6

6.数学文化[2019·大庆] 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图K20-5所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是　　　　. 

图K20-5

7.[2019·宜宾] 如图K20-6,已知直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=　　　　. 

图K20-6

8.[2019·安顺] 如图K20-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D为斜边BC上的一个动点,过D分别作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为　　　　. 

图K20-7

9.数学文化[2017·丽水]我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图K20-8①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为　　　　. 

图K20-8

10.如图K20-9,折叠矩形纸片ABCD,得折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DF.若AB=4,BC=2,则AF=　　　　. 

图K20-9

11.如图K20-10,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC的面积是　　　　. 

图K20-10

12.[2019·鄂州] 如图K20-11,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,BP=　　　　. 

图K20-11

13.[2019·巴中]如图K20-12,等腰直角三角板如图K20-12放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.

(1)求证:EC=BD;

(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

图K20-12

14.[2017·徐州]如图K20-13,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.

(1)线段DC=　　　　; 

(2)求线段DB的长度.

图K20-13

|拓展提升|

15.[2015·徐州]如图K20-14,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,…,如此下去,第n个正方形的边长为　　　　. 

图K20-14

16.[2018·成都]如图K20-15,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E,若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为　　　　. 

图K20-15

17.[2018·重庆A卷]如图K20-16,把三角形纸片折叠,使点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,则△ABC的边BC的长为　　　　厘米. 

图K20-16

【参考答案】

1.A　[解析]说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是a=-2,|-2|=2.

故选A.

2.D　[解析]因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°,所以∠ACD=90°-∠A=25°,因为∠ACB=90°,所以∠DCE=

90°-∠ACD=65°,因为在Rt△CDB中,E是BC的中点,所以EC=ED,所以∠EDC=∠DCE=65°.

3.D　[解析]如图,连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,即OP是一个定值,点P就在以O为圆心,以OP长为半径的一段圆弧上,所以点P下落的路线是一段弧线.故选D.

4.C　[解析]如图①,S1=AC2,S2=AB2,S3=BC2.∵AB2=AC2+BC2,∴S1+S3=AC2+BC2=AB2=S2,∴S3=S2-S1.

如图②,易求S4=S5+S6,∴S3+S4=S2-S1+S5+S6=45-16+11+14=54.

故选C.

5.D　[解析]把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点A,C的最短距离为线段AC的长.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,∵CB为底面半圆弧长,∴CB=3,∴AC=3,∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6.

6.1　[解析](a-b)2=a2+b2-2ab,因为大正方形的面积为13,所以由勾股定理可得,a2+b2=13,直角三角形面积=(13-1)÷4=3,即ab=3,所以ab=6,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1.

7.　[解析]在Rt△ABC中,AB==5,易证△ADC∽△ACB,∴=,∴AD==,故答案为:.

8.　[解析]连接AD,∵DM⊥AB,DN⊥AC,

∴∠AMD=∠AND=90°,

又∵∠BAC=90°,∴四边形AMDN是矩形,

∴MN=AD.

∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5,

当AD⊥BC时,AD最短,

此时△ABC的面积=BC·AD=AB·AC,

∴AD的最小值==,

∴线段MN的最小值为.

9.10　[解析]设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b,根据题意得解得由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为==10,即正方形EFGH的边长为10.

10.-1　[解析]在Rt△ABD中,AB=4,AD=BC=2,∴BD===2,由折叠的性质可得,△ADF≌△EDF,∴ED=AD=2,EF=AF,∴EB=BD-ED=2-2,设AF=x,则EF=AF=x,BF=4-x,在Rt△EBF中,x2+(2-2)2=(4-x)2,解得x=-1,即AF=-1.

11.8　[解析]∵DC⊥BC,∴∠BCD=90°,∵∠ACB=120°,∴∠ACD=30°,

延长CD到H使DH=CD,连接AH.

∵D为AB的中点,∴AD=BD,

在△ADH与△BDC中,

∴△ADH≌△BDC(SAS),

∴AH=BC=4,∠H=∠BCD=90°,

∵∠ACH=30°,

∴CH=AH=4,

∴CD=2,

∴△ABC的面积=2S△BCD=2××4×2=8,故答案为:8.

12.2或2或2　[解析]当∠APB=90°时,∵AO=OB=2,∠1=60°,

∴BP=OP=OB=2;

当∠PAB=90°时,∵∠AOP=60°,

∴AP=OA·tan∠AOP=2,

∴BP==2;

当∠P'BA=90°时,∵∠1=60°,

∴BP'=OB·tan∠1=2.

故答案为:2或2或2.

13.证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,

∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°.

∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°,

∴∠BCD=∠CAE.

∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,

∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD.

(2)∵△AEC≌△CDB,

∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c,

∵S梯形AEDB=(AE+BD)ED=(a+b)(a+b),S梯形AEDB=ab+c2+ab,

∴(a+b)(a+b)=ab+c2+ab,

整理可得a2+b2=c2,勾股定理得证.

14.解:(1)4

(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,

∴△CAD是等边三角形,

∴CD=AC=4,∠ACD=60°,过点D作DE⊥BC于E.

∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.

在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,

∴DE=CD=2,CE=2,∴BE=,

在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=.

15.()n-1　[解析] ∵正方形ABCD的边长为1,

∴AC==,∴第二个正方形的边

长为,同理得第三个正方形的边长AE=2=()2,第四个正方形的边长AG=2=()3,…,因此第n个正方形的边长为()n-1,故答案为()n-1.

16.　[解析]连接AE,由作图可知MN为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=3,在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2,∴AD==,

在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2,

∵CD=DE+CE=5,

∴AC==.

17.(4+6)　[解析]如图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.

∵∠AGE=30°,

EG=2厘米,

∴EM=EG=(厘米).

在Rt△EMG中,由勾股定理,得

MG==3(厘米),从而AG=6厘米.

由折叠可知,BE=AE=2厘米,GC=AG=6厘米.

∴BC=BE+EG+GC=2+2+6=4+6(厘米).