江苏2020中考一轮复习培优 第31课时　尺规作图 练习课件

课时训练(三十一)　尺规作图

(限时:30分钟)

|夯实基础|

1.[2017·随州] 如图K31-1,用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F,那么第二步的作图痕迹②的作法是              (　　)

图K31-1

A.以点F为圆心,OE长为半径画弧

B.以点F为圆心,EF长为半径画弧

C.以点E为圆心,OE长为半径画弧

D.以点E为圆心,EF长为半径画弧

2.[2019·深圳] 如图K31-2,已知AB=AC,AB=5,BC=3.以A,B两点为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N作直线与AC相交于点D,则△BDC的周长为              (　　)

图K31-2

A.8　　　      

B.10　　　  

C.11　　　      

D.13

3.[2019·长春] 如图K31-3,在△ABC中,∠ACB为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使∠ADC=2∠B,则符合要求的作图痕迹是              (　　)

图K31-3

4.[2019·河南] 如图K31-4,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O,若点O是AC的中点,则CD的长为              (　　)

图K31-4

A.2   B.4    C.3    D.

5.[2019·兰州] 如图K31-5,矩形ABCD,∠BAC=60°,以点A为圆心,任意长为半径作弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于　　　　. 

图K31-5

6.[2018·山西] 如图K31-6,直线MN∥PQ.直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为　　　　. 

图K31-6

7.[2019·陇南] 已知:在△ABC中,AB=AC.

(1)求作:△ABC的外接圆.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,则S☉O=　　　　. 

图K31-7

8.[2019·德州] 如图K31-8,∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠PAC=30°,AC=2.

(1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在A,C两点分别与射线PB和PD相切.要求:写出作法,并保留作图痕迹;

(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明;

(3)求所得的劣弧与线段PA,PC围成的封闭图形的面积.

图K31-8

|拓展提升|

9.[2018·益阳] 如图K31-9,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=　　　　. 

图K31-9

10.[2019·无锡] 按要求作图,不要求写作法,但要保留必要的作图痕迹.

(1)如图K31-10①,A为☉O上一点,请用直尺(不带刻度)和圆规作出☉O的内接正方形ABCD;

(2)我们知道,三角形具有性质:三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点,三条中线相交于一点.事实上,三角形还具有性质:三条高所在直线相交于一点.请运用上述性质,只用直尺(不带刻度)作图:

①如图②,在▱ABCD中,E为CD的中点,作BC的中点F;

②如图③,在由小正方形组成的4×3的网格中,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,作△ABC的高AH.

图K31-10             

【参考答案】

1.D

2.A　[解析] 由作图方法知,MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴△BDC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=5+3=8.故选A.

3.B　[解析] ∵∠ADC=2∠B,且∠ADC=∠B+∠BCD,∴∠B=∠BCD,∴点D在线段BC的垂直平分线上.

故选B.

4.A　[解析] 过点B作BM⊥AD于点M,

∵AD∥BC,

∴∠BCD+∠D=180°,

又∵∠D=90°,∴∠BCD=90°,

∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°,

∴四边形BCDM为矩形,∴BM=CD,DM=BC.

由作图可知AE=CE,

又∵O是AC的中点,

∴BF所在直线垂直平分线段AC,

∴AB=BC=3.

在Rt△ABM中,∠AMB=90°,AM=AD-MD=1,

∴BM===2,

∴CD=2.

故选A.

5.3　[解析] 在矩形ABCD中,∠BAC=60°,

∴∠B=90°,∠BCA=30°,

由题意知AE平分∠BAC,

∴∠BAE=∠EAC=30°,

∵在Rt△ABE中,BE=1,

∴AE==2,AB==,

∵∠EAC=∠ECA=30°,

∴EC=AE=2,

∴BC=3,

∴S矩形ABCD=AB·BC=3.

6.2　[解析] 过点A作AG⊥PQ交PQ于点G,

由作图可知,AF平分∠NAB.

∵MN∥PQ,AF平分∠NAB,∠ABP=60°,

∴∠AFG=30°,

在Rt△ABG中,∠ABP=60°,AB=2,

∴AG=.

在Rt△AFG中,∠AFG=30°,AG=,

∴AF=2.

7.解:(1)如图,☉O即为所求.

(2)25π　[解析] 设线段BC的垂直平分线交BC于点E.

由题意可知,OE=4,BE=EC=3,

在Rt△OBE中,OB==5,

∴S☉O=π·52=25π.

故答案为25π.

8.解:(1)作法:①过A,C分别作PB,PD的垂线,它们相交于点O;

②以O为圆心,OA长为半径画圆,则劣弧AC即为所求.如图.

(2)已知:∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠PAC=30°,AC=2,过A,C分别作PB,PD的垂线,它们相交于O,以OA为半径作☉O.

求证:PB,PD为☉O的切线.

证明:∵∠BPD=120°,∠PAC=30°,

∴∠PCA=30°,

∴PA=PC,

连接OP,

∵OA⊥PA,OC⊥PC,

∴∠PAO=∠PCO=90°,

∵OP=OP,

∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL),

∴OA=OC,

∴PB,PD为☉O的切线.

(3)∵∠OAC=∠OCA=90°-30°=60°,

∴△OAC为等边三角形,

∴OA=AC=2,∠AOC=60°.

∵PO平分∠APC,

∴∠APO=60°,

∴AP=×2=2,

∴劣弧AC与线段PA,PC围成的封闭图形的面积=S四边形APCO-S扇形AOC=2××2×2-=4-2π.

9.　[解析] 过点O作OD⊥AC,垂足为D.

由作图可知AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线,

∴点O为△ABC的内心,CO平分∠ACB,

∵AB=5,AC=4,BC=3,32+42=52,

∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°.

易知OD为△ABC的内切圆半径,

∴OD==1.

∵∠OCD=∠ACB=45°,

∴△OCD为等腰直角三角形,

∴OC=OD=.

10.解:(1)连接AO并延长交圆O于点C,作AC的垂直平分线交圆O于点B,D,四边形ABCD即为所求.

(2)①连接AC,BD交于点O,连接EB交AC于点G,连接DG并延长交CB于点F,F即为所求.

②作图如下.