江苏2020中考一轮复习培优 第24课时　解直角三角形的应用 练习课件

课时训练(二十四)　解直角三角形的应用

(限时:30分钟)

|夯实基础|

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AC=6 cm,则BC的长度为 (　　)

A.6 cm   B.7 cm   C.8 cm   D.9 cm

2.[2019·长沙]如图K24-1,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船与小岛A的距离是              (　　)

图K24-1

A.30 n mile B.60 n mile  C.120 n mile  D.(30+30) n mile

3.[2019·泰安] 如图K24-2,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为              (　　)

图K24-2

A.(30+30) km     B.(30+10) km

C.(10+30) km     D.30 km

4.如图K24-3,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°,沿直线AN向点N方向前进16 m,到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等于              (　　)

图K24-3

A.8(+1)m  B.8(-1)m  C.16(+1)m  D.16(-1)m

5.[2017·泰州]小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了　　　　m. 

6.[2019·广东]如图K24-4,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是　　　　米(结果保留根号). 

图K24-4

7.[2019·德州] 如图K24-5,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到点D,梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为　　　　米.

.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64) 

图K24-5

8.[2018·淮安]为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图K24-6所示,求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)

图K24-6

9.[2018·宿迁]如图K24-7,为了测量山坡上一棵树PQ的高度,小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°,然后他沿着正对树PQ的方向前进10 m到达点B处,此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°.设PQ⊥AB,且垂足为C.

(1)求∠BPQ的度数;

(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1 m,≈1.73).

图K24-7

|拓展提升|

10.[2019·嘉兴]某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图K24-8①,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图②).工作时如图③,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线上时,斗杆顶点D升至最高点(示意图④).

(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数;

(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?

(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,≈1.73)

图K24-8

11.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,车轮半径为32 cm,∠BCD=64°,BC=60 cm,坐垫E与点B的距离BE为15 cm.

(1)求坐垫E到地面的距离.

(2)根据经验,当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm,现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E',求EE'的长.

(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)

图K24-9

【参考答案】

1.C　[解析]∵sinA==,

∴设BC=4x,AB=5x,

∵AC2+BC2=AB2,

∴62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍去),则BC=4x=8(cm),故选C.

2.D　[解析]过C作CD⊥AB于D点,则∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60.

在Rt△ACD中,AD=AC=30,cos∠ACD=,∴CD=AC·cos∠ACD=60×=30.

在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD=30,

∴AB=AD+BD=30+30(n mile).故选D.

3.B　[解析]如图,由题中方位角可知∠A=45°,∠ABC=75°,∠C=60°,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,

∠A=45°,AB=30,∴AD=ABcosA=30,BD=ABsinA=30,在Rt△BCD中,∠C=60°,∴CD==10,

∴AC=AD+CD=30+10,故选B.

4.A　[解析]设BN=x,则AN=16+x.

在Rt△BMN中,MN=x·tan45°=x.

在Rt△AMN中,16+x=x,

解得x=8(+1).

∴建筑物MN的高度等于8(+1)m.

5.25　[解析]如图,过点B作BE⊥AC于点E,∵坡度i=1∶,∴tanA=1∶=,∴∠A=30°,∵AB=50 m,

∴BE=AB=25(m).∴小明沿垂直方向升高了25 m.

6.(15+15)　[解析]作BE⊥AC于E,则CD=BE=15,∠ABE=30°,∠CBE=45°,所以AE=15,CE=BE=15,所以AC=AE+CE=15+15.

7.1.02　[解析]∵∠ABO=70°,AB=6米,

∴sin70°==≈0.94,解得:AO=5.64(米),

∵∠CDO=50°,DC=6米,∴sin50°=≈0.77,解得:CO=4.62(米),则AC=5.64-4.62=1.02(米),故答案为:1.02.

8.解:过P作PC⊥AB于C,

在Rt△ACP中,tan∠APC=tan60°=,

即AC=PCtan60°=PC,

同理可得,BC=PC,

∵AB=AC-BC=PC-PC=200,

∴PC==100(+1)≈273.

答:凉亭P到公路l的距离约为273米.

9.解:(1)∵△PBC为直角三角形,且∠PBC=60°,

∴∠BPQ=90°-60°=30°.

(2)∵∠PBQ=∠PBC-∠QBC=60°-30°=30°,

∠BPQ=30°,

∴BQ=PQ.

设CQ的长度为x,则PQ=BQ=2x,BC=CQ=x.

∵∠A=45°,∴AC=PC.

∵AB=10,∴2x+x=10+x.

∴x=.

∴PQ=2×≈15.8(m).

10.解:(1)如图①,过点C作CG⊥AM于点G,

∵AB⊥AM,DE⊥AM,

∴AB∥DE∥CG,

∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.

∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°.

∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.

∴动臂BC与AB的夹角∠ABC为150°.

(2)如图②,过点C作CP⊥DE于点P,过点B作BQ⊥DE于点Q,交CG于点N.

在Rt△CPD中,DP=CD·cos70°≈0.51(米),

在Rt△BCN中,CN=BC·sin60°≈1.04(米),

∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米),

如图③,过点D作DH⊥AM于点H,过点C作CK⊥DH于点K.

在Rt△CKD中,DK=CD·sin50°≈1.16(米),

∴DH=DK+KH=3.16(米),

∴DH-DE≈0.8(米).

∴斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.

11.解:(1)如图①,过点E作EM⊥CD于点M,

由题意知∠BCM=64°,

EC=BC+BE=60+15=75(cm),

∴EM=EC·sin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm),故坐垫E到地面的距离为67.5+32=99.5(cm).

(2)如图②所示,过点E'作E'H⊥CD于点H,

由题意知E'H=80×0.8=64(cm),

则E'C==≈71.1(cm),

∴EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9(cm).