高中数学第3章 不等式3.1 不等式的基本性质优质第2课时2课时导学案

这是一份高中数学第3章 不等式3.1 不等式的基本性质优质第2课时2课时导学案，共4页。学案主要包含了学习目标，问题导引，即时体验，导学过程，课堂练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。

一、学习目标


1. 了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念,探索并理解基本不等式的证明过程.


2. 理解基本不等式的几何意义,并能够应用基本不等式进行简单证明.


3. 了解用综合法、分析法证明不等式.


二、问题导引


预习教材P51—53,然后思考下面的问题.


1. 判断两个数的大小最常用哪种方法?


2. 怎样表示两个正数a, b的算术平均数?几何平均数呢?两者之间的大小关系怎样呢?


三、即时体验


1. 写出下列各组正数的算术平均数和几何平均数:


(1) 8, 6;


(2) 3-2, 3+2;


(3) (a+b)2, (a-b)2.


2. 比较大小:


(1) 2+8 22×8; (2) 1+3 23; (3) a2+b2 2ab.


四、导学过程


类型1 利用基本不等式证明不等式


【例1】 设a, b均为正数,证明下列不等式成立:


(1) ba+ab≥2; (2) a+1a≥2.











【例2】 已知a, b, c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.

















类型2 利用基本不等式判断不等式


【例3】 对于s>0 ,t>0,下列不等式中不成立的是( )


A. st2<1s+1t B. st≤s2+t22


C. st≤s+t22 D. s+t22≤s2+t22











五、课堂练习


1. 已知a>b>0,将a, b, a+b2, ab按从大到小的顺序排列为 .


2. (多选)若a, b∈R,且ab>0,则下列不等式中不成立的是( )


A. a2+b2>2ab B. a+b≥2ab


C. 1a+1b>2ab D. ba+ab≥2


3. 求证:x2+4≥4x.














4. 已知a, b, c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
































六、课后作业


1. 已知1a<1b<0,有下列不等式:①a+b|b|; ③b>a; ④a+b≥2ab.


其中正确的有( )


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个


2. (多选)下列不等式中一定成立的是( )


A. a+b2≥ab B. x+1x≥2 C. a2+b22≥ab D. x2+1x2≥2


3. (多选)若a, b∈R,则下列不等式中一定成立的是( )


A. a2+b2≥2|a||b| B. a+b22≥ab


C. a+b22≤a2+b22 D. a+bab≥2


4. 已知a, b为实数,则“ab>0”是“ab+ba>2”的( )


A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件


C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件


5. 若规定a bc d=ad-bc(a, b, c, d∈R),则a -2b2b a a-2ab2b.(填“>”“<”“≥”“≤”或“=”)


6. 若a>0,则8a+12a≥ ,当a= 时取“=”.


7. 已知m>0, n>0,求证:mnm+n≤mn2.


























8. (多选)下列不等式中一定成立的是( )


A. x2+1>2x B. x+1x≥2


C. 1a+1b≥2ab D. x2+2x2+1≥2


9. 已知a>0, b>0,则下列不等式中不成立的是( )


A. a+b+1ab≥22 B. (a+b)1a+1b≥4


C. a2+b2ab≥2ab D. 2aba+b>ab


10. 已知a>0, b>0,则21a+1b a+b2.(填“>”“<”“≥”“≤”或“=”)


11. 若a>0,则(3-a)1-3a 0.(填“>”“<”“≥”“≤”或“=”)


12. 已知x>0, y>0,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.























13. 已知a, b, c∈R,求证:a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c).