2017-2018学年河北省邢台市南和县八年级（上）期末数学试卷


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2017-2018学年河北省邢台市南和县八年级（上）期末数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. （3分）下列图形中，对称轴最多的图形是（　　）
A.
B.
C.
D.
2. （3分）计算3ab÷的结果是（　　）
A. b B. 18a C. 9a D. 9a
3. （3分）下列计算中正确的是　　
A. B.
C. D.
4. （3分）教室的一扇窗户打开后，用窗钩可以将其固定，这里所运用的几何原理是　　
A. 两点之间线段最短
B. 三角形的稳定性
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
5. （3分）如图，已知AB=AD，BC=DC，则下列说法中不一定正确的是（　　）

A. AE=CE
B. ∠ AEB=90°
C. ∠ BCE=∠ DCE
D. BE=DE
6. （3分）计算（-2x+3y）（2x-3y）的结果为（　　）
A. -4x2+12xy-9y2
B. 4x2-9y2
C. 4x2-12xy+9y2
D. 9y2-4x2
7. （3分）如图，已知，按照以下步骤画图：
（1）以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以点、为圆心，大于的长半径画弧，两弧在内部相交于点．
（3）作射线．
则判断的依据是．

A． B． C． D．
8. （3分）如图，△ABC以直线m为对称轴的轴对称图形，若BC=8，AD=7，则阴影部分的面积是（　　）

A. 56 B. 28
C. 14 D. 无法确定
9. （3分）如图，点M在射线OA上，点N在射线OB上，芳芳在直线MN上求作一点P，使它到OA、OB的距离相等，则点P是（　　）

A. 线段MN的中点
B. OA与OB的中垂线的交点
C. OA与MN的中垂线的交点
D. MN与∠ AOB的平分线的交点
10. （3分）某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为45°，下方是一个直径为70cm，高为100cm的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（　　）

A. 30cm B. 35cm C. 35cm D. 65cm
11. （3分）已知一个等腰三角形的两边长，满足方程组，则此等腰三角形的周长为　　
A. B. C. D. 或
12. （2分）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠ PCD=（　　）

A. 60° B. 90° C. 45° D. 75°
13. （2分）如图，在∠ AOB中，OC平分∠ AOB，OA＞OB，∠ OAC+∠ OBC=180°，则AC与BC之间的大小关系是（　　）

A. AC=BC B. AC＞BC
C. AC＜BC D. 无法确定
14. （2分）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植棵树，甲班植棵树所用的天数与乙班植棵树所用的天数相等若设甲班每天植树棵，则根据题意列出方程是　　
A. B.
C. D.
15. （2分）如果是一个完全平方式，则的值是　　
A. B. C. D.
16. （2分）如图，∠ BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A2，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=（　　）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. （3分）如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件：① AB=CD；② BE∥DF；③ ∠ B=∠ D；④ BE=DF．其中不一定能使△ABE≌△CDF的是______（填序号）

18. （3分）分解因式： ．
19. （3分）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动当点的运动速度为______厘米秒时，能够在某一时刻使与全等．


评卷人
得分



三、 解答题（共8题）
20. （6分）解分式方程：．
21. （10分）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
（1）当x=-5时，代数式x2-2x+2______1；
当x=1时，代数式x2-2x+2______1；…
（2）归纳与证明：在草稿纸上换几个数再试试，根据前面的实验观察你能发现怎样的规律?请写出来，并说明它是正确的．
22. （6分）先化简，再求值：1-÷，其中x=-2，y=．
23. （8分）如图，在中，，，分别以，为边作两个等腰直角三角形和，使．
求的度数；
求证：．
24. （8分）已知：如图AD为△ABC的高，F为AD上一点，且FD=CD，BF交AC于E，且有BD=AD．求证：BE⊥AC．

25. （9分）一项工程，甲，乙两公司合作，天可以完成，共需付施工费元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少元．
甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
26. （9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠ A=50°时，求∠ DEF的度数．

27. （12分）【原题】
如图1，在△ABC中，∠ BAC的平分线与∠ ABC的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D（BD＞AD），求证：BC-AC=BD-AD．
【尝试探究】
在图1中过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC，因为∠ BAC的平分线与∠ ABC的平分线交于点O，所以OD=______=______，所以CO是∠ ACB的平分线，所以利用全等三角形的性质可得BD=______，AD=______，CE=CF，所以BC-AC=BD-AD
【类比延伸】
如图2，在四边形ABCD中，各角的平分线交于点O，试判断AB，BC，CD，AD之间的数量关系，并加以证明．


参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】解：A选项中图形不是轴对称图形；
B选项中图形有3条对称轴；
C选项中图形不是轴对称图形；
D选项中图形有4条对称轴；
故选：D．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
2. 【答案】D
【解析】解：原式=3ab×=9a．
故选：D．
根据分式的除法法则计算即可．
本题考查了分式的乘除法．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
3. 【答案】D
【解析】解：、不是同类项不能合并，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D正确；
故选：．
根据合并同类项，可判断；根据同底数幂的除法，可判断；根据同底数幂的乘法，可判断；根据积的乘方，可判断．
本题考查了积的乘方，积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4. 【答案】B
【解析】解：窗户打开后，用窗钩钩住，正好构成三角形的形状，因此可以将其固定，
主要利用了三角形的稳定性．
故选：．
根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
5. 【答案】A
【解析】解：∵ AB=AD，BC=DC，
∴ AC是线段BD的垂直平分线，
∴ ∠ AEB=90°，BE=DE，∠ BCE=∠ DCE，
∴ 只有选项A不一定正确；
故选：A．
根据线段垂直平分线判定求出AC是线段BD的垂直平分线，推出∠ AEB=90°，BE=DE，∠ BCE=∠ DCE，即可得出答案．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6. 【答案】A
【解析】解：原式=-（2x-3y）（2x-3y）
=-（2x-3y）2
=-4x2+12xy-9y2，
故选：A．
先提取-1，即可得出-（2x-3y）2，再根据完全平方公式展开，即可得出选项．
本题考查了完全平方公式的应用，能根据公式进行展开是解此题的关键，完全平方公式有：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，难度不是很大．
7. 【答案】B
【解析】解：根据角平分线的作法可知，，，
又是公共边，
的根据是“”．
故选
根据角平分线的作图方法解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．
8. 【答案】C
【解析】解：∵ △ABC以直线m为对称轴的轴对称图形，

∴ △ABC是等腰三角形，且AB=AC，△CEF和△BEF的面积相等，
∴ 阴影部分的面积是三角形面积的一半，
∵ S=BC•AD=8×7=28，
∴ 阴影部分面积=28÷2=14．
故选：C．
由图，根据轴对称图形的性质可知，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
本题考查了轴对称性质；利用对称发现△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键．
9. 【答案】D
【解析】解：∵ 点M在射线OA上，点N在射线OB上，芳芳在直线MN上求作一点P，使它到OA、OB的距离相等，
∴ 点P是直线MN与∠ AOB的平分线的交点．
故选：D．
要想点P到OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定可知点P在∠ AOB的平分线上，又点P在直线MN上，所以点P是直线MN与∠ AOB的平分线的交点．
本题考查了角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
10. 【答案】D
【解析】解：如图，∵ 圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，∠ BCA=90°，
∴ 依题意得△ABC是一个斜边为70cm的等腰直角三角形，
∴ 此三角形中斜边上的高应该为35cm，
∴ 水深至少应为100-35=65cm．
故选：D．
由题可知，进入容器中的三角形ABC可看作是一个斜边为40cm的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为20cm，因此若使高为55cm容器中的水面与圆桶相接触，由此可以求出水深．
解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到等腰直角三角形中，利用它的性质即可解答．

11. 【答案】A
【解析】解：解方程组，得，
所以等腰三角形的两边长为，　
若腰长为，底边长为，由知，这样的三角形不存在．
若腰长为，底边长为，则三角形的周长为．
所以，这个等腰三角形的周长为．
故选A．
先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
12. 【答案】C
【解析】解：∵ 当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，
连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠ PCD=45°，
∴ ∠ PCD=45°．
故选：C．
根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠ PCD的度数．
此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．

13. 【答案】A
【解析】解：作CD⊥OA于，垂足为D，CE⊥OB交OB延长线于点E，如图：
∵ OC平分∠ AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ DC=CE，
∵ ∠ OAC+∠ OBC=180°，
∵ ∠ CBE+∠ OBC=180°，
∴ ∠ OAC=∠ CBE，
在△ADC和△EBC中，

∴ △DAC≌△BEC（AAS），
∴ AC=BC，
故选：A．
先作CD⊥OA，CE⊥OB，再根据角平分线的性质得出CD=CE，证明△DAC≌△BEC，得出AC=BC即可．
此题考查角平分线的性质，关键是添加辅助线来证明三角形全等．
14. 【答案】D
【解析】解：设甲班每天植树棵，则乙班每天植树棵，
由题意得，．
故选D．
设甲班每天植树棵，则乙班每天植树棵，根据甲班植棵树所用的天数与乙班植棵树所用的天数相等，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
15. 【答案】D
【解析】解：，
．
故选D．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和的积的倍，故．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式注意积的倍的符号，避免漏解．
16. 【答案】B
【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠ AOA1=∠ OA1A，∠ A1OA2=∠ A1A2A，…，
∵ ∠ BOC=9°，
∴ ∠ A1AB=18°，∠ A2A1C=27°，∠ A3A2B=36°的度数，∠ A4A3C=45°，…，
∴ 9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故选：B．
根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠ A1AB的度数，∠ A2A1C的度数，∠ A3A2B的度数，∠ A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
二、 填空题
17. 【答案】④
【解析】解：∵ AB∥CD，
∴ ∠ A=∠ C，
添加① 可利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
添加② 可得∠ BEA=∠ DFC，可利用ASA定理证明△ABE≌△CDF；
添加③ 可利用AAS定理证明△ABE≌△CDF；
添加④ 不能定理证明△ABE≌△CDF；
故答案为：④ ．
根据AB∥CD，可得∠ A=∠ C，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18. 【答案】；
【解析】解：，
，
．
故答案为
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
19. 【答案】或
【解析】解：设经过秒后，使与全等，
厘米，点为的中点，
厘米，
，
要使与全等，必须或，
即或，
解得：或，
时，，；
时，，；
即点的运动速度是或，
故答案为：或
首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
三、 解答题
20. 【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21. 【答案】＞ =
【解析】解：（1）把x=-5代入x2-2x+2中得：25+10-2=33＞1；
把x=1代入x2-2x+2中得：1-2+1=1；
故答案是：＞；=；

（2）∵ x2-2x+2=x2-2x+1+1=（x-1）2+1，
x任何实数时，（x-1）2≥0，
∴ （x-1）2+1≥1．
（1）利用代入法把x的值代入代数式可得答案；
（2）首先把代数式变形为（x-1）2+1，根据非负数的性质可得，（x-1）2≥0，进而得到（x-1）2+1≥1．
此题主要考查了配方法的运用，非负数的性质，关键是掌握偶次幂具有非负性．
22. 【答案】解：原式=1-•=1-=-，
当x=-2，y=时，原式=．
【解析】
原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23. 【答案】解：为等腰直角三角形，
．
又，，
．
；

证明：和均为等腰直角三角形，
，，．
又，
．
≌．
．
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得的度数；
证明≌即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定；得到是正确解答本题的关键．
24. 【答案】证明：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°，
∵ BD=AD，FD=CD，∠ ADB=∠ ADC=90°，
∴ Rt△BDF≌Rt△ADC（SAS）
∴ ∠ C=∠ BFD，
∵ ∠ DBF+∠ BFD=90°，
∴ ∠ C+∠ DBF=90°，
∵ ∠ C+∠ DBF+∠ BEC=180°
∴ ∠ BEC=90°，即BE⊥AC．
【解析】
由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
25. 【答案】解：设甲公司单独完成此项工程需天，则乙公司单独完成此项工程需天．
根据题意，得，
解得，
经检验知是方程的解且符合题意．

故甲公司单独完成此项工程，需天，乙公司单独完成此项工程，需天；

设甲公司每天的施工费为元，则乙公司每天的施工费为元，
根据题意得，解得，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：元；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：元；
故甲公司的施工费较少．
【解析】
设甲公司单独完成此项工程需天，则乙工程公司单独完成需天，根据合作天完成列出方程求解即可．
分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解．
26. 【答案】（1）证明：∵ AB=AC，
∴ ∠ B=∠ C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴ △BDE≌△CEF（SAS），
∴ DE=EF，
∴ △DEF是等腰三角形；

（2）解：∵ △BDE≌△CEF，
∴ ∠ BDE=∠ CEF，
∴ ∠ BED+∠ CEF=∠ BED+∠ BDE，
∵ ∠ B+（∠ BED+∠ BDE）=180°，
∠ DEF+（∠ BED+∠ BDE）=180°，
∴ ∠ B=∠ DEF，
∵ ∠ A=50°，AB=AC，
∴ ∠ B=（180°-50°）=65°，
∴ ∠ DEF=65°．
【解析】
（1）根据等边对等角可得∠ B=∠ C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ BDE=∠ CEF，然后求出∠ BED+∠ CEF=∠ BED+∠ BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠ B=∠ DEF．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
27. 【答案】OE OF BE AF
【解析】解：尝试探究：如图1
过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OC，
∵ OD⊥AB，∠ BAC的平分线与∠ ABC的平分线交于点O，
∴ OD=OE=OF，CO是∠ ACB的平分线，
在Rt△ADO与Rt△AFO中，
，
∴ Rt△ADO≌Rt△AFO（HL），
∴ AD=AF，
同理BD=BE，CF=CE，
∴ BC-AC=BE+CE-AF-CF=BE-AF=BD-AD；

类比延伸；AB+CD=AD+BC．
如图2过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，
∵ BO平分∠ ABC，
∴ OE=OF，
在Rt△BOE与Rt△BOF中，
，
Rt△BOE≌Rt△BOF（HL），
∴ BE=BF，
同理CF=CM，DM=DN，AN=AE，
∴ AB+CD=AE+BE+CM+DM，
AD+BC=AN+BF+CF+DN，
∴ AB+CD=AD+BC．
尝试探究：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OC，由角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据全等三角形的性质得到结论；
类比延伸；．过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，由角平分线的性质得到OE=OF，根据全等三角形的性质得到BE=BF，CF=CM，DM=DN，AN=AE，于是得到AB+CD=AD+BC．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等式的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．