2017-2018学年河北省唐山市路南区八年级（上）期末数学试卷
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2017-2018学年河北省唐山市路南区八年级（上）期末数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共14题） |
1. （3分）下列各数使有意义的是
A. B. C. D.
2. （3分）下列图形中，不是轴对称图形的是
A.
B.
C.
D.
3. （3分）将 用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
4. （3分），则的取值范围是
A. B. C. D.
5. （3分）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值
A. 扩大倍
B. 缩小倍
C. 缩小为原来的
D. 不变
6. （3分）如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是
A. 是的中线
B. 是的中线
C. ，
D. 是的中线
7. （3分）计算的结果是
A. B. C. D.
8. （3分）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为．
A．
B．
C． 或
D．
9. （3分）化简结果正确的是
A. B. C. D.
10. （3分）下列结论错误的是．
A． 全等三角形对应边上的中线相等
B． 两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等
C． 全等三角形对应边上的高相等
D． 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等
11. （3分）等腰三角形一个角为，则这个等腰三角形的顶角可能为
A. B. C. D. 或
12. （3分）如图，，要使得，还需补充一个条件，不正确的是．
A． B．
C． D．
13. （3分）如图，是的中点，将沿过点的直线折叠，使点落在边上点处，若，则的度数为
A. B. C. D.
14. （3分）若分式的运算结果为，则在“口”中添加的运算符号为．
A． B． C． 或 D． 或
| 二、 填空题（共4题） |
15. （3分）如果分式有意义，那么的取值范围是______．
16. （3分）化简： ______ ．
17. （3分）如果，那么 ．
18. （3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则在
① ，② ，③ ，④ ，这四个数中长不可能是 （填序号）
| 三、 解答题（共7题） |
19. （6分）计算：
．
20. （6分）先化简，再求值，其中，．
21. （6分）解方程：．
22. （6分）某中学在商场购买甲、乙两种不同的运动器材，购买甲种器材花费元，购买乙种器材花费元，购买甲种器材数量是购买乙种器材数量的倍，且购买一件乙种器材比购买一件甲种器材多花元
（1）求购买一件甲种器材、一件乙种器材各需多少元？
（2）该中学决定再次购买甲、乙两种运动器材共件，恰逢该商场对两种运动器材的售价进行调整，甲种器材售价比第一次购买时提高了，乙种器材售价比第一次购买时降低了，如果此次购买甲、乙两种器材的总费用不超过元，那么这所学校最多可购买多少件乙种器材？
23. （8分）如图，在中，，为上一点，，连接．
（1）若，求证：为等腰三角形；
（2）若为直角三角形，求的度数．
24. （8分）已知的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，
（1）连接、，求证：；
（2）若，，求的长．
25. （8分）在中，，点和点在直线的同侧，，，，，连接，求的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当，时（如图），利用轴对称知识，以为对称轴构造的轴对称图形，连接（如图），然后利用，以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题
（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下，
① 证明是等边三角形；
② 求出的度数；
（2）结合小聪研究特殊问题的启发，直接写出这道题答案．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】解：使有意义，则，
解得：，
则符合题意．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
2. 【答案】D
【解析】解：、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3. 【答案】A
【解析】解： ．
故选：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4. 【答案】C
【解析】解：，
故选：．
根据算术平方根的结果都为非负数，可判断的取值．
注意被开方数必须是非负数，开方的结果也是非负数．
5. 【答案】D
【解析】解：根据题意得，
分式的值不变．
故选：．
先把分式的、用、替换，再提取公因式变形，可知把分式中的和都扩大倍就是把分式的分子分母同时扩大倍，根据分式的性质，那么分式的值不变．
本题考查了分式的性质分式的分子分母同乘以或除以一个不等于的整式，分式的值不变
6. 【答案】A
【解析】解：、分别是的边、的中点，
是的中位线，不是中线；是的中线；，；是的中线；
故选：．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线根据中线的定义分析各个选项．
本题考查了中线的概念：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线．
7. 【答案】C
【解析】解：．
故选：．
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题关键．
8. 【答案】B
【解析】解：当是底时，则腰长是，此时能够组成三角形；
当是腰时，则底是，此时，不能组成三角形，应舍去．
故选
此题要分情况考虑：是底或是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9. 【答案】A
【解析】解：，
故选：．
根据约分的方法，可以对题目中的式子化简，从而可以解答本题．
本题考查约分，解答本题的关键是明确约分的方法．
10. 【答案】B
【解析】解：
、，
，，，
是的中线，是中线，
，，
，
在和中
，
，正确，故本选项错误；
、如教师用得含度的三角板和学生用的含度的三角板就不全等，错误，故本选项正确；
、
，
，，
是的高，是的高，
，
在和中
，
，正确，故本选项错误；
、根据即可推出两直角三角形全等，正确，故本选项错误．
故选
画出图形，根据全等三角形的性质和判定（全等三角形的判定定理有，，，）判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等的判定定理除具有定理，，，外，还有定理
11. 【答案】D
【解析】解：分两种情况：
当角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角；
当角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：，
综上，等腰三角形的顶角为或．
故选：．
分两种情况：当角为等腰三角形的顶角时，可得出顶角的度数；当角为等腰三角形的底角时，可得两底角的度数，根据三角形的内角和定理可求出此时等腰三角形的顶角，综上，得到等腰三角形顶角的所有可能值．
此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了分类讨论的数学思想，是一道易错题本题有两解，学生做题时注意不要漏解．
12. 【答案】D
【解析】解：、在和中
，正确，故本选项错误；
、在和中
，正确，故本选项错误；
、在和中
，正确，故本选项错误；
、根据三个角对应相等的两个三角形不全等，错误，故本选项正确．
故选
根据可以推出两三角形全等；根据可以推出两三角形全等；根据可以推出两三角形全等；根据不能推出两三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
13. 【答案】B
【解析】解：如图所示：连接交于．
由翻折的性质可知：．
点是的中点．
又是的中点，
是的中位线．
．
．
故选：．
连接交于，由翻折的性质可知点是的中点，故此是的中位线，于是得到，由平行线的性质可求得．
本题主要考查的是翻折的性质、三角形中位线的定义和性质、平行线的性质，证得是的中位线是解题的关键．
14. 【答案】C
【解析】解：因为，
，
，
．
故选
可对两个分式分别进行加、减、乘、除运算，根据结果是否是对选择支作出判断．
本题考查了分式的加、减、乘、除掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
二、 填空题
15. 【答案】
【解析】解：根据题意，得
分母，即．
故答案是：．
若分式有意义，则分母，通过解关于的不等式求得的取值范围即可．
从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
16. 【答案】
【解析】解：．
故填：．
此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．
此题考查了二次根式的加减，关键是把二次根式化简，再进行合并．
17. 【答案】；
【解析】解：当时，
原式
．
故答案为
将代入原式可得答案．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算顺序和运算法则．
18. 【答案】④；
【解析】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于；
中，，，，
，
的长不能大于．
故答案为④
利用垂线段最短分析最小不能小于；利用含度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于．此题可解．
本题主要考查了垂线段最短和的性质和含度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含度角的直角三角形的性质得出．
三、 解答题
19. 【答案】解：原式；
原式；
原式．
【解析】
根据二次根式的性质化简；
根据二次根式的乘法法则运算；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20. 【答案】解：
，
当，时，原式．
【解析】
根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
21. 【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22. 【答案】（1）购买一件甲种器材需元，一件乙种器材需元
（2）这所学校最多可购买件乙种器材
【解析】解：（1）设购买一件甲种器材需要元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
即购买一件甲种器材需元，一件乙种器材需元；
（2）设这所学校再次购买了件乙种器材，
，
解得，，
最多可购买件乙种器材，
即这所学校最多可购买件乙种器材．
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一件甲种器材、一件乙种器材各需多少元；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少件乙种器材．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）或
【解析】（1）证明：，，
，
，
，
，，
，
，
即为等腰三角形；
（2）解：有两种情况：① 当时，
，
；
② 当时，；
即的度数是或．
（1）根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）有两种情况：① 当时，当时，求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．
24. 【答案】证明：（1）平分，，，
，
又垂直平分，
，
在和中
，
（2）在和中
，
，
，
，
，
．
【解析】（1）连、，如图，根据角平行线的性质定理得到，根据线段垂直平分线的性质得，则可利用““证明；
（2）先证明得到，再由得出，进而解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.也考查了角平分线的性质．
25. 【答案】
答案见解析
【解析】解：（1）① 如图2中，作，，连接，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
② 是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：第① 种情况：当时，
如图3中，作 ， ，连接，，
，
，
，
，
，
同（1）① 可证，
，，
，
，
，
由（1）② 可知，，
，
，
．
第② 种情况：当时，
如图4中，作，，连接，．
同理可得：，
，
同（1）① 可证，
，，，
，
，．
同（1）② 可证，
，
，
．
（1）① 如图2中，作，，连接，，由，推出是等边三角形；
② 借助① 的结论，再判断出，得，由此即可解决问题．
（2）第① 种情况：当时，如图3中，作 ， ，连接，，证明方法类似（1）．第② 种情况：当时，如图4中，作，，连接，．证明方法类似（1）．
此题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
