专题06 计数原理（模块测试）（解析版）

                     专题06 计数原理（模块测试）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（   ）

A．72种 B．144种 C．288种 D．360种

【答案】B

【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.

2、（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（    ）

A．216 B．480 C．504 D．624

【答案】C

【解析】当课程“御”排在第一周时,则共有种；

当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有种；

则,

故选：C

3、（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的展开式通项为：

当，即时，

项的系数为：

本题正确选项：

4、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（    ）个

A．120 B．132 C．144 D．156

【答案】B

【解析】先排0，2，4，再让1，3，5插空.

总的排法共，

其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共，此时构不成六位数，

故总的六位数的个数为.

故选：B.

5、（2020届山东省临沂市高三上期末）的展开式的中间项为（    ）

A．-40 B． C．40 D．

【答案】B

【解析】的展开式的通项为

则中间项为.

故选：B.

6、（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为、、、、（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（    ）

A．20 B．15

C．10 D．5

【答案】C

【解析】此题相当于在正五边形中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，

考虑放第一个位置，第二步只能或，依次ACEBD或ADBEC两种；

同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.

故选：C

7、（2021年江苏金陵中学学情调研）(x－1)(2x＋1)10的展开式中x10的系数为(   )

A．－512   B．1024    C．4096    D．5120

【答案】C

【解析】展开式中x10的项为xC(2x)9－C(2x)10＝(C·29－C·210)x10，

所以，展开式中x10的系数为C·29－C·210＝4096．

8、（2020届浙江省温州市高三4月二模）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】展开式的通项为：，故，

，

根据对称性知：.

故选：.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2021年江苏淮阴中学开学初调研）已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

【答案】：AB　

【答案】：∵已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，则n＝7或8.故选A、B.

10、（2021年山东师大附中模拟）二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“— —”，其中“——”在二进制中记作“1”，“— —”在二进制中记作“0”，其变化原理与“逢二进一”的法则相通．若从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

【答案】ABCD

【答案】根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类．第一类：由两个“——”组成，二进制数为11，转化为十进制数，为3.第二类：由两个“— —”组成，二进制数为00，转化为十进制数，为0.第三类：由一个“——”和一个“— —”组成，二进制数为10,01，转化为十进制数，为2,1.所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3，故选A、B、C、D.

11、（2020年山东日照学情调研）将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法共有(　　)

A．CCCC种  B．CA种

C．CCA种  D．18种

【答案】BC　

【答案】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，

有2种解法：

(1)分2步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；

②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；

则没有空盒的放法有CA种；

(2)分2步进行分析：

①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；

②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法．

则没有空盒的放法有CCA种．

由此可知，A、D错误．故选B、C.

12、（201年江苏金陵中学学情调研）已知，则

A．的值为2                       B．的值为16

C．的值为﹣5  D．的值为120

【答案】：ABC

【解析】：令x＝0，得，故A正确；

，故，B正确；

令x＝1，得①，又，

∴，故C正确；

令x＝﹣1，得②，由①②得：

，D错误．

故选ABC．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）

【答案】96

【解析】先排D、E、F，有种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有种排法；所以有96种排法．

故答案为：96.

14、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.

【答案】       

【解析】的展开式的通项为，

令，得，所以，展开式中的常数项为；

令，令，即，

解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.

故答案为：；.

15、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）

【答案】324

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，

将9人分成3组，有种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有种，

则有种分组方法，

②将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有种情况，

则有种不同的分配方案；

故答案为：324.

16、（2020·全国高三专题练习（理））在的展开式中,含项的系数是_______.

【答案】280

【解析】的展开式中： ，

取得到项的系数为

故答案为：

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（湖北省孝感市八校期末考试）3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？

（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）[来源:学#科#网Z#X#X#K]

【答案】（1）144；（2）1440.

【解析】试题分析：（1）利用插空法，先排男生，产生4个空，再安排女生，最后根据乘法原理得排法，

（2）利用捆绑法，先将甲、乙两人看成一个整体，与其余5人进行全排列，再乘以两人之间全排列得结果.

18、（山东省潍坊市寿光现代中学月考）已知展开式中第5项是常数项.

（1）求的值；

（2）求展开式中所有有理项.[来源:学#科#网]

【解析】试题分析：（1）求得展开式的通项公式为，在二项展开式的通项公式中，令且的幂指数等于零，即可求出的值；（2）在通项公式中，令的幂指数为整数，可得的值，从而得到展开式中所有有理项.

[来源:Z&xx&k.Com]

（2）在通项公式中，令的幂指数为整数，

可得，

故有理项为， .

19、（徐州期末测试）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中所有有理项的系数之和.

【解析】（1）由二项式定理得展开式中第项为

，

所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，

由题意可得，整理得，

解得或（舍去），

则展开式中二项式系数最大的项是第五项，

（2）因为，

若该项为有理项，则是整数，

又因为，

所以或或，

所以所有有理项的系数之和为
20、（湖北一中期末教学质量监测）

（Ⅰ）已知，求的值.

（Ⅱ）若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中二项式系数最大的项的系数.

【解析】（Ⅰ）令得

令得

（Ⅱ）由题意，即，解得或（舍）

 所以的展开式中第五项的二项式系数最大，由展开式的通项公式知第五项为，故所求的系数为.

21、（南京九校期初考试）已知二项式 的展开式.

(1)求展开式中含项的系数；

(2)如果第项和第项的二项式系数相等，求的值．

【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当的指数是时，可得到关于方程，解方程可得的值，从而可得展开式中含项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第项和第项的二项式系数相等，可得到一个关于的方程，解方程即可得结果.

【解析】(1)设第k＋1项为Tk＋1＝

令10－k＝4，解得k＝4，

故展开式中含x4项的系数为3 360.

(2)∵第3r项的二项式系数为，第r＋2项的二项式系数为，

∵ ＝，故3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10，

解得r＝1或r＝2.5(不合题意，舍去)，∴r＝1.

22、【陕西省黄陵中学高新部期开学考试】(1)设.

①求；

②求；

③求；

(2)求除以9的余数．

【解析】试题分析：（1）利用赋值法，令，求；（2）令x=-1，与（2）相加求；，；
③令，结合二项式系数和即可求出结果；
（2）利用二项式系数和，把 分解为9的倍数形式，再求对应的余数．

试题解析：(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.   

②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，

而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.       

③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.

（2）解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1[来源:学.科.网Z.X.X.K]

＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1

＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2

＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，

显然上式括号内的数是正整数．

故S被9除的余数为7.