初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀测试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟


一、选择题（每小题3分，共36分）


1.抛物线=2﹣6+5的顶点坐标为


A、（3，﹣4）B、（3，4） C、（﹣3，﹣4）D、（﹣3，4）


【答案】A。


【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标，或者用顶点坐标公式求解：


∵=2﹣6+5=2﹣6+9﹣9+5=（﹣3）2﹣4，∴抛物线=2+6+5的顶点坐标是（3，﹣4）．故选A。


【考点】二次函数的性质。


2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是


A．米 B．米C．米 D．米





【答案】A。


【解析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：


∵，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），


∴喷水的最大高度为4米。故选A。


【考点】二次函数的应用。


3、一个二次函数的图象的顶点坐标为（3，-1）与y轴的交点（0，-4）这个二次函数的解析式是（ ）


A． B．


C． y=- D．


【答案】B．


【解析】∵二次函数的图象的顶点坐标是（3，－1），∴设这个二次函数的解析式为，


把（0，﹣4）代入得，∴这个二次函数的解析式为．故选B．


【考点】待定系数法求二次函数解析式．


4．已知函数（a是常数，），下列结论正确的是（ ）


A．当a＝1时，函数图象经过点（－1，0） B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点


C．若a<0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a>0，则当时，y随x的增大而增大


【答案】D，


【解析】A、当a＝1时，函数解析式为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，


∴当a＝1时，函数图象经过点（－1，2），∴A选项不符合题意；


B、当a＝2时，函数解析式为y＝－2x2＋4x－1，令y＝－2x2＋4x－1＝0，则△＝42－4×（－2）×（－1）＝8＞0，∴当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，∴B选项不符合题意；


C、∵y＝ax2－2ax－1＝a（x－1）2－1－a，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，－1－a），当－1－a＜0时，有a＞－1，∴C选项不符合题意；


D、∵y＝ax2－2ax－1＝a（x－1）2－1－a，∴二次函数图象的对称轴为x＝1．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，∴D选项符合题意．故选D．


【考点】二次函数的性质。


5、为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（ ）


A． B． C． D．





【答案】D


【解析】由图可知，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即点C（-3,0），因为点F与点C关于y轴对称，所以点F（3,0），因为F是抛物线的顶点，设该抛物线为,即为，将点B（-1，1）代入得，，即，故选D.


【考点】二次函数解析式


点评：该题是常考题，主要考查学生对二次函数解析式中顶点法的应用。


6.由二次函数，可知


A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线


C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大


【答案】C


【分析】根据二次函数的性质，直接根据的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可：由二次函数，可知：


A.∵＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；


B．∵其图象的对称轴为直线=3，故此选项错误；


C．其最小值为1，故此选项正确；


D．当＜3时，随的增大而减小，故此选项错误。故选C。


【考点】二次函数的性质。


7. 4.在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图像可能是（ ）


A. B. C. D.


【答案】A


【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较看是否一致．


【解析】A、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；


B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；


C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；


D、由直线可知，直线经过（0，1），错误，故选A．


【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数性质.


8、已知二次函数y＝－x 2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )


A.y1＞y2＞y3 B. y1＜y2＜y3 C.y2＞y3＞y1 D. y2＜y3＜y1


【答案】A


【解析】因为a=－<0，此二次函数的开口方向向下，


又y＝－x 2－7x＋＝－( x+7) 2＋32，抛物线的对称轴为x=-7，


当x＞0＞-7时，y随x的增大而减少，故y1＞y2＞y3．


【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律，解决此类问题的方法一般是：先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．


9、已知二次函数有最大值0，则a,b的大小关系为（ ）


A． ＜ B． C． ＞ D． 大小不能确定


【答案】A


【分析】根据二次函数有最大值可判断a＜0，再根据最大值为0可判断b=0，据此即可进行比较a、b的大小．


【解析】∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最大值，


∴抛物线开口方向向下，即a<0，


又最大值为0，∴b=0，∴a

【考点】二次函数图像的最值和开口．


10．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=3，AB=2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE=1，则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a﹣b=0；④4a﹣2b+c=3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE=9．其中正确结论的个数为（ ）





A. 1个 B.2个 C.3 个 D.4 个


【答案】C


【解析】由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；


又OA=3，AB=2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c=3，选项②错误；


又A和B关于对称轴对称，且AB=2，∴对称轴为直线x=-=-1，即2a-b=0，选项③正确；


∴B（-2，3），将x=-2，y=3代入抛物线解析式得：4a-2b+c=3，选项④正确；


由OE=1，利用对称性得到CD=OE=1，又OC=AB=2，∴DE=CD+OC+OE=1+2+1=4，又OA=3，


则S梯形ABDE=OA（AB+DE）=9，选项⑤正确，


综上，正确的个数为3个．故选C．


【考点】二次函数图象与系数的关系.


11．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）





A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4


【答案】D


【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．


【解析】当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；


∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），


故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，


故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．


故选：C．


【考点】二次函数综合问题.


12.如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ）


①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；


④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．





A 4B. 3C. 2D. 1


【答案】A


【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．


【解析】∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），


∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；


∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；


∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，


∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；


∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），


∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，


即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．


故选：A．


【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．


二、填空题（每小题3分，共18分）


13.下列说法中正确的序号是


①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大


③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大


④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点


【答案】①②④


【解析】由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①正确；


由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；


根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y开口最大，故③不正确；


不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，④正确.


故选C.


【点睛】：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2的图像的特点，直接按断即可.


14．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是 ．





【答案】．


【解析】


试题分析：由题意可得：y=（50+2x）（30+2x）=4x2+160x+1500．


故答案为：．


【考点】根据实际问题列二次函数关系式．


15.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_____．





【答案】2


【解析】根据函数的图像可知其对称轴为x=-=1，解得b=-2a，


然后可知两根之和为x1+x2=-=2.


【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系，解题关键是由函数的图像求得对称轴x=-，然后根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=-求解即可.


16.已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是_________．





【答案】


【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．


【解析】二次函数中，顶点坐标为：，设顶点坐标为（x，y），


∴①，②，


由①2+②，得，∴；


故答案为：.


【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键，注意运用消元的思想解题．


17.如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为___．





【答案】1


【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，1），再将y=1代入y=4x2，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．


【解析】∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，1）．


当y=1时，4x2=1，解得x=±，


∴B点坐标为（﹣，1），C点坐标为（，1），


∴BC=﹣（﹣）=1，故答案为1．


【点睛】本题考查了二次函数的性质，两函数交点坐标的求法以及平行于x轴上的两点之间的距离的知识，解答本题的关键是求出点A的坐标，此题难度不大．


18.二次函数的部分图象如图所示， 图象过点(－1，0)，对称轴为直线＝2，则下列结论中正确的序号是 。①4＋b＝0； ②；③若点A(－3，)，点B(－，)，点C(5，)在该函数图象上，则＜＜；④ 若方程的两根为和，且＜，则＜－1＜5＜





【答案】①③④


【解析】由抛物线的对称轴为x=2可得-=2，即4a+b=0，故①正确；


由抛物线的对称性知x=0和x=4时，y＞0，则x=3时，y=9a+3b+c＞0，故②错误；


∵抛物线的开口向下，且对称轴为x=2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，


∵点A到x=2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3，


∴y1＜y3＜y2，故③正确；


令y=a（x+1）（x-5），则抛物线y=a（x+1）（x-5）与y=ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（-1，0）、（3，0），函数图象如图所示，





由函数图象可知方程a（x+1）（x-5）=-3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3交点的横坐标，∴x1＜-1＜5＜x2，故④正确；


故答案①③④


．


三、解答题（共46分）


19.（6分）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作平行四边形OAPQ，PQ所在直线与轴交于点B．设点P的横坐标为．（1）点Q落在x轴上时m的值．（2）若点Q在轴下方，则为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．











【分析】（1）可以令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3时m的值。


（2）根据当PB取最小值时，QB最大，当=2时，二次函数= 2－2＋3有最小值即可得出答案。


【答案】解：（1）令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3。


在= 2－2＋3中，令=3可求得点P横坐标m=4。


（2）∵QB=OA-PB=3-PB，∴当PB取最小值时，QB最大。


当=2时，二次函数= 2－2＋3有最小值y=1。


∴当m=2时，QB的最大值为2。


【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。


20.（8分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第天的总销量（千克）与的关系为；乙级干果从开始销售至销售的第天的总销量（千克）与的关系为，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：


⑴求、的值；⑵若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）【分析】⑴用待定系数法得二元一次方程组直接求解。


⑵列方程解应用题。关键是找出等量关系：天甲级干果销量＋天乙级干果销量＝总销量





⑶关键在表示第天干果的销售量，然后列不等式求解。


【解析】⑴选取表中任两组数据，代入，得


， 解得，。


⑵设甲级干果与乙级干果天销完这批货。


则有，


当


毛利润＝399×8＋741×6－1140×6＝798（元）


⑶第天甲级干果的销售量为


，


第天乙级干果的销售量为


。


依题意有。


答：从第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克。


【考点】二次函数的应用，解二元一次方程组和一元一次不等式，待定系数法。


21、（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：


（1）求y1关于x的函数表达式；


（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．


【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；


（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．


【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：


，解得：，故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；


（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则


y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，


∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，


答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．


【考点】二次函数的应用．


【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．


22、（8分) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9㎝，BC=2㎝，点M，N分别从A，B同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2㎝的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1㎝的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）.设运动时间为秒，△MBN的面积为.


（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；


（2）求△MBN的面积的最大值.





【解析】（1）∵S△MBN=MB·BN，MB=9－2x，BN=x………………1分


∴…………………………………………2分


即……………………………4分 （说明：自变量取值范围给1分）


（2）由（1）知：


∴…………………………………………6分


∵当时，y随x的增大而增大


而，∴当x=2时，y取最大值，且y最大值=5


即△MBN的面积的最大值是5cm2. ……………………………8分


【考点】二次函数的应用．


23、（8分）生物学上研究表明：不同浓度的生长素对植物的生长速度影响不同，在一定范围内，生长素的浓度对植物的生长速度有促进作用，相反，在某些浓度范围，生长速度会变缓慢，甚至阻碍植物生长（阻碍即植物不生长，甚至枯萎）．小林同学在了解到这一信息后，决定研究生长素浓度与茶树生长速度的关系，设生长素浓度为x克/升，生长速度为y毫米/天，当x超过4时，茶树的生长速度y与生长素x浓度满足关系式：．实验数据如下表，当生长速度为0时，实验结束．


（1）如图，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；





（2）根据上述表格，求出整个实验过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；


（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ；


（4）若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是： ．


【答案】（1）画出该函数图象如图所示；见解析；（2）


（3）当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；（4）．


【分析】（1）把表中的x，y的值分别描入平面直角坐标系中，再用直线或平滑的曲线连接即可；


（2）利用待定系数法进行求解，当0＜x＜4时，函数图像是直线，当4≤x≤8时，函数图像是抛物线；


（3）当0＜x＜4时，函数图像是直线，，y随x的增大而增大；


（4）直线y＝kx+3过点(0,3)，要与上述函数图像有2个交点，则直线过点（4，10）或（8，0），代入求解出k的值，进而求出k的取值范围．


【解析】（1）画出该函数图象如图所示；





（2）当0＜x＜4时，设y＝kx+b，


把（0，2），（2，6）代入y＝kx+b得，，解得：，∴y＝2x+2；


当4≤x≤8时，把（7，4），（8，0）代入得，


解得：∴y＝﹣x2+x+4；


∴整个实验过程中y与x的函数关系式为：；


（3）当0＜x＜4时，y随x的增大而增大，故答案为：当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；


（4）∵直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，∴当直线y＝kx+3过（4，10）或（8，0）时，


即把（4，10）或（8，0）分别代入y＝kx+3得，k＝或k＝﹣，


∴若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是：


故答案为：．


【点睛】本题考查了画函数图像，待定系数法，一次函数和二次函数的性质，函数的交点个数求k的取值范围，属于基础题，熟练掌握函数图像的画法，待定系数法，函数的性质是解题的关键．


24、（8分）如图，一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线过A、B两点。（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。








【解析】（1）根据一次函数的解析及两坐标轴交点坐标，求出二次函数的解析式；（2）根据M、N所处的位置用含有t的代数表示出M、N的坐标，利用MN在直线 x=t，求出MN的长，根据ｔ的取值确定MN的最大值；（3）利用平行四边形的对边平行且相等的方法确定D点的坐标.


【解】（1）易得A（0，2），B（4，0）


将x=0,y=2代入


将x=4,y=0代入





（2）由题意易得





当


（3）、由题意可知，D的可能位置有如图三种情形





当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）


由AD=MN得，从而D为（0，6）或D（0，-2）


当D不在y轴上时，由图可知


易得


由两方程联立解得D为（4，4）；故所求的D为（0，6），（0，-2）或（4，4）


【点评】求解析式的关键是确定图象上点的坐标，点坐标的确定关键要看题中的所给的条件适合哪种方法.1
2
3
21
44
69
地铁站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
y1（分钟）
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