人教版 (新课标)必修2第六章 万有引力与航天综合与测试优秀教案

章末分层突破

 [自我校对]

①地心说

②日心说

③

④

⑤

⑥2π

⑦

⑧7.9 km/s

⑨11.2 km/s

⑩16.7 km/s

⑪低速

⑫宏观

⑬弱相互

　______________________________________________________________

　______________________________________________________________

　______________________________________________________________

1．估算问题一般是估算天体的质量、天体的密度、运动的轨道半径、运转周期等有关物理量．

2．估算的依据主要是万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律列动力学方程，另外，“黄金代换”GM＝gR2也常是列方程的依据．

3．在估算时要充分利用常量和常识．例如，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球公转周期T＝1年＝365天，地球自转周期T＝1天＝24小时，月球公转周期T＝27.3天等．

4．用测定绕行天体(如卫星)轨道半径和周期的方法测质量，只能测定其中心天体(如地球)的质量，不能测定绕行天体自身的质量，绕行天体的质量在方程式中被约掉了．

　天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为(　　)

A．1.8×103 kg/m3

B．5.6×103 kg/m3

C．1.1×104 kg/m3

D．2.9×104 kg/m3

【解析】　近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即＝m()2R，密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3，解两式得：ρ＝≈5.60×103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ＝5.60×103× kg/m3≈2.98×104 kg/m3，D项正确．

【答案】　D

分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”、应用“两个思路”、区分“三个不同”．

1．一个模型

无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动．

2．两个思路

(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即

G＝m＝mω2r＝mr＝man

(2)不考虑地球或天体自转影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G＝mg

变形得GM＝gR2，此式通常称为“黄金代换式”．

3．三个不同

(1)不同公式中r的含义不同．

在万有引力定律公式中，r的含义是两质点间的距离；在向心力公式(F＝m＝mω2r)中，r的含义是质点运动的轨道半径．

当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等．

(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同．

三种速度的比较，如下表所示

(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′的含义不同．

①绕地球做匀速圆周运动的卫星的向心加速度a，由G＝ma，得a＝，其中r为卫星的轨道半径．

②若不考虑地球自转的影响，地球表面的重力加速度为g＝，其中R为地球的半径．

③地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′＝ω2Rcos θ，其中ω、R分别是地球的自转角速度和半径，θ是物体所在位置的纬度值．

　欧盟和中国联合开发的伽利略项目建立起了伽利略系统(全球卫星导航定位系统)．伽利略系统由27颗运行卫星和3颗预备卫星组成，可以覆盖全球，现已投入使用．卫星的导航高度为2.4×104 km，倾角为56°，分布在3个轨道上，每个轨道面部署9颗工作卫星和1颗在轨预备卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作．若某颗预备卫星处在略低于工作卫星的轨道上，以下说法中正确的是(　　)

【导学号：50152086】

A．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度，向心加速度大于工作卫星的向心加速度

B．工作卫星的周期小于同步卫星的周期，速度大于同步卫星的速度，向心加速度大于同步卫星的向心加速度

C．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道，应考虑启动火箭发动机向前喷气，通过反冲作用从较低轨道上使卫星加速

D．三个轨道平面只有一个过地心，另外两个轨道平面分别只在北半球和南半球

【解析】　由题知，预备卫星在略低于工作卫星的轨道上，由根据开普勒第三定律＝k分析知，预备卫星的周期小于工作卫星的周期，由卫星的速度公式v＝分析知，预备卫星的速度大于工作卫星的速度．由向心加速度公式an＝＝知，预备卫星的向心加速度大于工作卫星的向心加速度，故A错误，B正确．

预备卫星处于低轨道上，为了使该预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向后喷气，通过加速，使其做离心运动，使卫星的轨道半径增大，才能从较低轨道进入工作卫星的轨道，故C错误．

三个轨道平面都必须过地心，否则由于地球引力的作用，卫星不能稳定工作，故D错误．

【答案】　B

1.双星

众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星．

2．双星问题特点

如图6­1所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星．它们间的距离为L.此双星问题的特点是：

图6­1

(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；

(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；

(3)两星的运动周期、角速度相同；

(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1＋r2＝L.

3．双星问题的处理方法

双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：

(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比．

(2)由于ω＝，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝.

　宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不会因万有引力的作用吸引到一起．

(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．

(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式.

【导学号：50152087】

【解析】　(1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定相同．它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．

设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出G＝m1ω2R1              ①

G＝m2ω2R2    ②

所以＝，所以＝＝＝，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．

(2)由①②两式相加得G＝ω2(R1＋R2) ③

因为R1＋R2＝L，所以ω＝.

【答案】　(1)见解析　(2)ω＝

1.当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G＝m，得v＝，由此可见轨道半径r越大，线速度v越小．当由于某原因速度v突然改变时，若速度v突然减小，则F＞m，卫星将做近心运动，轨迹变为椭圆；若速度v突然增大，则F＜m，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．

2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到万有引力相同，所以加速度相同．

　如图6­2所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)

【导学号：50152088】

图6­2

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

【解析】　由G＝m＝mrω2得，v＝，ω＝，由于r1＜r3，所以v1＞v3，ω1＞ω3，A、B错；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，同理卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，C错，D对．

【答案】　D

(教师用书独具)

1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

【解析】　开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．

【答案】　B

2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)

A.　　B．1　　C．5　　D．10

【解析】　行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确．

【答案】　B

3.如图6­3所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则(　　)

图6­3

A.＝ 　　　　　 B.＝

C.＝2   D.＝2

【解析】　对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ .所以对于a、b两颗人造卫星有＝ ，故选项A正确．

【答案】　A

4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)

A．1 h   B．4 h

C．8 h   D．16 h

【解析】　万有引力提供向心力，对同步卫星有：

＝mr，整理得GM＝

当r＝6.6R地时，T＝24 h

若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地

三颗同步卫星A、B、C如图所示分布

则有＝

解得T′≈＝4 h，选项B正确．

【答案】　B

5．我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)

图6­4

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

【解析】　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．

【答案】　C

6．由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(如图6­5所示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

图6­5

(1)A星体所受合力大小FA；

(2)B星体所受合力大小FB；

(3)C星体的轨道半径RC；

(4)三星体做圆周运动的周期T.

【解析】　(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G＝G＝FCA，方向如图所示，则合力大小为FA＝2G.

(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝G＝G，FCB＝G＝G，方向如图所示．

由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2G，FBy＝

FAB sin 60°＝G，

可得FB＝＝G.

(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则RC＝，可得RC＝a.

(或由对称性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝＝

＝，得RC＝a)

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝m()2RC，可得T＝π.

【答案】　(1)2G　(2)G　(3)a

(4)π