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2020-2021学年八年级数学上学期期末测试卷（北师大版 成都专用）
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2020-2021学年八年级数学上学期期末测试卷01
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
考试说明：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2019·哈尔滨市萧红中学初三开学考试）实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2020·山东东平·初二期末）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·甘肃徽县初二期末）若，则估计的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南茶陵·初二期末）如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
6．（2020·河北省临西县初二期末）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
7．（2020·河北省初二期中）下列命题①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．（2020·山东东营·初三一模）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·广西右江·二模）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②函数不经过第一象限；③函数中，y随x的增大而增大；④；其中说法正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2020·哈尔滨市第四十七中学初三一模）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分,答案写在答题卡上）
11．（2020·安徽省初三期末）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
12．（2020·黄石经济技术开发区教研室期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（）
175
173
175
174
方差（）
3.5
3.5
12.5
15
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
13．（2020·四川成华初二期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____．
14．（2020.广东省初二期中）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为__ ．
三．解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（2020·四川省成都实外初三月考）计算
（1）； （2）；
16．（2020·江苏沭阳·期中）解方程组：（1） （2）
17．（2020·四川武侯初二期末）某公司销售部有营销员15人，销售部为了制定关于某种商品的每位营销员的个人月销售定额，统计了这15人某月关于此商品的个人月销售量（单位：件）如下：
个人月销售量
1800
510
250
210
150
120
营销员人数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位营销员该月关于此商品的个人月销售量的平均数，并直接写出这组数据的中位数和众数；
（2）假设该销售部负责人把每位营销员关于此商品的个人月销售定额确定为320件，你认为对多数营销员是否合理？并在（1）的基础上说明理由．
18．（2020·莆田擢英中学月考）小李在某商场购买两种商品若干次(每次商品都买) ，其中前两次均按标价购买，第三次购买时，商品同时打折．三次购买商品的数量和费用如下表所示：
购买A商品的数量/个
购买B商品的数量/个
购买总费用/元
第一次
第二次
第三次
（1）求商品的标价各是多少元？（2）若小李第三次购买时商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？（3）在（2）的条件下，若小李第四次购买商品共花去了元，则小李的购买方案可能有哪几种？
19．（2020·江苏海门初二期中）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：
（1）填空：一次函数与它的互助一次函数的交点坐标为______;（2）若两个一次函数y=（k-b）x – k - 2b与是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．
20．（2020·湖南长沙初二期中）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（2020·江苏宜兴·初二期中）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是
22．（2020·绵阳市初二期中）已知是27的立方根，的算术平方根是4，则平方根为 ．
23．（2020·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是
24．（2020·北京中关村中学）规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离为．如图①点M(－2，3)与点 N(1，－1)之间的折线距离为 ______；如图②点 P(3，－4)，若点 Q 的坐标为(t，3)，且，则t的值为__________．
25．（2020.北京市初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，则D点坐标是_______；在y轴上有一个动点M，当的周长值最小时，则这个最小值是_______．
二、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）
26．（2020·河北省初二期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示.
(1) 请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价.
(2) 当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？
(3) 如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？
27．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．
28．（2020·四川成华初二期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T （x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为 ；（2）求点T （x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
1．（2019·哈尔滨市萧红中学初三开学考试）实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】由无理数的定义：无限不循环的小数，逐个判断即可得到答案．
【解析】解：无理数：无限不循环的小数，
所以：是无理数，是有理数，所以无理数有个，故选A．
【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数与有理数的含义是解题的关键．
2．（2020·山东东平·初二期末）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得．
【解析】A、，此项正确；B、，此项正确；
C、，此项错误；D、，此项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．
3．（2020·甘肃徽县初二期末）若，则估计的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算即可得．
【解析】，，即，
，即，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题关键．
4．（2020·湖南茶陵·初二期末）如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点关于y轴对称，所以它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式求值．
【解析】解：∵与关于y轴对称，∴，解得．故选：C．
【点睛】本题考查点坐标关于坐标轴对称的性质，解题的关键在于掌握点坐标关于坐标轴对称时横纵坐标的关系．
5．（2020·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
6．（2020·河北省临西县初二期末）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
【答案】D
【解析】直线不经过第三象限，则经过第二、四象限或第一、二、四象限，当经过第二、四象限时，函数为正比例函数，k=0
当经过第一、二、四象限时， ,解得0
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】分别利用勾股数的定义、勾股定理以及等腰直角三角形的边的关系分别判断得出即可．
【解析】解：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，是真命题；
②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这三角形的三个内角度数为：45°，60°,75°，因此这个三角形不是直角三角形，原命题是假命题；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，因为 ，故此三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命题；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题关键．
8．（2020·山东东营·初三一模）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程小组共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
【解析】解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题．
9．（2020·广西右江·二模）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②函数不经过第一象限；③函数中，y随x的增大而增大；④；其中说法正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】仔细观察图象，①先根据走向以及交点判断a，k的正负，再判断ak的正负；②根据a,k的正负,再判断的图像；③根据a＜0，即可判断函数的增减性；④当x=3时，．
【解析】解：①∵y1=kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0正确；
∵与y轴交点坐标在x轴下方，∴a＜0；∴，故①错误．
②∵a＜0，k＜0∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确；
③∵a＜0∴函数中，y随x的增大而增减小，故③错误；
④当x=3时，，，因此，故④正确；
故正确的判断是②，④．故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，以及一次函数的增减性，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
10．（2020·哈尔滨市第四十七中学初三一模）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①由(0,400)可知A，B港口相距400km；
②甲船4个小时行驶了400km，可以求出甲船的速度；
③先求出乙船的速度，再根据两船同时到达目的地列出等式，可求出B，C港口的距离；
④乙船出发4h时，计算两船与B港口的距离，再相加即可．
【解析】解：由题意和题图，可知A，B港口相距400km，故①正确；
甲船4个小时行驶了400km，故甲船的速度为，故②正确；
乙船的速度为，设B、C港口的距离为skm，
则，解得，故③正确；
乙船出发4h时，两船的距离是，故④错误．故选B．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用---路程问题，解答此类问题的关键是根据图像找到一些关键点（如与x轴、y轴的交点，两图像的交点等），分析关键点的实际意义，转化为路程或速度或时间的关系，然后利用题中的等量关系进行解答．这种题型属于常考题型，属较难题.
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分,答案写在答题卡上）
11．（2020·安徽省初三期末）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
【答案】x≥－2且x≠3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解析】根据题意，有，解得：x≥－2且x≠3．
【点睛】当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（2020·黄石经济技术开发区教研室期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（）
175
173
175
174
方差（）
3.5
3.5
12.5
15
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
【答案】甲
【分析】先比较四个人的平均数，选出平均成绩最好的甲和丙，再根据方差的定义，方差越小，数据越稳定，选方差小的甲．
【解析】解：根据四个人的平均成绩，选出其中成绩最好的甲和丙，但因为甲的方差较小，所以他的成绩更稳定．故选：甲．
【点睛】本题考查平均数和方差的定义，解题的关键理解平均数和方差的定义，选出符合题目要求的选项．
13．（2020·四川成华初二期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____．
【答案】125°
【分析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解.
【解析】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
由作图可知OB平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故答案为125°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.
14．（2020.广东省初二期中）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为__ ．
【答案】
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【解析】当点P在点 B右侧时：∵，而45°，∠ABC，
① A=，∠ABC==45°，
由得：，∴∠APB=；
②∠APB=，∠ABC=＝45°，同理得：∠APB=；
③∠APB=，∠A=，
得：，解得：，不合题意；
④∠APB=，∠A=，同理，不合题意；
当点P在点 B左侧时：
⑤∠APB=，∠A=，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得：，解得：，即∠APB=；
⑥∠APB=，∠A=，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得：，解得：，即∠APB=；
综上，∠APB的所有可能的度数为或或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
三．解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（2020·四川省成都实外初三月考）计算
（1）； （2）；
【答案】（1）-5；（2）；
【分析】（1）先算括号里的，再算乘法，最后算减法；（2）先去括号，再计算加减法；
【解析】解：（1）原式====-5；
（2）原式==；
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律和乘法公式的运用.
16．（2020·江苏沭阳·期中）解方程组：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用带入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．
【解析】解：（1）将①代入②中，得：x=1，解得：y=3，
∴方程组的解为：；
（2），①-②得：2y=4，解得：y=2，代入①中，解得：x=1，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是掌握带入消元法和加减消元法．
17．（2020·四川武侯初二期末）某公司销售部有营销员15人，销售部为了制定关于某种商品的每位营销员的个人月销售定额，统计了这15人某月关于此商品的个人月销售量（单位：件）如下：
个人月销售量
1800
510
250
210
150
120
营销员人数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位营销员该月关于此商品的个人月销售量的平均数，并直接写出这组数据的中位数和众数；
（2）假设该销售部负责人把每位营销员关于此商品的个人月销售定额确定为320件，你认为对多数营销员是否合理？并在（1）的基础上说明理由．
【答案】（1）平均数320，中位数210，众数210；（2）不合理，理由见解析．
【分析】（1）根据平均数的定义以及计算公式、中位数的定义、众数的定义求解即可．
（2）根据平均数、中位数、众数的定义进行分析即可．
【解析】（1）平均数是： （1800+510+25×3+210×5+150×3+120×2）＝320（件），
表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是210（件），
210出现了5次最多，所以众数是210；
（2）不合理．因为15人中有13人的销售额不到320件，320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平．销售额定为210件合适些，因为210件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额．
【点睛】本题考查了数据统计的问题，掌握平均数的定义以及计算公式、中位数的定义、众数的定义是解题的关键．
18．（2020·莆田擢英中学月考）小李在某商场购买两种商品若干次(每次商品都买) ，其中前两次均按标价购买，第三次购买时，商品同时打折．三次购买商品的数量和费用如下表所示：
购买A商品的数量/个
购买B商品的数量/个
购买总费用/元
第一次
第二次
第三次
（1）求商品的标价各是多少元？（2）若小李第三次购买时商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？（3）在（2）的条件下，若小李第四次购买商品共花去了元，则小李的购买方案可能有哪几种？
【答案】（1）商品标价为80元, 商品标价为100元. （2）商场打六折出售这两种商品.
（3）有3种购买方案,分别是A商品5个,B商品12个;A商品10个,B商品8个;A商品15个,B商品4个.
【分析】（1）可设商品标价为元, 商品标价为元,根据图表给的数量关系列出二元一次方程组解答即可.（2）求出第三次商品如果按原价买的价钱,再用实际购买费用相比即可.
（3）求出两种商品折扣价之后,根据表中数量关系列出二元一次方程,化简后讨论各种可能性即可.
【解析】解: （1）设商品标价为元, 商品标价为元,
由题意得,解得.
所以商品标价为80元, 商品标价为100元.
（2）由题意得,元,
,所以商场是打六折出售这两种商品.
（3）商品折扣价为48元, 商品标价为60元
由题意得,,化简得, ,,
由于与皆为正整数,可列表:
15
10
5
4
8
12
所以有3种购买方案.
【点睛】本题考查了二元一次方程组解决问题,理解题意,找到数量关系是解答关键.
19．（2020·江苏海门初二期中）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：
（1）填空：一次函数与它的互助一次函数的交点坐标为______;（2）若两个一次函数y=（k-b）x – k - 2b与是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．
【答案】(1) (1, )；(2) 两个函数与y轴围成的三角形的面积是：
【分析】(1)根据互助函数的定义，写出互助函数，然后解两个函数的解析式组成的方程组即可求得交点坐标；（2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】 (1)一次函数 的它的互助一次函数是 .
解 ，得： ，则交点坐标是：(1, )；故答案为：(1, )；
(2)根据题意得： ，解得： ，则两个函数是y=x-2和y=-2x+.
∴y=x-2和y轴的交点是(0,-2), y=-2x+和y轴的交点是(0, ).两个函数的交点是：(1, ).
在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，根据题干意思求出函数解析式及交点是解题的关键.
20．（2020·湖南长沙初二期中）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
【答案】（1）AC＝3; （2）见解析；（3）73.
【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；（2）在Rt△DOA中根据勾股定理有OD2+OA2＝AD2，同理有OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，又AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2，AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 即可证明AB2+ CD2＝AD2+ BC2；
（3）连接CG、AE，根据∠GBC=∠EBA=900得∠ABG=∠EBC，则证明△ABG≌△EBC，则∠1＝∠2 ，∠3＝∠4，由（2）可知AC2+GE2＝CG2+AE2，则可求出CG2、AE2 、AC2从而求出GE2.
【解析】解：（1）在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5 ∴AC＝=3
（2）在Rt△DOA中，∠DOA＝900，∴OD2+OA2＝AD2 同理：OD2+OC2＝CD2
OB2+OC2＝BC2 OA2+OB2＝AB2
∵AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2 AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 ∴AB2+ CD2＝AD2+ BC2
（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA
∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG和△EBC中
∴△ABG≌△EBC（SAS） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4
∴∠5＝∠AIJ＝900 ∴AG⊥CB 连接CG、AE，由（2）可知 AC2+GE2＝CG2+AE2
在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2 CG2＝42+42＝32
在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2 AE2＝52+52＝50
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 52＝AC2+42 AC2＝9
∴AC2+GE2＝CG2+AE2 9+ GE2＝32+50 GE2＝73
【点睛】本题考查了三角形全等、勾股定理、添加辅助线等知识点，读懂题意找出等量关系，并学会综合运用所学知识点解题的解答本题的关键.
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（2020·江苏宜兴·初二期中）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是
【答案】10
【分析】根据非负数的性质求出的值，根据等腰三角形的性质求解即可.
【解析】
当三角形的腰长为2时，，构不成三角形；
当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：.
【点睛】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，掌握三角形的三边关系是解题的关键.
22．（2020·绵阳市初二期中）已知是27的立方根，的算术平方根是4，则平方根为 ．
【答案】
【分析】根据立方根的定义和算术平方根的定义，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得x、y的值，再计算的值，根据平方根的定义，可得答案．
【解析】由题意得：，解得：，∴，
∵49的平方根为±7，∴的算术平方根为±7．
【点睛】本题考查了立方根，平方根和算术平方根，根据题意得出二元一次方程组是解题的关键．
23．（2020·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是
【答案】①②③
【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.
【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2，
由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，
∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确；
根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，
4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确；
由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94≠81，故④错误，
由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键．
24．（2020·北京中关村中学）规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离为．如图①点M(－2，3)与点 N(1，－1)之间的折线距离为 ______；如图②点 P(3，－4)，若点 Q 的坐标为(t，3)，且，则t的值为__________．
【答案】7 t=2或t=4；
【分析】①直接根据“折线距离”的定义计算即可②根据“折线距离”的定义，由，得到方程求解即可
【解析】解：①根据“折线距离”的定义，点M（-2，3）与点N（1，-1）之间的折线距离为：
d（M，N）=|-2-1|+|3-（-1）|=3+4=7；
②∵，∴|3-t|+|-4-3|=8，∴|3-t|=1，∴3-t=1或3-t=-1解得：t=2或t=4；
故答案为：①7；②t=2或t=4；
【点睛】本题考查坐标与图形性质及一元一次方程的应用，解题关键是读懂材料，弄清楚“折线距离”的定义．
25．（2020.北京市初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，则D点坐标是_______；在y轴上有一个动点M，当的周长值最小时，则这个最小值是_______．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A、B的坐标，从而可得OA、OB、AB的长，再根据正方形的性质可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出点D的坐标；同样的方法可求出点C的坐标，再根据轴对称的性质可得点的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出的周长值最小时，点M的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．
【解析】如图，过点D作轴于点E，作点C关于y轴的对称点，交y轴于点F，连接，交y轴于点，连接，则轴 对于
当时，，解得，则点A的坐标为
当时，，则点B的坐标为
四边形ABCD是正方形，
在和中，
则点D的坐标为
同理可证：
则点C的坐标为
由轴对称的性质得：点的坐标为，且
的周长为
由两点之间线段最短得：当点M与点重合时，取得最小值
则的周长的最小值为 故答案为：，．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出的周长最小时，点M的位置是解题关键．
二、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）
26．（2020·河北省初二期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示.
(1) 请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价.
(2) 当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？
(3) 如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？
【答案】（1）制版费1千元， y甲=x+1 ，证书单价0.5元；（2）选择乙厂，节省费用500元；（3）最少降低0.0625元.
【解析】解：（1）制版费1千元， y甲=x+1 ，证书单价0.5元.
（2）把x=6代入y甲=x+1中得y=4；
当x≥2时由图像可设 y乙与x的函数关系式为 y乙=kx+b，
由已知得，解得，得y乙=，
当x=8时，y甲=×8＋1=5， y乙=×8＋，5－=0.5（千元）
即，当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元.
（3）设甲厂每个证书的印刷费用应降低a元 8000a=500 所以a=0.0625
答：甲厂每个证书印刷费最少降低0.0625元.
27．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．
（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）仍然成立．证明见解析；（3）．
【分析】（1）连接GE，根据等腰直角三角形的性质可得，，然后利用ASA即可证出，从而得出结论；
（2）在上截取，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，，然后利用ASA即可证出，从而得出结论；
（3）在的延长线上截取，连接，AF，利用ASA证出，可得为等腰直角三角形，设CA=CB=a，则，利用勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式即可求出结论．
【解析】解：（1），连接GE
∵，点是的中点，点G为AC的中点∴AG=CG=CE=EB，
因为，所以，．所以．
因为，，所以，
所以．所以．
在与中，所以．所以
（2）仍然成立．在上截取，连接．
因为，所以．
因为，，所以，
所以．所以．
因为，所以，．所以．
在与中，所以．所以．
（3）如下图所示，在的延长线上截取，连接，AF
因为，所以．
因为，，所以，
所以．所以．
因为，所以，
∴∠EBF=180°－∠ABF－∠ABC=45°．所以．
在与中，所以．
所以．∴为等腰直角三角形
设CA=CB=a，则∴CE=a＋na
由勾股定理可得AE==
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键．
28．（2020·四川成华初二期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T （x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为 ；（2）求点T （x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【答案】（1）（，2）；（2）y＝x﹣；（3）E的坐标为（，）或（6，8）
【分析】（1）把点E的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E的坐标为（a，a+2），根据融合点的定义用a表示出x、y，整理得到答案；
（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．
【解析】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，
∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），
∵点T （x，y）是点D和E的融合点，∴x＝＝，y＝＝2，
∴点T的坐标为（，2），故答案为：（，2）；
（2）设点E的坐标为（a，a+2），
∵点T （x，y）是点D和E的融合点，∴x＝，y＝，
解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，∴3x﹣3＝3y﹣2，整理得，y＝x﹣；
（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（，），
当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），
当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，
此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，
综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
考试说明：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2019·哈尔滨市萧红中学初三开学考试）实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2020·山东东平·初二期末）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·甘肃徽县初二期末）若，则估计的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南茶陵·初二期末）如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
6．（2020·河北省临西县初二期末）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
7．（2020·河北省初二期中）下列命题①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．（2020·山东东营·初三一模）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·广西右江·二模）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②函数不经过第一象限；③函数中，y随x的增大而增大；④；其中说法正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2020·哈尔滨市第四十七中学初三一模）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分,答案写在答题卡上）
11．（2020·安徽省初三期末）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
12．（2020·黄石经济技术开发区教研室期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（）
175
173
175
174
方差（）
3.5
3.5
12.5
15
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
13．（2020·四川成华初二期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____．
14．（2020.广东省初二期中）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为__ ．
三．解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（2020·四川省成都实外初三月考）计算
（1）； （2）；
16．（2020·江苏沭阳·期中）解方程组：（1） （2）
17．（2020·四川武侯初二期末）某公司销售部有营销员15人，销售部为了制定关于某种商品的每位营销员的个人月销售定额，统计了这15人某月关于此商品的个人月销售量（单位：件）如下：
个人月销售量
1800
510
250
210
150
120
营销员人数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位营销员该月关于此商品的个人月销售量的平均数，并直接写出这组数据的中位数和众数；
（2）假设该销售部负责人把每位营销员关于此商品的个人月销售定额确定为320件，你认为对多数营销员是否合理？并在（1）的基础上说明理由．
18．（2020·莆田擢英中学月考）小李在某商场购买两种商品若干次(每次商品都买) ，其中前两次均按标价购买，第三次购买时，商品同时打折．三次购买商品的数量和费用如下表所示：
购买A商品的数量/个
购买B商品的数量/个
购买总费用/元
第一次
第二次
第三次
（1）求商品的标价各是多少元？（2）若小李第三次购买时商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？（3）在（2）的条件下，若小李第四次购买商品共花去了元，则小李的购买方案可能有哪几种？
19．（2020·江苏海门初二期中）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：
（1）填空：一次函数与它的互助一次函数的交点坐标为______;（2）若两个一次函数y=（k-b）x – k - 2b与是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．
20．（2020·湖南长沙初二期中）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（2020·江苏宜兴·初二期中）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是
22．（2020·绵阳市初二期中）已知是27的立方根，的算术平方根是4，则平方根为 ．
23．（2020·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是
24．（2020·北京中关村中学）规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离为．如图①点M(－2，3)与点 N(1，－1)之间的折线距离为 ______；如图②点 P(3，－4)，若点 Q 的坐标为(t，3)，且，则t的值为__________．
25．（2020.北京市初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，则D点坐标是_______；在y轴上有一个动点M，当的周长值最小时，则这个最小值是_______．
二、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）
26．（2020·河北省初二期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示.
(1) 请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价.
(2) 当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？
(3) 如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？
27．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．
28．（2020·四川成华初二期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T （x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为 ；（2）求点T （x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
1．（2019·哈尔滨市萧红中学初三开学考试）实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】由无理数的定义：无限不循环的小数，逐个判断即可得到答案．
【解析】解：无理数：无限不循环的小数，
所以：是无理数，是有理数，所以无理数有个，故选A．
【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数与有理数的含义是解题的关键．
2．（2020·山东东平·初二期末）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得．
【解析】A、，此项正确；B、，此项正确；
C、，此项错误；D、，此项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．
3．（2020·甘肃徽县初二期末）若，则估计的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算即可得．
【解析】，，即，
，即，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题关键．
4．（2020·湖南茶陵·初二期末）如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点关于y轴对称，所以它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式求值．
【解析】解：∵与关于y轴对称，∴，解得．故选：C．
【点睛】本题考查点坐标关于坐标轴对称的性质，解题的关键在于掌握点坐标关于坐标轴对称时横纵坐标的关系．
5．（2020·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
6．（2020·河北省临西县初二期末）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
【答案】D
【解析】直线不经过第三象限，则经过第二、四象限或第一、二、四象限，当经过第二、四象限时，函数为正比例函数，k=0
当经过第一、二、四象限时， ,解得0
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】分别利用勾股数的定义、勾股定理以及等腰直角三角形的边的关系分别判断得出即可．
【解析】解：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，是真命题；
②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这三角形的三个内角度数为：45°，60°,75°，因此这个三角形不是直角三角形，原命题是假命题；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，因为 ，故此三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命题；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题关键．
8．（2020·山东东营·初三一模）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程小组共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
【解析】解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题．
9．（2020·广西右江·二模）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②函数不经过第一象限；③函数中，y随x的增大而增大；④；其中说法正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】仔细观察图象，①先根据走向以及交点判断a，k的正负，再判断ak的正负；②根据a,k的正负,再判断的图像；③根据a＜0，即可判断函数的增减性；④当x=3时，．
【解析】解：①∵y1=kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0正确；
∵与y轴交点坐标在x轴下方，∴a＜0；∴，故①错误．
②∵a＜0，k＜0∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确；
③∵a＜0∴函数中，y随x的增大而增减小，故③错误；
④当x=3时，，，因此，故④正确；
故正确的判断是②，④．故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，以及一次函数的增减性，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
10．（2020·哈尔滨市第四十七中学初三一模）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①由(0,400)可知A，B港口相距400km；
②甲船4个小时行驶了400km，可以求出甲船的速度；
③先求出乙船的速度，再根据两船同时到达目的地列出等式，可求出B，C港口的距离；
④乙船出发4h时，计算两船与B港口的距离，再相加即可．
【解析】解：由题意和题图，可知A，B港口相距400km，故①正确；
甲船4个小时行驶了400km，故甲船的速度为，故②正确；
乙船的速度为，设B、C港口的距离为skm，
则，解得，故③正确；
乙船出发4h时，两船的距离是，故④错误．故选B．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用---路程问题，解答此类问题的关键是根据图像找到一些关键点（如与x轴、y轴的交点，两图像的交点等），分析关键点的实际意义，转化为路程或速度或时间的关系，然后利用题中的等量关系进行解答．这种题型属于常考题型，属较难题.
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分,答案写在答题卡上）
11．（2020·安徽省初三期末）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
【答案】x≥－2且x≠3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解析】根据题意，有，解得：x≥－2且x≠3．
【点睛】当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（2020·黄石经济技术开发区教研室期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（）
175
173
175
174
方差（）
3.5
3.5
12.5
15
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
【答案】甲
【分析】先比较四个人的平均数，选出平均成绩最好的甲和丙，再根据方差的定义，方差越小，数据越稳定，选方差小的甲．
【解析】解：根据四个人的平均成绩，选出其中成绩最好的甲和丙，但因为甲的方差较小，所以他的成绩更稳定．故选：甲．
【点睛】本题考查平均数和方差的定义，解题的关键理解平均数和方差的定义，选出符合题目要求的选项．
13．（2020·四川成华初二期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____．
【答案】125°
【分析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解.
【解析】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
由作图可知OB平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故答案为125°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.
14．（2020.广东省初二期中）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为__ ．
【答案】
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【解析】当点P在点 B右侧时：∵，而45°，∠ABC，
① A=，∠ABC==45°，
由得：，∴∠APB=；
②∠APB=，∠ABC=＝45°，同理得：∠APB=；
③∠APB=，∠A=，
得：，解得：，不合题意；
④∠APB=，∠A=，同理，不合题意；
当点P在点 B左侧时：
⑤∠APB=，∠A=，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得：，解得：，即∠APB=；
⑥∠APB=，∠A=，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得：，解得：，即∠APB=；
综上，∠APB的所有可能的度数为或或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
三．解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（2020·四川省成都实外初三月考）计算
（1）； （2）；
【答案】（1）-5；（2）；
【分析】（1）先算括号里的，再算乘法，最后算减法；（2）先去括号，再计算加减法；
【解析】解：（1）原式====-5；
（2）原式==；
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律和乘法公式的运用.
16．（2020·江苏沭阳·期中）解方程组：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用带入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．
【解析】解：（1）将①代入②中，得：x=1，解得：y=3，
∴方程组的解为：；
（2），①-②得：2y=4，解得：y=2，代入①中，解得：x=1，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是掌握带入消元法和加减消元法．
17．（2020·四川武侯初二期末）某公司销售部有营销员15人，销售部为了制定关于某种商品的每位营销员的个人月销售定额，统计了这15人某月关于此商品的个人月销售量（单位：件）如下：
个人月销售量
1800
510
250
210
150
120
营销员人数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位营销员该月关于此商品的个人月销售量的平均数，并直接写出这组数据的中位数和众数；
（2）假设该销售部负责人把每位营销员关于此商品的个人月销售定额确定为320件，你认为对多数营销员是否合理？并在（1）的基础上说明理由．
【答案】（1）平均数320，中位数210，众数210；（2）不合理，理由见解析．
【分析】（1）根据平均数的定义以及计算公式、中位数的定义、众数的定义求解即可．
（2）根据平均数、中位数、众数的定义进行分析即可．
【解析】（1）平均数是： （1800+510+25×3+210×5+150×3+120×2）＝320（件），
表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是210（件），
210出现了5次最多，所以众数是210；
（2）不合理．因为15人中有13人的销售额不到320件，320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平．销售额定为210件合适些，因为210件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额．
【点睛】本题考查了数据统计的问题，掌握平均数的定义以及计算公式、中位数的定义、众数的定义是解题的关键．
18．（2020·莆田擢英中学月考）小李在某商场购买两种商品若干次(每次商品都买) ，其中前两次均按标价购买，第三次购买时，商品同时打折．三次购买商品的数量和费用如下表所示：
购买A商品的数量/个
购买B商品的数量/个
购买总费用/元
第一次
第二次
第三次
（1）求商品的标价各是多少元？（2）若小李第三次购买时商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？（3）在（2）的条件下，若小李第四次购买商品共花去了元，则小李的购买方案可能有哪几种？
【答案】（1）商品标价为80元, 商品标价为100元. （2）商场打六折出售这两种商品.
（3）有3种购买方案,分别是A商品5个,B商品12个;A商品10个,B商品8个;A商品15个,B商品4个.
【分析】（1）可设商品标价为元, 商品标价为元,根据图表给的数量关系列出二元一次方程组解答即可.（2）求出第三次商品如果按原价买的价钱,再用实际购买费用相比即可.
（3）求出两种商品折扣价之后,根据表中数量关系列出二元一次方程,化简后讨论各种可能性即可.
【解析】解: （1）设商品标价为元, 商品标价为元,
由题意得,解得.
所以商品标价为80元, 商品标价为100元.
（2）由题意得,元,
,所以商场是打六折出售这两种商品.
（3）商品折扣价为48元, 商品标价为60元
由题意得,,化简得, ,,
由于与皆为正整数,可列表:
15
10
5
4
8
12
所以有3种购买方案.
【点睛】本题考查了二元一次方程组解决问题,理解题意,找到数量关系是解答关键.
19．（2020·江苏海门初二期中）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：
（1）填空：一次函数与它的互助一次函数的交点坐标为______;（2）若两个一次函数y=（k-b）x – k - 2b与是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．
【答案】(1) (1, )；(2) 两个函数与y轴围成的三角形的面积是：
【分析】(1)根据互助函数的定义，写出互助函数，然后解两个函数的解析式组成的方程组即可求得交点坐标；（2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】 (1)一次函数 的它的互助一次函数是 .
解 ，得： ，则交点坐标是：(1, )；故答案为：(1, )；
(2)根据题意得： ，解得： ，则两个函数是y=x-2和y=-2x+.
∴y=x-2和y轴的交点是(0,-2), y=-2x+和y轴的交点是(0, ).两个函数的交点是：(1, ).
在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，根据题干意思求出函数解析式及交点是解题的关键.
20．（2020·湖南长沙初二期中）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
【答案】（1）AC＝3; （2）见解析；（3）73.
【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；（2）在Rt△DOA中根据勾股定理有OD2+OA2＝AD2，同理有OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，又AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2，AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 即可证明AB2+ CD2＝AD2+ BC2；
（3）连接CG、AE，根据∠GBC=∠EBA=900得∠ABG=∠EBC，则证明△ABG≌△EBC，则∠1＝∠2 ，∠3＝∠4，由（2）可知AC2+GE2＝CG2+AE2，则可求出CG2、AE2 、AC2从而求出GE2.
【解析】解：（1）在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5 ∴AC＝=3
（2）在Rt△DOA中，∠DOA＝900，∴OD2+OA2＝AD2 同理：OD2+OC2＝CD2
OB2+OC2＝BC2 OA2+OB2＝AB2
∵AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2 AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 ∴AB2+ CD2＝AD2+ BC2
（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA
∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG和△EBC中
∴△ABG≌△EBC（SAS） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4
∴∠5＝∠AIJ＝900 ∴AG⊥CB 连接CG、AE，由（2）可知 AC2+GE2＝CG2+AE2
在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2 CG2＝42+42＝32
在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2 AE2＝52+52＝50
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 52＝AC2+42 AC2＝9
∴AC2+GE2＝CG2+AE2 9+ GE2＝32+50 GE2＝73
【点睛】本题考查了三角形全等、勾股定理、添加辅助线等知识点，读懂题意找出等量关系，并学会综合运用所学知识点解题的解答本题的关键.
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（2020·江苏宜兴·初二期中）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是
【答案】10
【分析】根据非负数的性质求出的值，根据等腰三角形的性质求解即可.
【解析】
当三角形的腰长为2时，，构不成三角形；
当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：.
【点睛】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，掌握三角形的三边关系是解题的关键.
22．（2020·绵阳市初二期中）已知是27的立方根，的算术平方根是4，则平方根为 ．
【答案】
【分析】根据立方根的定义和算术平方根的定义，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得x、y的值，再计算的值，根据平方根的定义，可得答案．
【解析】由题意得：，解得：，∴，
∵49的平方根为±7，∴的算术平方根为±7．
【点睛】本题考查了立方根，平方根和算术平方根，根据题意得出二元一次方程组是解题的关键．
23．（2020·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是
【答案】①②③
【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.
【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2，
由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，
∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确；
根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，
4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确；
由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94≠81，故④错误，
由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键．
24．（2020·北京中关村中学）规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离为．如图①点M(－2，3)与点 N(1，－1)之间的折线距离为 ______；如图②点 P(3，－4)，若点 Q 的坐标为(t，3)，且，则t的值为__________．
【答案】7 t=2或t=4；
【分析】①直接根据“折线距离”的定义计算即可②根据“折线距离”的定义，由，得到方程求解即可
【解析】解：①根据“折线距离”的定义，点M（-2，3）与点N（1，-1）之间的折线距离为：
d（M，N）=|-2-1|+|3-（-1）|=3+4=7；
②∵，∴|3-t|+|-4-3|=8，∴|3-t|=1，∴3-t=1或3-t=-1解得：t=2或t=4；
故答案为：①7；②t=2或t=4；
【点睛】本题考查坐标与图形性质及一元一次方程的应用，解题关键是读懂材料，弄清楚“折线距离”的定义．
25．（2020.北京市初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，则D点坐标是_______；在y轴上有一个动点M，当的周长值最小时，则这个最小值是_______．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A、B的坐标，从而可得OA、OB、AB的长，再根据正方形的性质可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出点D的坐标；同样的方法可求出点C的坐标，再根据轴对称的性质可得点的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出的周长值最小时，点M的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．
【解析】如图，过点D作轴于点E，作点C关于y轴的对称点，交y轴于点F，连接，交y轴于点，连接，则轴 对于
当时，，解得，则点A的坐标为
当时，，则点B的坐标为
四边形ABCD是正方形，
在和中，
则点D的坐标为
同理可证：
则点C的坐标为
由轴对称的性质得：点的坐标为，且
的周长为
由两点之间线段最短得：当点M与点重合时，取得最小值
则的周长的最小值为 故答案为：，．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出的周长最小时，点M的位置是解题关键．
二、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）
26．（2020·河北省初二期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示.
(1) 请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价.
(2) 当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？
(3) 如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？
【答案】（1）制版费1千元， y甲=x+1 ，证书单价0.5元；（2）选择乙厂，节省费用500元；（3）最少降低0.0625元.
【解析】解：（1）制版费1千元， y甲=x+1 ，证书单价0.5元.
（2）把x=6代入y甲=x+1中得y=4；
当x≥2时由图像可设 y乙与x的函数关系式为 y乙=kx+b，
由已知得，解得，得y乙=，
当x=8时，y甲=×8＋1=5， y乙=×8＋，5－=0.5（千元）
即，当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元.
（3）设甲厂每个证书的印刷费用应降低a元 8000a=500 所以a=0.0625
答：甲厂每个证书印刷费最少降低0.0625元.
27．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．
（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）仍然成立．证明见解析；（3）．
【分析】（1）连接GE，根据等腰直角三角形的性质可得，，然后利用ASA即可证出，从而得出结论；
（2）在上截取，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，，然后利用ASA即可证出，从而得出结论；
（3）在的延长线上截取，连接，AF，利用ASA证出，可得为等腰直角三角形，设CA=CB=a，则，利用勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式即可求出结论．
【解析】解：（1），连接GE
∵，点是的中点，点G为AC的中点∴AG=CG=CE=EB，
因为，所以，．所以．
因为，，所以，
所以．所以．
在与中，所以．所以
（2）仍然成立．在上截取，连接．
因为，所以．
因为，，所以，
所以．所以．
因为，所以，．所以．
在与中，所以．所以．
（3）如下图所示，在的延长线上截取，连接，AF
因为，所以．
因为，，所以，
所以．所以．
因为，所以，
∴∠EBF=180°－∠ABF－∠ABC=45°．所以．
在与中，所以．
所以．∴为等腰直角三角形
设CA=CB=a，则∴CE=a＋na
由勾股定理可得AE==
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键．
28．（2020·四川成华初二期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T （x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为 ；（2）求点T （x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【答案】（1）（，2）；（2）y＝x﹣；（3）E的坐标为（，）或（6，8）
【分析】（1）把点E的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E的坐标为（a，a+2），根据融合点的定义用a表示出x、y，整理得到答案；
（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．
【解析】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，
∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），
∵点T （x，y）是点D和E的融合点，∴x＝＝，y＝＝2，
∴点T的坐标为（，2），故答案为：（，2）；
（2）设点E的坐标为（a，a+2），
∵点T （x，y）是点D和E的融合点，∴x＝，y＝，
解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，∴3x﹣3＝3y﹣2，整理得，y＝x﹣；
（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（，），
当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），
当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，
此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，
综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．
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