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2019-2020学年七年级数学上册期末考点大串讲 专题12 角（知识点串讲）（原卷 解析版）
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专题12 角
知识网络
重难突破
知识点一 角的相关概念
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
3.角的分类
α
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0°<α<90°
α=90°
90°<α<180°
α=180°
α=360°
【典例1】（2018秋•黄岩区期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2018秋•上城区期末）下列时刻中，时针与分针所成的角（小于平角）最大的是（ ）
A．9：00 B．3：30 C．6：40 D．5：45
【变式训练】
1．（2017秋•临海市期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠A B．∠ABC C．∠D D．∠1
2．（2018秋•鄞州区期末）如图，从4点钟开始，过了40分钟后，分钟与时针所夹角的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（2018秋•嵊州市期末）钟表上的时间指示为两点半，此时时针与分针所成的角（小于平角）的度数为 ．
知识点二 角的度量与大小比较
1.角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
2.角的大小比较：
（1）度量法：如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等.如果两个角的度数不相等，度数较大的角较大
（2）叠合法：
【典例3】（2018秋•下城区期末）下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°
【变式训练】
1．（2018秋•义乌市期末）请用度分秒表示：11.5°＝ ．
2．（2018秋•柯桥区期末）用度表示30°9′36″为 ．
3．（2018秋•滨江区期末）计算：45°28′+52°27′＝ （结果用度、分、秒表示）．
4．（2011•江东区模拟）下列角度中，比20°小的是（ ）
A．19°38′ B．20°50′ C．36.2° D．56°
5．（2016秋•尚志市期末）用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（ ）
A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了
C．角的度数没有变化 D．以上都不对
知识点三 角的和差
1.如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
2.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
【典例4】（2018秋•金东区期末）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ）
A．15° B．25° C．35° D．55°
【变式训练】
1．（2018秋•北仑区期末）如图，OA方向是北偏西40°方向，OB平分∠AOC，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
2．（2018秋•萧山区期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．18° B．55° C．63° D．117°
3．（2018秋•长兴县期末）将一副直角三角尺按如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小是（ ）
A．110° B．120° C．140° D．160°
4．（2018秋•嵊州市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝25°，则∠BOD的度数为 ．
知识点四 余角和补角
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3.余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
【典例5】（2018秋•余杭区期末）若∠1与∠2互补，∠1＝54°，则∠2为（ ）
A．27° B．54° C．36° D．126°
【变式训练】
1．（2019•湖州）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
2．（2018秋•义乌市期末）如图，直角三角板的直角顶点A在直线上，则∠1与∠2（ ）
A．一定相等 B．一定互余
C．一定互补 D．始终相差10°
3．（2018秋•临安区期末）α与β的度数分别是2m﹣19和77﹣m，且α与β都是γ的补角，那么α与β的关系是（ ）
A．不互余且不相等 B．不互余但相等
C．互为余角但不相等 D．互为余角且相等
知识点五 直线的相交
1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点.
2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线.
3.对顶角的性质:对顶角相等
4.垂线：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
5.垂线的性质：
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
【典例6】（2018秋•东阳市期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【典例7】（2018秋•义乌市期末）图中的∠1、∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2019春•萧山区月考）如图，AC⊥AB，AD⊥BC于点D，在以下线段中表示点C到直线AB的距离的是（ ）
A．线段CD B．线段BC C．线段AD D．线段AC
2．（2017秋•沭阳县期末）如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2．若∠AOE＝140°，则∠AOC 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
巩固训练
1．（2018秋•金东区期末）把121.34°化成度、分、秒的形式为 ．
2．（2018秋•秀洲区期末）“国家宝藏”节目将于周日19：30播出，此时时钟上的分针与时针所成的角为 度．
3．（2018秋•义乌市期末）如图所示，射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，则∠AOB的度数是 ．
4．（2018秋•镇海区期末）已知O是直AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）在（1）问前提下∠COD绕顶点O顺时针旋转一周．
①当旋转至图②的位置，写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
②若旋转的速度为每秒10°，几秒后∠BOD＝30°？（直接写出答案）．
5．（2018秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．
（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），
①若n＝43°，求∠COD的度数；
②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．
（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．
专题12 角答案及解析
知识网络
重难突破
知识点一 角的相关概念
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
3.角的分类
α
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0°<α<90°
α=90°
90°<α<180°
α=180°
α=360°
【典例1】（2018秋•黄岩区期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．
【解析】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
【典例2】（2018秋•上城区期末）下列时刻中，时针与分针所成的角（小于平角）最大的是（ ）
A．9：00 B．3：30 C．6：40 D．5：45
【点拨】根据时针的旋转角减去分针的旋转角，可得答案．
【解析】解：A、9：00时时针与分针的夹角是90°，
B、3：30时时针与分针的夹角是90°﹣×30°＝75°，
C、6：40时时时针与分针的夹角是30°×2﹣30°×＝40°，
D、5：45时时时针与分针的夹角是30°×4﹣30°×＝97.5°，
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针的夹角是时针的旋转角减去分针的旋转角．
【变式训练】
1．（2017秋•临海市期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠A B．∠ABC C．∠D D．∠1
【点拨】先表示出各个角，再根据角的表示方法选出即可．
【解析】解：图中的角有∠A、∠1、∠ADC、∠ABC，∠B，
即表示方法不正确的有∠D，
故选：C．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，关键是学生对角的表示方法的理解和掌握．
2．（2018秋•鄞州区期末）如图，从4点钟开始，过了40分钟后，分钟与时针所夹角的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【点拨】4点时，分针与时针相差四大格，即120°，根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则40分钟后它们的夹角为40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°．
【解析】解：4点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数＝40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°＝100°．
故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
3．（2018秋•嵊州市期末）钟表上的时间指示为两点半，此时时针与分针所成的角（小于平角）的度数为 105° ．
【点拨】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解析】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上2点30分，时针与分针的夹角可以看成3×30°+0.5°×30＝105°，
故答案为：105°．
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
知识点二 角的度量与大小比较
1.角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
2.角的大小比较：
（1）度量法：如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等.如果两个角的度数不相等，度数较大的角较大
（2）叠合法：
【典例3】（2018秋•下城区期末）下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°
【点拨】根据度、分、秒之间的换算关系求解．
【解析】解：A、10.6°＝10°36'，错误；
B、900″＝0.25°，正确；
C、1.5°＝90′，正确；
D、54°16′12″＝54.27°，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算关系：1°＝60′，1′＝60″，难度较小．
【变式训练】
1．（2018秋•义乌市期末）请用度分秒表示：11.5°＝ 11°30' ．
【点拨】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解析】解：11.5°＝11°30'，
故答案为：11°30'
【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．
2．（2018秋•柯桥区期末）用度表示30°9′36″为 30.16° ．
【点拨】根据度分秒的进率为60，再进行换算即可．
【解析】解：30°9′36″＝30.16°，
故答案为：30.16°
【点睛】本题考查了度分秒的换算，从大单位到小单位要乘以进率，而从小单位到达单位要除以进率．
3．（2018秋•滨江区期末）计算：45°28′+52°27′＝ 97°55′ （结果用度、分、秒表示）．
【点拨】根据度分秒的加法相同单位相加可得答案．
【解析】解：45°28′+52°27′＝97°55′．
故答案是：97°55′．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，度分秒的加法相同单位相加，满60时向上一单位进1．
4．（2011•江东区模拟）下列角度中，比20°小的是（ ）
A．19°38′ B．20°50′ C．36.2° D．56°
【点拨】根据角的大小比较方法分别与20°进行比较，即可得出答案．
【解析】解：∵19°38′＜20°，
20°50′＞20°，
36.2°＞20°，
56°＞20°，
∴比20°小的是19°38，
故选：A．
【点睛】此题考查了角的大小比较，根据角的比较方法进行比较，是一道基础题，比较简单．
5．（2016秋•尚志市期末）用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（ ）
A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了
C．角的度数没有变化 D．以上都不对
【点拨】角的大小只与两边叉开的大小有关，放大镜不能改变角的大小．
【解析】解：用放大镜看一个角的大小时，角的度数不会发生变化，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角的大小，明确角的大小只与两边叉开的大小有关，与其他无关是解决此类问题的关键．
知识点三 角的和差
1.如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
2.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
【典例4】（2018秋•金东区期末）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ）
A．15° B．25° C．35° D．55°
【点拨】先了解一副三角尺有30°，45°，60°，90°，然后根据这些角的和差可画出是15°的倍数的角，则可得45°﹣30°＝15°．
【解析】解：用一副三角尺，可以画出小于180°的角有：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角板的知识．注意在大于0°而小于180°的范围内，只要是15°的倍数角都可以用一副三角尺画出．
【变式训练】
1．（2018秋•北仑区期末）如图，OA方向是北偏西40°方向，OB平分∠AOC，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【点拨】根据方向角的定义和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】解：∵OA方向是北偏西40°方向，
∴∠AOC＝40°+90°＝130°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC＝∠AOC＝65°，
故选：D．
【点睛】本题考查方向角、角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解方向角的概念，学会用方向角描述位置，属于中考常考题型．
2．（2018秋•萧山区期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．18° B．55° C．63° D．117°
【点拨】一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可．
【解析】解：A、18°＝90°﹣72°，则18°角能画出；
B、55°不能写成36°、72°、45°、90°的和或差的形式，不能画出；
C、63°＝90°﹣72°+45°，则63°可以画出；
D、117°＝72°+45°，则117°角能画出．
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
3．（2018秋•长兴县期末）将一副直角三角尺按如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小是（ ）
A．110° B．120° C．140° D．160°
【点拨】先求出∠COA和∠BOD的度数，代入∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD求出即可．
【解析】解：∵∠AOD＝20°，∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠COA＝∠BOD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD＝70°+20°+70°＝160°，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键．
4．（2018秋•嵊州市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝25°，则∠BOD的度数为 115° ．
【点拨】先根据∠COE＝90°，∠COD＝25°，由角的和差关系求得∠DOE＝90°﹣25°＝65°，再根据OD平分∠AOE，由角平分线的定义得出∠AOD＝∠DOE＝65°，最后根据邻补角的定义得出∠BOD＝180°﹣∠AOD＝115°．
【解析】解：∵∠COE＝90°，∠COD＝25°，
∴∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD＝∠DOE＝65°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝115°．
故答案为：115°．
【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得∠AOD的度数，再根据邻补角进行计算．
知识点四 余角和补角
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3.余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
【典例5】（2018秋•余杭区期末）若∠1与∠2互补，∠1＝54°，则∠2为（ ）
A．27° B．54° C．36° D．126°
【点拨】根据补角的定义即可得到结论．
【解析】解：∴∠1与∠2互补，∠1＝54°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣54°＝126°，
故选：D．
【点睛】本题考查了补角和余角，熟记补角的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019•湖州）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
【点拨】根据余角的概念进行计算即可．
【解析】解：∵∠α＝60°32′，
∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，
故选：A．
【点睛】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
2．（2018秋•义乌市期末）如图，直角三角板的直角顶点A在直线上，则∠1与∠2（ ）
A．一定相等 B．一定互余
C．一定互补 D．始终相差10°
【点拨】由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，从而求解．
【解析】解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，
则∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1与∠2互余是解题的关键．
3．（2018秋•临安区期末）α与β的度数分别是2m﹣19和77﹣m，且α与β都是γ的补角，那么α与β的关系是（ ）
A．不互余且不相等 B．不互余但相等
C．互为余角但不相等 D．互为余角且相等
【点拨】根据补角的性质，可得∠α＝∠β，根据解方程，可得答案．
【解析】解：∠α与∠β都是∠γ的补角，得
∠α＝∠β，
即2m﹣19＝77﹣m，
解得m＝32，
2m﹣19＝77﹣m＝45．
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，关键是熟悉补角的性质：等角的补角相等．
知识点五 直线的相交
1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点.
2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线.
3.对顶角的性质:对顶角相等
4.垂线：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
5.垂线的性质：
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
【典例6】（2018秋•东阳市期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【点拨】根据直角三角形中斜边总大于直角边即可得出结论．
【解析】解：根据直角三角形的性质得：PC≤3，
∴CP长的最大值为3，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形中斜边总大于直角边是解题的关键．
【典例7】（2018秋•义乌市期末）图中的∠1、∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【解析】解：A、∠1与∠2不是对顶角，
B、与∠2不是对顶角，
C、∠1与∠2是对顶角，
D、∠1与∠2不是对顶角，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，对正确识图能力有一定的要求．
【变式训练】
1．（2019春•萧山区月考）如图，AC⊥AB，AD⊥BC于点D，在以下线段中表示点C到直线AB的距离的是（ ）
A．线段CD B．线段BC C．线段AD D．线段AC
【点拨】根据点到直线的距离定义可做出判断．
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴线段AC的长度表示点C到直线AB的距离．
故选：D．
【点睛】本题运用了点到直线的距离的知识点，关键是准确找到垂线段．
2．（2017秋•沭阳县期末）如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2．若∠AOE＝140°，则∠AOC 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【点拨】由于∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝140°，易求∠2＝40°，而∠1＝∠2，那么∠BOD＝80°，再利用对顶角性质可求∠AOC．
【解析】解：∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝140°，
∴∠2＝40°，
∵∠1＝∠2，
∴∠BOD＝2∠2＝80°，
∴∠AOC＝∠BOD＝80°．
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，解题的关键是先求出∠2．
巩固训练
1．（2018秋•金东区期末）把121.34°化成度、分、秒的形式为 121°20′24″ ．
【点拨】根据度分秒间的进率是60，不到一度的化成分，不到一分的化成秒，可得答案．
【解析】解：121.34°＝121°20.4′＝121°20′24″，
故答案为：121°20′24″．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，大的单位化小的单位乘以进率，不到一度的化成分，不到一分的化成秒．
2．（2018秋•秀洲区期末）“国家宝藏”节目将于周日19：30播出，此时时钟上的分针与时针所成的角为 45 度．
【点拨】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可．
【解析】解：19点时分针与时针所成的角是150°，
6°×30＝180°，0.5°×30＝15°，
∴19：30分针与时针所成的角为：180°﹣150°+15°＝45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键．
3．（2018秋•义乌市期末）如图所示，射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，则∠AOB的度数是 110° ．
【点拨】根据互余两角的关系进而得出答案．
【解析】解：如图所示：∵射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，
∴∠AOB＝90°﹣30°+50°＝110°．
故答案为：110°
【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意借助互余两角的关系求出是解题关键．
4．（2018秋•镇海区期末）已知O是直AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）在（1）问前提下∠COD绕顶点O顺时针旋转一周．
①当旋转至图②的位置，写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
②若旋转的速度为每秒10°，几秒后∠BOD＝30°？（直接写出答案）．
【点拨】（1）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．
（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．
（3）①把∠AOC当作已知数求出∠BOC，求出∠BOD，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BO+∠BOD求出即可；
②根据题意列方程解答即可．
【解析】解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠COB＝90°+60°＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝75°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°．
（2）∵∠COD是直角，∠AOC＝α，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∴∠COB＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣﹣（90°﹣α）＝；
（3）①∠AOC＝2∠DOE，
理由是：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（180°﹣∠AOC）＝∠AOC﹣90°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（∠AOC﹣90°）+（90°﹣∠AOC）＝∠AOC，
即∠AOC＝2∠DOE；
②设x秒后∠BOD＝30°，根据题意得30+10x+90+30＝180或30+10x+60＝180，
t＝3s或t＝9s．
所以若旋转的速度为每秒10°，3秒或9秒后∠BOD＝30°
【点睛】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
5．（2018秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．
（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），
①若n＝43°，求∠COD的度数；
②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．
（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．
【点拨】（1）①先求出∠BOC，再求出∠COE，即可求出得出∠COD的大小；②根据题意可知2∠COE+50°＝120°据此即可求出∠COE的大小，进而求出∠COD的大小；
（2）OE平分∠BOC时，根据角平分线的定义解答即可．
【解析】解：（1）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
由n＝43°，可得∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝17°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣17°＝33°；
②∵∠AOD＝3∠COE，∠AOD+∠COD＝120°，∠DOE＝50°，
∴3∠COE+50°﹣∠COE＝120°，
解得∠COE＝35°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣35°＝15°；
（2）当OE平分∠BOC时，∠BOE＝．
【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
知识网络
重难突破
知识点一 角的相关概念
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
3.角的分类
α
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0°<α<90°
α=90°
90°<α<180°
α=180°
α=360°
【典例1】（2018秋•黄岩区期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2018秋•上城区期末）下列时刻中，时针与分针所成的角（小于平角）最大的是（ ）
A．9：00 B．3：30 C．6：40 D．5：45
【变式训练】
1．（2017秋•临海市期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠A B．∠ABC C．∠D D．∠1
2．（2018秋•鄞州区期末）如图，从4点钟开始，过了40分钟后，分钟与时针所夹角的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（2018秋•嵊州市期末）钟表上的时间指示为两点半，此时时针与分针所成的角（小于平角）的度数为 ．
知识点二 角的度量与大小比较
1.角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
2.角的大小比较：
（1）度量法：如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等.如果两个角的度数不相等，度数较大的角较大
（2）叠合法：
【典例3】（2018秋•下城区期末）下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°
【变式训练】
1．（2018秋•义乌市期末）请用度分秒表示：11.5°＝ ．
2．（2018秋•柯桥区期末）用度表示30°9′36″为 ．
3．（2018秋•滨江区期末）计算：45°28′+52°27′＝ （结果用度、分、秒表示）．
4．（2011•江东区模拟）下列角度中，比20°小的是（ ）
A．19°38′ B．20°50′ C．36.2° D．56°
5．（2016秋•尚志市期末）用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（ ）
A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了
C．角的度数没有变化 D．以上都不对
知识点三 角的和差
1.如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
2.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
【典例4】（2018秋•金东区期末）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ）
A．15° B．25° C．35° D．55°
【变式训练】
1．（2018秋•北仑区期末）如图，OA方向是北偏西40°方向，OB平分∠AOC，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
2．（2018秋•萧山区期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．18° B．55° C．63° D．117°
3．（2018秋•长兴县期末）将一副直角三角尺按如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小是（ ）
A．110° B．120° C．140° D．160°
4．（2018秋•嵊州市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝25°，则∠BOD的度数为 ．
知识点四 余角和补角
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3.余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
【典例5】（2018秋•余杭区期末）若∠1与∠2互补，∠1＝54°，则∠2为（ ）
A．27° B．54° C．36° D．126°
【变式训练】
1．（2019•湖州）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
2．（2018秋•义乌市期末）如图，直角三角板的直角顶点A在直线上，则∠1与∠2（ ）
A．一定相等 B．一定互余
C．一定互补 D．始终相差10°
3．（2018秋•临安区期末）α与β的度数分别是2m﹣19和77﹣m，且α与β都是γ的补角，那么α与β的关系是（ ）
A．不互余且不相等 B．不互余但相等
C．互为余角但不相等 D．互为余角且相等
知识点五 直线的相交
1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点.
2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线.
3.对顶角的性质:对顶角相等
4.垂线：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
5.垂线的性质：
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
【典例6】（2018秋•东阳市期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【典例7】（2018秋•义乌市期末）图中的∠1、∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2019春•萧山区月考）如图，AC⊥AB，AD⊥BC于点D，在以下线段中表示点C到直线AB的距离的是（ ）
A．线段CD B．线段BC C．线段AD D．线段AC
2．（2017秋•沭阳县期末）如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2．若∠AOE＝140°，则∠AOC 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
巩固训练
1．（2018秋•金东区期末）把121.34°化成度、分、秒的形式为 ．
2．（2018秋•秀洲区期末）“国家宝藏”节目将于周日19：30播出，此时时钟上的分针与时针所成的角为 度．
3．（2018秋•义乌市期末）如图所示，射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，则∠AOB的度数是 ．
4．（2018秋•镇海区期末）已知O是直AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）在（1）问前提下∠COD绕顶点O顺时针旋转一周．
①当旋转至图②的位置，写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
②若旋转的速度为每秒10°，几秒后∠BOD＝30°？（直接写出答案）．
5．（2018秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．
（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），
①若n＝43°，求∠COD的度数；
②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．
（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．
专题12 角答案及解析
知识网络
重难突破
知识点一 角的相关概念
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
3.角的分类
α
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0°<α<90°
α=90°
90°<α<180°
α=180°
α=360°
【典例1】（2018秋•黄岩区期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．
【解析】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
【典例2】（2018秋•上城区期末）下列时刻中，时针与分针所成的角（小于平角）最大的是（ ）
A．9：00 B．3：30 C．6：40 D．5：45
【点拨】根据时针的旋转角减去分针的旋转角，可得答案．
【解析】解：A、9：00时时针与分针的夹角是90°，
B、3：30时时针与分针的夹角是90°﹣×30°＝75°，
C、6：40时时时针与分针的夹角是30°×2﹣30°×＝40°，
D、5：45时时时针与分针的夹角是30°×4﹣30°×＝97.5°，
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针的夹角是时针的旋转角减去分针的旋转角．
【变式训练】
1．（2017秋•临海市期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠A B．∠ABC C．∠D D．∠1
【点拨】先表示出各个角，再根据角的表示方法选出即可．
【解析】解：图中的角有∠A、∠1、∠ADC、∠ABC，∠B，
即表示方法不正确的有∠D，
故选：C．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，关键是学生对角的表示方法的理解和掌握．
2．（2018秋•鄞州区期末）如图，从4点钟开始，过了40分钟后，分钟与时针所夹角的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【点拨】4点时，分针与时针相差四大格，即120°，根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则40分钟后它们的夹角为40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°．
【解析】解：4点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数＝40×6°﹣4×30°﹣40×0.5°＝100°．
故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
3．（2018秋•嵊州市期末）钟表上的时间指示为两点半，此时时针与分针所成的角（小于平角）的度数为 105° ．
【点拨】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解析】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上2点30分，时针与分针的夹角可以看成3×30°+0.5°×30＝105°，
故答案为：105°．
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
知识点二 角的度量与大小比较
1.角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
2.角的大小比较：
（1）度量法：如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等.如果两个角的度数不相等，度数较大的角较大
（2）叠合法：
【典例3】（2018秋•下城区期末）下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°
【点拨】根据度、分、秒之间的换算关系求解．
【解析】解：A、10.6°＝10°36'，错误；
B、900″＝0.25°，正确；
C、1.5°＝90′，正确；
D、54°16′12″＝54.27°，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算关系：1°＝60′，1′＝60″，难度较小．
【变式训练】
1．（2018秋•义乌市期末）请用度分秒表示：11.5°＝ 11°30' ．
【点拨】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解析】解：11.5°＝11°30'，
故答案为：11°30'
【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．
2．（2018秋•柯桥区期末）用度表示30°9′36″为 30.16° ．
【点拨】根据度分秒的进率为60，再进行换算即可．
【解析】解：30°9′36″＝30.16°，
故答案为：30.16°
【点睛】本题考查了度分秒的换算，从大单位到小单位要乘以进率，而从小单位到达单位要除以进率．
3．（2018秋•滨江区期末）计算：45°28′+52°27′＝ 97°55′ （结果用度、分、秒表示）．
【点拨】根据度分秒的加法相同单位相加可得答案．
【解析】解：45°28′+52°27′＝97°55′．
故答案是：97°55′．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，度分秒的加法相同单位相加，满60时向上一单位进1．
4．（2011•江东区模拟）下列角度中，比20°小的是（ ）
A．19°38′ B．20°50′ C．36.2° D．56°
【点拨】根据角的大小比较方法分别与20°进行比较，即可得出答案．
【解析】解：∵19°38′＜20°，
20°50′＞20°，
36.2°＞20°，
56°＞20°，
∴比20°小的是19°38，
故选：A．
【点睛】此题考查了角的大小比较，根据角的比较方法进行比较，是一道基础题，比较简单．
5．（2016秋•尚志市期末）用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（ ）
A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了
C．角的度数没有变化 D．以上都不对
【点拨】角的大小只与两边叉开的大小有关，放大镜不能改变角的大小．
【解析】解：用放大镜看一个角的大小时，角的度数不会发生变化，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角的大小，明确角的大小只与两边叉开的大小有关，与其他无关是解决此类问题的关键．
知识点三 角的和差
1.如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
2.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
【典例4】（2018秋•金东区期末）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ）
A．15° B．25° C．35° D．55°
【点拨】先了解一副三角尺有30°，45°，60°，90°，然后根据这些角的和差可画出是15°的倍数的角，则可得45°﹣30°＝15°．
【解析】解：用一副三角尺，可以画出小于180°的角有：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角板的知识．注意在大于0°而小于180°的范围内，只要是15°的倍数角都可以用一副三角尺画出．
【变式训练】
1．（2018秋•北仑区期末）如图，OA方向是北偏西40°方向，OB平分∠AOC，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【点拨】根据方向角的定义和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】解：∵OA方向是北偏西40°方向，
∴∠AOC＝40°+90°＝130°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC＝∠AOC＝65°，
故选：D．
【点睛】本题考查方向角、角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解方向角的概念，学会用方向角描述位置，属于中考常考题型．
2．（2018秋•萧山区期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．18° B．55° C．63° D．117°
【点拨】一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可．
【解析】解：A、18°＝90°﹣72°，则18°角能画出；
B、55°不能写成36°、72°、45°、90°的和或差的形式，不能画出；
C、63°＝90°﹣72°+45°，则63°可以画出；
D、117°＝72°+45°，则117°角能画出．
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
3．（2018秋•长兴县期末）将一副直角三角尺按如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小是（ ）
A．110° B．120° C．140° D．160°
【点拨】先求出∠COA和∠BOD的度数，代入∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD求出即可．
【解析】解：∵∠AOD＝20°，∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠COA＝∠BOD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD＝70°+20°+70°＝160°，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键．
4．（2018秋•嵊州市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝25°，则∠BOD的度数为 115° ．
【点拨】先根据∠COE＝90°，∠COD＝25°，由角的和差关系求得∠DOE＝90°﹣25°＝65°，再根据OD平分∠AOE，由角平分线的定义得出∠AOD＝∠DOE＝65°，最后根据邻补角的定义得出∠BOD＝180°﹣∠AOD＝115°．
【解析】解：∵∠COE＝90°，∠COD＝25°，
∴∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD＝∠DOE＝65°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝115°．
故答案为：115°．
【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得∠AOD的度数，再根据邻补角进行计算．
知识点四 余角和补角
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3.余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
【典例5】（2018秋•余杭区期末）若∠1与∠2互补，∠1＝54°，则∠2为（ ）
A．27° B．54° C．36° D．126°
【点拨】根据补角的定义即可得到结论．
【解析】解：∴∠1与∠2互补，∠1＝54°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣54°＝126°，
故选：D．
【点睛】本题考查了补角和余角，熟记补角的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019•湖州）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
【点拨】根据余角的概念进行计算即可．
【解析】解：∵∠α＝60°32′，
∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，
故选：A．
【点睛】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
2．（2018秋•义乌市期末）如图，直角三角板的直角顶点A在直线上，则∠1与∠2（ ）
A．一定相等 B．一定互余
C．一定互补 D．始终相差10°
【点拨】由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，从而求解．
【解析】解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，
则∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1与∠2互余是解题的关键．
3．（2018秋•临安区期末）α与β的度数分别是2m﹣19和77﹣m，且α与β都是γ的补角，那么α与β的关系是（ ）
A．不互余且不相等 B．不互余但相等
C．互为余角但不相等 D．互为余角且相等
【点拨】根据补角的性质，可得∠α＝∠β，根据解方程，可得答案．
【解析】解：∠α与∠β都是∠γ的补角，得
∠α＝∠β，
即2m﹣19＝77﹣m，
解得m＝32，
2m﹣19＝77﹣m＝45．
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，关键是熟悉补角的性质：等角的补角相等．
知识点五 直线的相交
1.如果两条直线只有一个公共点，就称这两条直线相交. 该公共点就叫做这两条直线的交点.
2.对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线.
3.对顶角的性质:对顶角相等
4.垂线：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
5.垂线的性质：
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
【典例6】（2018秋•东阳市期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【点拨】根据直角三角形中斜边总大于直角边即可得出结论．
【解析】解：根据直角三角形的性质得：PC≤3，
∴CP长的最大值为3，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形中斜边总大于直角边是解题的关键．
【典例7】（2018秋•义乌市期末）图中的∠1、∠2可以是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【解析】解：A、∠1与∠2不是对顶角，
B、与∠2不是对顶角，
C、∠1与∠2是对顶角，
D、∠1与∠2不是对顶角，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，对正确识图能力有一定的要求．
【变式训练】
1．（2019春•萧山区月考）如图，AC⊥AB，AD⊥BC于点D，在以下线段中表示点C到直线AB的距离的是（ ）
A．线段CD B．线段BC C．线段AD D．线段AC
【点拨】根据点到直线的距离定义可做出判断．
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴线段AC的长度表示点C到直线AB的距离．
故选：D．
【点睛】本题运用了点到直线的距离的知识点，关键是准确找到垂线段．
2．（2017秋•沭阳县期末）如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2．若∠AOE＝140°，则∠AOC 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【点拨】由于∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝140°，易求∠2＝40°，而∠1＝∠2，那么∠BOD＝80°，再利用对顶角性质可求∠AOC．
【解析】解：∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝140°，
∴∠2＝40°，
∵∠1＝∠2，
∴∠BOD＝2∠2＝80°，
∴∠AOC＝∠BOD＝80°．
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，解题的关键是先求出∠2．
巩固训练
1．（2018秋•金东区期末）把121.34°化成度、分、秒的形式为 121°20′24″ ．
【点拨】根据度分秒间的进率是60，不到一度的化成分，不到一分的化成秒，可得答案．
【解析】解：121.34°＝121°20.4′＝121°20′24″，
故答案为：121°20′24″．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，大的单位化小的单位乘以进率，不到一度的化成分，不到一分的化成秒．
2．（2018秋•秀洲区期末）“国家宝藏”节目将于周日19：30播出，此时时钟上的分针与时针所成的角为 45 度．
【点拨】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可．
【解析】解：19点时分针与时针所成的角是150°，
6°×30＝180°，0.5°×30＝15°，
∴19：30分针与时针所成的角为：180°﹣150°+15°＝45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键．
3．（2018秋•义乌市期末）如图所示，射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，则∠AOB的度数是 110° ．
【点拨】根据互余两角的关系进而得出答案．
【解析】解：如图所示：∵射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，
∴∠AOB＝90°﹣30°+50°＝110°．
故答案为：110°
【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意借助互余两角的关系求出是解题关键．
4．（2018秋•镇海区期末）已知O是直AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）在（1）问前提下∠COD绕顶点O顺时针旋转一周．
①当旋转至图②的位置，写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
②若旋转的速度为每秒10°，几秒后∠BOD＝30°？（直接写出答案）．
【点拨】（1）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．
（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．
（3）①把∠AOC当作已知数求出∠BOC，求出∠BOD，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BO+∠BOD求出即可；
②根据题意列方程解答即可．
【解析】解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠COB＝90°+60°＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝75°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°．
（2）∵∠COD是直角，∠AOC＝α，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∴∠COB＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣﹣（90°﹣α）＝；
（3）①∠AOC＝2∠DOE，
理由是：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（180°﹣∠AOC）＝∠AOC﹣90°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（∠AOC﹣90°）+（90°﹣∠AOC）＝∠AOC，
即∠AOC＝2∠DOE；
②设x秒后∠BOD＝30°，根据题意得30+10x+90+30＝180或30+10x+60＝180，
t＝3s或t＝9s．
所以若旋转的速度为每秒10°，3秒或9秒后∠BOD＝30°
【点睛】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
5．（2018秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．
（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），
①若n＝43°，求∠COD的度数；
②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．
（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．
【点拨】（1）①先求出∠BOC，再求出∠COE，即可求出得出∠COD的大小；②根据题意可知2∠COE+50°＝120°据此即可求出∠COE的大小，进而求出∠COD的大小；
（2）OE平分∠BOC时，根据角平分线的定义解答即可．
【解析】解：（1）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
由n＝43°，可得∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝17°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣17°＝33°；
②∵∠AOD＝3∠COE，∠AOD+∠COD＝120°，∠DOE＝50°，
∴3∠COE+50°﹣∠COE＝120°，
解得∠COE＝35°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣35°＝15°；
（2）当OE平分∠BOC时，∠BOE＝．
【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
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