专题10 函数的单调性与最值（原卷版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题10  函数的单调性与最值

2021年江苏新高考考点分析

2021年江苏新高考考点梳理

1.函数的单调性

（1）设那么

上是增函数；上是减函数.

（2）设函数在某个区间内可导，

若，则为增函数；若，则为减函数.

2. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.

3.函数的最值

注意：1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.

3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

名师讲坛考点突破

考点1 函数单调性的定义及单调区间的求法

例1 函数的单调递减区间为    ．

A.  B.  C.  D.

变式训练1. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)

A．y＝　　 B．y＝x2－1

C．y＝()x　　 D．y＝log2x[来源:Z#xx#k.Com]

变式训练2. f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是____________．

考点2 单调性的证明

例2. 判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．

变式训练3. 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)证明：f(x)为单调递减函数；

(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

考点3 复合函数的单调性问题

例3 函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(4，＋∞)

变式训练4. 函数y＝的单调递减区间为________．

考点4 含参数函数的单调性问题

例4 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式训练5. 已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

新高考模拟试题过关测试

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1. 若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)

A．增函数  B．减函数

C．先增后减  D．先减后增

2. 若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．(－∞，1]

3. 设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)[来源:学科网]

A．y＝在R上为减函数

B．y＝|f(x)|在R上为增函数

C．y＝2－f(x)在R上为减函数

D．y＝－[f(x)]3在R上为增函数

4. 已知函数，则的单调递减区间为     

A.  B.  C.  D.

5. 设p：“函数在上单调递减”，q：“，”，则p是q的(   )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 函数的单调递增区间是         ．

A.  B.  C.  D.

7. 若在区间上递减，则a的取值范围为    

A.  B.  C.  D.

8. 已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 若函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值可能为(　　)

A．4　              B．5               C．6　　        D．7

10. 设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值可能（  ）

A．0　              B．1              C．2　　        D．3

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．

12. 已知若，则实数a的取值范围是___________

13. 已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．

14. 已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

15. 判断函数，的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

[来源:Z。xx。k.Com]

16．设函数．

作出函数f 的图象；

当且f  时，求的值；

若方程f 有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．

17. 已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

18. 已知二次函数，为偶函数，函数的图象与直线相切．

（1）求的解析式；

（2）若函数在上是单调减函数，那么：

①求k的取值范围；

②是否存在区间（），使得在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间；若不存在，请说明理由．