专题06 二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题06 二次函数与一元二次方程、不等式

2021年江苏新高考考点分析

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高考数学的重要内容，函数、方程及不等式是新高考的必考内容.[来源:Z。xx。k.Com]

2021年江苏新高考考点梳理

1. 二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.

(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;

(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r

(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根

(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.

(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q).

3.二次不等式转化策略

(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;

(2)当a>0时，f(α)<f(β) |α+|<|β+|,当a<0时，f(α)<f(β)|α+|>

|β+|;

(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或

(4)f(x)>0恒成立

名师讲坛考点突破

考点1求二次函数的解析式

例1 已知二次函数f(x)的图像过（2，-1），（-1，-1），且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

变式训练1. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.

变式训练2. 已知函数，满足：；．
求函数的解析式；

[来源:Zxxk.Com]

考点2 二次函数中的最值问题

例2. 已知函数y＝2sin2x－2asin x＋3有最小值，记作g(a)．

(1) 求g(a)的表达式；

(2) 求g(a)的最大值．

[来源:学_科_网]

变式训练3. 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值.

考点3 二次函数中的恒成立问题

例3设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围为            ．

变式训练4. 已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．

变式训练5.已知，满足条件，且．

求的解析式；

当时，恒成立，求实数m的取值范围．

新高考模拟试题过关测试

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1.如果二次函数在区间上是减函数，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A.1   B.0   C.－1   D.2

4. 对二次函数为非零整数，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是

A. 是的零点 B. 1是的极值点
C. 3是的极值 D. 点在曲线上

5. 已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 　B．1或

C．－1或   D．－5或

6. 函数在区间上为增函数，则实数k的取值范围为

A.  B.  C.  D.

7. 若函数的定义域和值域都是，则   

A. 1 B. 3 C. 2 D. 1或3

8. 已知方程在区间有解，则实数m的取值范围为     

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值不能为(    )

A.正数          B.负数    

C.非负数          D.正数、负数和零都有可能

10. 已知函数，．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（  ）
A.0                 B.1                  C.-2                    D.3   

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是______．

12.已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为，则______．

13. 已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是    ．

14.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________；

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

15. 已知二次函数满足且.

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

16．设函数.

（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；

（2）若对于，恒成立，求的取值范围.

17. 设函数，其中，将的最小值记为．
求的表达式；
当时，函数有一个零点，求实数k的取值范围；
问实数a取何值时，方程在上有四个不同的解？

[来源:学*科*网]

18. 已知函数．

若函数在上有最大值，求实数a的值；

若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．