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2021高考数学模拟试卷十四
展开注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式： | |
球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=πR3 其中R表示球的半径 锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高 | 柱体的体积公式 V=Sh 其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高 台体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h表示台体的高
|
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | C | A | D | A | B | A | D | C | B |
提示：
8. D 解：如图所示，因双曲线线的渐近线为，
对于，直线：，
由原点到直线：的距离得，因此，
则根据几何图形的性质可得，
根据双曲线的定义得，
因此可得，则双曲线的线近线为．
9．C 解：因，，
10．B 解：由
，则
；
则问题转化为四边形中，
二、填空题 (本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分)
11． 12．； 13．； 14．，
15．； 16． 17．
提示：
16． 解：令，
则，，因，又，则，
可得，则，即
17． 解：
，由题意得的含义即：存在，对于任意的，的最小值为1，由于在数轴上的点和点之间的距离恰为2，因此要使得的最小值为1，则必有且，解得.
三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
18．解：（I）在中，
由正弦定理，可得，
又由，可得，
即，………………………………………………………………… 3分
即，可得，
又因为，所以． …………………………………………………… 7分
（II）法一：如图，延长到，满足，连接，
则为平行四边形，且，
在中，由余弦定理得，
即，可得，即，……………… 10分
由基本不等式得：，
即，即，可得
（当且仅当取等号号） ……………………………………… 12分
又由，即，
故的取值范围是 .………………………………………………………… 14分
法二：也可以用中线向量+基本不等式解决，酌情给分.
19．解：（I）连接交于，连接，易知.因为平面，平面，所以平面. ………………………… 3分
又，同理可证平面.
又因为，所以平面平面. ………………………… 7分
（II）（几何法）连接，由菱形与菱形全等且，
可得出，.
所以，又平面平面且相交于，所以平面.
由，又且，所以平面，
平面平面，
过作，所以平面，
连接，由,所以即为直线与平面的所成角. ……… 10分
由（I）平面平面,
即为直线与平面的所成角. ……………… 12分
由条件有，.
在直角三角形中，，所以，则
所以，又在直角三角形,,所以
易知，所以.
则直线与平面的所成角的正弦值为． ………………………15分
（II）（坐标法）连接，由菱形与菱形全等且，
可得出，.
所以，又平面平面且相交于，所以平面.
则可以以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，令，则，，，，， ……… 10分
设平面的法向量为，则由得
则可令，得，，平面的法向量为， ………… 12分
设直线与平面的所成角为，，
则直线与平面的所成角的正弦值为． ……………… 15分
20. 解：（1）由是，的等差中项得，
所以，解得， ……………………………3分
由，得，解得或，
因为，所以. ………………………………6分
所以. …………………………………7分
（Ⅱ）先证右边，
………………………………11分
又有， ………………………………15分
21．解：(Ⅰ)由已知得，，，
所以抛物线方程为，椭圆方程为. ………………5分
(Ⅱ)设直线方程为：，
由消去得，，
设，则
因为 ……………7分
所以或(舍去)，所以直线方程为：. …………9分
由消去得，.
设，则 ……………11分
所以
. ……………13分
令，则，
所以，
当且仅当时，即时，取最大值. ………………15分
22．证明：（I）设函数．
在有两个零点当且仅当在有两个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
当时，易证 ，所以．
故在也有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在有两个零点时，．
注：采用分离参数进行求解也可以
（II）证明：，
故，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，
由零点存在性定理及的单调性知，
方程在有唯一根，
设为且，从而有两个零点和，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
从而存在唯一的极大值点即证，
由得，，
取等不成立，所以得证，
又，在单调递增，
所以得证.
从而.
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