苏科版九年级（上）期末数学真题试卷5套（含答案）

2019学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（　　）
A．抽到“大王” B．抽到“2” C．抽到“小王” D．抽到“红桃”
2．（2分）某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（　　）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
3．（2分）x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，32＜x1＜2，对x2的估算正确的是（　　）
A．﹣1＜x2＜-12 B．-12＜x2＜0 C．0＜x2＜12 D．12＜x2＜1
4．（2分）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为下列各点中的（　　）

A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，C是OB的中点，过点C作CD⊥AB，交半圆于点D，则BD与AD的长度的比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
6．（2分）若点A（0，1）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a、b是常数）的图象上，则下列各点一定在该图象上的是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（1，1） D．（2，1）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）若ab=23，则a+b2b=　 　．
8．（2分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是　 　．
9．（2分）圆锥的底面半径是4cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积等于　 　cm2．
10．（2分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在涂色部分的概率是　 　．

11．（2分）将二次函数y＝﹣2x2+1的图象绕点（0，2）顺时针旋转180°，得到的图象所对应的函数表达式为　 　．
12．（2分）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两根分别为　 　．
13．（2分）如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为　 　．（结果保留根号）

14．（2分）将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠1+∠2+∠3＝　 　°．

15．（2分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于两点A、B，它的对称轴与x轴交于点N．过顶点M作ME⊥y轴，垂足为E，连接BE，交MN于点F，则△EMF与△BNF的面积的比为　 　．

16．（2分）如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）求二次函数y＝x2+4x+5的最小值，并求出对应的x的值．
18．（8分）用代入法解二元一次方程组x+y=10，2x+y=16的过程可以用下面的框图表示：

尝试按照以上思路求方程组x-y=0，x2+2y=4的解．
19．（6分）将二次函数y＝ax2+bx+1的图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），求a、b的值．
20．（8分）我市种的水稻2012年平均每公顷产7000kg，2014年平均每公顷产8470kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．
21．（6分）某地铁站有4个出站口，分别为1号、2号、3号、4号，小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站．
（1）小华从1号出站口出站的概率是　 　；
（2）求两人不从同一个出站口出站的概率．
22．（8分）在物理课上，我们学习过“小孔成像”﹣﹣用一个带有小孔的薄板遮挡在物体与光屏之间，在光的照射下，光屏上就会形成一个倒立的实像．如图，光线分别经过物体AB的两端A、B和小孔P，投射在与AB平行的光屏l上形成了实像A'B'．已知AB＝a，小孔P与AB、l的距离分别为m、n．求A'B'的长（用含a、m、n的代数式表示）．

23．（8分）某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5：4：1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元/kg、20元/kg、27元/kg．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为⊙O上一点，且AC=BC，P为BC上的一动点，延长AP至Q，使得AP•AQ＝AB2，连接BQ．
（1）求证：直线BQ是⊙O的切线；
（2）若点P由点B运动到点C，则线段PQ扫过的面积是　 　．（结果保留π）

25．（8分）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
26．（10分）如图①，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B．若∠APB＝60°，则点P叫做⊙O的切角点．

（1）如图②，⊙O的半径是1，点O到直线l的距离为2．若点P是⊙O的切角点，且点P在直线l上，请用尺规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1+3，⊙O是△ABC的内切圆．若点P是⊙O的切角点，且点P在△ABC的边上，求AP的长．
27．（12分）问题情境
有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解
根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析
（1）当a＝12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是　 　m2；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是　 　m2．
（2）当a＝20时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题
（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．


2018-2019学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（　　）
A．抽到“大王” B．抽到“2” C．抽到“小王” D．抽到“红桃”
【分析】利用概率公式分别求出抽到“A”的概率以及四个选项中每个事件的概率，再比较即可．
【解答】解：从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”的概率为454=227．
A、从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“大王”的概率为154，故本选项错误；
B、从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“2”的概率为454=227，故本选项正确；
C、从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“小王”的概率为154，故本选项错误；
D、从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“红桃”的概率为1354，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2分）某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（　　）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
【分析】先求出去掉一个最高分和一个最低分的平均数，再代入方差公式求出去掉后的方差，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，该选手的平均数是：13（90+88+92）＝90，
则方差是：13[（90﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2]=83，
所以如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会变小；
故选：C．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]．
3．（2分）x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，32＜x1＜2，对x2的估算正确的是（　　）
A．﹣1＜x2＜-12 B．-12＜x2＜0 C．0＜x2＜12 D．12＜x2＜1
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可求解．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝1
∴x1＝1﹣x2，
∵32＜x1＜2，
∴32＜1﹣x2＜2
∴﹣1＜x2＜-12
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系解决问题是本题的关键．
4．（2分）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为下列各点中的（　　）

A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【分析】利用两个三角形都为直角三角形，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当PDBC=DEAC时，△ABC∽△EPD，然后利用比例性质计算出PD后可判断P点的位置．
【解答】解：∵∠EDP＝∠ACB＝90°，
∴当PDBC=DEAC时，△ABC∽△EPD，
即PD3=42，
∴PD＝6，
∴点P在格点P2的位置．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，C是OB的中点，过点C作CD⊥AB，交半圆于点D，则BD与AD的长度的比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【分析】连接OD，利用直角三角形的性质和弧长计算解答即可．
【解答】解：连接OD，
∵AB是半圆O的直径，C是OB的中点，
∴OD＝2OC，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴BD与AD的长度的比为60πr180：120πr180=1：2，
故选：A．
【点评】此题考查弧长的计算，关键是利用直角三角形的性质和弧长计算解答．
6．（2分）若点A（0，1）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a、b是常数）的图象上，则下列各点一定在该图象上的是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（1，1） D．（2，1）
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性得到点A（0，1）关于直线x＝1的对称点的坐标为（2，1），从而确定正确选项．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=--2a2a=1，
所以点A（0，1）关于直线x＝1的对称点的坐标为（2，1），
所以点（2，1）一定在二次函数y＝ax2﹣2ax+b．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：图象上的一个点总有关于对称轴对称的另一个点．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）若ab=23，则a+b2b=　56　．
【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：由ab=23可得：3a＝2b，
进而得出b＝1.5a，
把b＝1.5a代入a+b2b=a+1.5a3a=56，
故答案为：56．
【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
8．（2分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是　3　．
【分析】先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．
【解答】解：∵一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，
∴x＝3，∴此组数据为﹣1，2，3，3，5，
∴这组数据的中位数为3，
故答案为3．
【点评】此题主要考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解本题的关键．
9．（2分）圆锥的底面半径是4cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积等于　20π　cm2．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：这个圆锥的侧面积=12×2π×4×5＝20π（cm2）．
故答案为：20π；
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
10．（2分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在涂色部分的概率是　14　．

【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在涂色部分的概率就是涂色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为4×4＝16，其中阴影部分面积为4，
∴飞镖落在涂色部分的概率是416=14，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了几何概率，确定涂色部分的面积与整个方格网的面积之间的关系是解题的关键．
11．（2分）将二次函数y＝﹣2x2+1的图象绕点（0，2）顺时针旋转180°，得到的图象所对应的函数表达式为　y＝2x2+3　．
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕点（0，2）旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向上，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴绕点（0，2）旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（0，3），
∴所得到的图象的解析式为y＝2x2+3，
故答案是：y＝2x2+3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
12．（2分）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两根分别为　2，3　．
【分析】观察给出的两个方程，得到1、2也是关于（x﹣1）的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+1＝0的两个根，求出x即可．
【解答】解：两个方程的系数、结构相同，
所以1、2也是关于（x﹣1）的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+1＝0的两个根，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝2，
∴x＝2或x＝3．
故答案为：2、3．
【点评】本题考查了根与系数的关系．解决本题的关键是：根据给出的方程特点，得到给出的两个方程的解相同．
13．（2分）如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为　5-2　．（结果保留根号）

【分析】根据黄金比为5-12分别求出AF、BE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵E、F是线段AB的两个黄金分割点，
∴AF＝BE=5-12AB=5-12，
∴EF＝AF+BE﹣AB=5-2，
故答案为：5-2．
【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比为5-12是解题的关键．
14．（2分）将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠1+∠2+∠3＝　84　°．

【分析】三角形的外角和360°，利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的2个内角的度数，即可得出答案．
【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正五边形的内角的度数是：15×（5﹣2）×180°＝108°，
∠1+∠2+∠3＝360°﹣60°﹣108°﹣108°＝84°．
故答案为：84．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
15．（2分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于两点A、B，它的对称轴与x轴交于点N．过顶点M作ME⊥y轴，垂足为E，连接BE，交MN于点F，则△EMF与△BNF的面积的比为　1：4　．

【分析】由题意可求顶点坐标和x轴的交点坐标，由△EMF∽△BNF可得△EMF与△BNF的面积的比＝EM2：BN2＝1：：4．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点M坐标为（1，4），对称轴为x＝1
∴EM＝1＝ON，MN＝4，
∵当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3
∴x1＝3，x2＝﹣1
∴点B（3，0），点A（﹣1，0）
∴OB＝3
∴BN＝OB﹣ON＝2
∵ME⊥y轴，OB⊥y轴
∴ME∥OB
∴△EMF∽△BNF
∴△EMF与△BNF的面积的比＝EM2：BN2＝1：4，
故答案为：1：4
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用二次函数的性质是本题的关键．
16．（2分）如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为　22　．

【分析】延长DC交⊙O于点E．由相交弦定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：延长DC交⊙O于点E．

∵OC⊥DE，
∴DC＝CE，
∵AC•CB＝DC•DE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），
∴DC2＝2×4＝8，
∵DC＞0，
∴DC＝22，
故答案为22．
【点评】本题考查垂径定理，相交弦定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）求二次函数y＝x2+4x+5的最小值，并求出对应的x的值．
【分析】直接利用配方法或者公式法求出二次函数最值即可．
【解答】解：方法一：
y＝x2+4x+5
＝（x+2）2+1．
所以二次函数y＝x2+4x+5的最小值是1．
对应的x的值为﹣2．

方法二：
二次函数y＝x2+4x+5的最小值=4ac-b24a=1，
x=-b2a=-2．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法，正确记忆二次函数最值求法公式是解题关键．
18．（8分）用代入法解二元一次方程组x+y=10，2x+y=16的过程可以用下面的框图表示：

尝试按照以上思路求方程组x-y=0，x2+2y=4的解．
【分析】根据解方程组的方法﹣代入消元法解方程组即可．
【解答】解：x-y=0①x2+2y=4②，
由①，得y＝x③，
将③代入②，得
x2+2x＝4，
解这个方程，得x1＝﹣1+5，x2＝﹣1-5，
将x1、x2分别代入③，得y1＝﹣1+5，y2＝﹣1-5，
所以，原方程组的解是x=-1+5y=-1+5或x=-1-5y=-1-5，
【点评】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
19．（6分）将二次函数y＝ax2+bx+1的图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），求a、b的值．
【分析】根据抛物线平移后经过点（0，3）、（2，﹣5），可得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5），利用方程组求得a，b的值即可．
【解答】解：二次函数图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），可得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5），
得a+b+1=39a+3b+1=-5，
解得 a＝﹣2，b＝4．
【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线平移规律求得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5）是解题的关键．
20．（8分）我市种的水稻2012年平均每公顷产7000kg，2014年平均每公顷产8470kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【分析】根据增长后的产量＝增长前的产量（1+增长率），设增长率是x，则2014年的产量是7000（1+x）2，据此即可列方程，解出即可．
【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
根据题意，得7000（1+x）2＝8470，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出2012年的产量是6000（1+x）2，然后得出方程．
21．（6分）某地铁站有4个出站口，分别为1号、2号、3号、4号，小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站．
（1）小华从1号出站口出站的概率是　14　；
（2）求两人不从同一个出站口出站的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得．
（2）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小华从1号出站口出站的概率是14，
故答案为：14．

（2）列表如下

1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
共有16种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两人不从同一个出站口出站”（记为事件A）的结果有12种，
所以P（A）=34．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，难度不大，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）在物理课上，我们学习过“小孔成像”﹣﹣用一个带有小孔的薄板遮挡在物体与光屏之间，在光的照射下，光屏上就会形成一个倒立的实像．如图，光线分别经过物体AB的两端A、B和小孔P，投射在与AB平行的光屏l上形成了实像A'B'．已知AB＝a，小孔P与AB、l的距离分别为m、n．求A'B'的长（用含a、m、n的代数式表示）．

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ABA'B'=mn，进而得出答案．
【解答】解：∵AB∥A'B'，
∴∠A＝∠PA'B′，∠B＝∠PB'A′，
∴△APB∽△A'PB'，且相似比为m：n，
∴ABA'B'=mn，
又∵AB＝a，
∴A'B'=anm，
所以A'B' 的长为anm．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
23．（8分）某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5：4：1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元/kg、20元/kg、27元/kg．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．
【分析】根据加权平均数的概念进行解答即可．
【解答】解：这样定价不合理，理由如下：
加权平均数：x=16×510+20×410+27×110
＝18.7（元/kg）．
算术平均数=16+20+273=21（元/kg），
21＞18.7，
∴将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数不合理，
答：该什锦糖果合理的单价为18.7元/kg．
【点评】本题考查了加权平均数的计算公式，熟知加权平均数的概念，正确列出算式是解题的关键．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为⊙O上一点，且AC=BC，P为BC上的一动点，延长AP至Q，使得AP•AQ＝AB2，连接BQ．
（1）求证：直线BQ是⊙O的切线；
（2）若点P由点B运动到点C，则线段PQ扫过的面积是　6﹣π　．（结果保留π）

【分析】（1）如图1，连接PB，根据已知条件得到△ABP∽△AQB，求得∠ABQ＝∠APB＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）首先证明△ABP∽△AQB，则∠APB＝∠QBA＝90°，然后求得点P与点C重合时，求得BQ的长度即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接PB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵AP•AQ＝AB2，
∴APAB=ABAQ，
在△ABP和△AQB中，∠BAP＝∠QAB，
∴△ABP∽△AQB，
∴∠ABQ＝∠APB＝90°，
即AB⊥BQ，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BQ是⊙O的切线；
（2）解：如图2，理解OC，
∵AP•AQ＝AB2，
∴APAB=ABAQ，
在△ABP和△AQB中，∠BAP＝∠QAB，
∴△ABP∽△AQB，
∴∠ABQ＝∠APB＝90°，
∴QB始终与AB垂直，
当点P在B点时，Q与B重合，
当点P在C点时，BQ＝2OC＝4，此时，Q运动到最远处，
∴点Q运动路径长为4，
∴线段PQ扫过的面积＝S四边形OBQC﹣S扇形OBC=12（2+4）×2-90⋅π×22360=6﹣π，
故答案为：6﹣π．


【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，证得△ABP∽△AQB是解题的关键．
25．（8分）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
【分析】（1）方法一：根据题意中的函数解析式，可以求得与x轴的交点，从而可以证明结论成立；方法二：令y＝0，计算出方程（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0时的△的值，即可证明结论成立；
（2）令x＝0得到y的值，然后令此时y的值小于零，即可求得m的取值范围．
【解答】证明：（1）方法一：
当y＝0时，（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝m+3，
当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根，
当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根，
所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
方法二：y＝（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝x2﹣（m+4）x+m+3，
当y＝0时，x2﹣（m+4）x+m+3＝0，
△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+4）] 2﹣4（m+3）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，
所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）∵y＝（x﹣1）（x﹣m﹣3），
∴当x＝0时，y＝m+3，
即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是m+3，
当m+3＜0，得m＜﹣3，
即m＜﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的下方．
【点评】本题考查抛物线与x轴和y轴的交点及坐标性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26．（10分）如图①，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B．若∠APB＝60°，则点P叫做⊙O的切角点．

（1）如图②，⊙O的半径是1，点O到直线l的距离为2．若点P是⊙O的切角点，且点P在直线l上，请用尺规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1+3，⊙O是△ABC的内切圆．若点P是⊙O的切角点，且点P在△ABC的边上，求AP的长．
【分析】（1）考查尺规作出，以O为圆心，大于2为半径画弧与直线L交于两点，然后又分别以这两点为圆心，大于弦长的一半为半径画出两条弧相交于一点，连接圆心和交点的直线与直线L相交，则两条直线的交点即为点P；
（2）本题分两种情况讨论：
①若⊙O的切角点P在线段AB上，PQ与⊙O相切于点Q，则由切角点的概念知∠MPQ＝60°，连接MO、QO、PO，有∠PMO＝∠PQO＝90°，可得AP＝BA﹣BM﹣MP＝2；
②若⊙O的切角点P在线段AC上，与上一种情况类似计算可得PD=3，可得AP＝AC﹣CD﹣PD＝2．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1+3，
∴AB＝2+23，AC＝3+3．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
设AB、BC、AC分别与⊙O相切于点M、N、D，
∴OD⊥AC，ON⊥BC，OM⊥AB，BM＝BN，CN＝CD，AM＝AD．
∵∠ACB＝90°，∴四边形ONCD为矩形．
∵OD＝ON，∴矩形ONCD为正方形
设⊙O的半径为r，则CN＝CD＝r，
BN＝BM＝1+3-r，MA＝AD＝1+3+r．
∴AC＝AD+CD＝1+3+r+r．
即1+3+r+r＝3+3．
解得 r＝1．
∴CD＝1，BM=3．
如图①，∵∠B＝60°，且BA、BC与⊙O分别相切于点M、N，
∴点B是⊙O的切角点，即点P与点B重合，此时AP＝AB＝2+23．

①
如图②，若⊙O的切角点P在线段AB上，PQ与⊙O相切于点Q．
由切角点的概念知∠MPQ＝60°．
连接MO、QO、PO，有∠PMO＝∠PQO＝90°．
∵MO、QO是⊙O的半径，∴MO＝QO．
∵PO＝PO，∴Rt△PMO≌Rt△PQO（HL）．
∴∠MPO＝∠QPO=12∠MPQ＝30°．
∵r＝1，∴MP=3．
∴AP＝BA﹣BM﹣MP＝2．
如图③，若⊙O的切角点P在线段AC上．
与上一种情况类似计算可得PD=3．
则AP＝AC﹣CD﹣PD＝2．
综上，AP的长为2+23或2．

【点评】解这类题一般要读懂题意，理解题中所给的新定义，然后按新的定义来解决问题；一般在解决与圆的切线有关的问题时，都作过切点的半径，可得该条半径与切线垂直，从而可构造直角三角形来求解．
27．（12分）问题情境
有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解
根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析
（1）当a＝12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是　288　m2；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是　324　m2．
（2）当a＝20时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题
（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．

【分析】（1）如图，设：AB＝x，则BC＝60﹣2x，则0＜60﹣2x≤12，即：24≤x＜30，即可求解；
（2）如图①，设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m．所以S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450即可求解，如图②，同理可解；
（3）分0＜a≤20、20＜a＜30、a≥30，三种情况求解即可．
【解答】解：（1）如图，设：AB＝x，则BC＝60﹣2x，

则0＜60﹣2x≤12，即：24≤x＜30，
S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450．
∵24≤x＜30，则x＝24时，S矩形ABCD取得最大值为288，
同理，图②的方案设计，S矩形ABCD取得最大值为324，
故：答案为288，324；
（2）如图①，设AB＝x m，则BC＝（60﹣2x） m．
所以S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450．

根据题意，得20≤x＜30．
因为﹣2＜0，
所以当20≤x＜30时，S矩形ABCD随x的增大而减小．
即当x＝20时，S矩形ABCD有最大值，最大值是400（m2）．
如图②，设AB＝x m，则BC＝（40﹣x） m．
所以S矩形ABCD＝x（40﹣x）＝﹣（x﹣20）2+400．

根据题意，得0＜x≤20．
因为﹣1＜0，
所以当x＝20时，
S矩形ABCD有最大值，最大值是400（m2）．
综上，当a＝20时，该养鸡场围成一个边长为20 m的正方形时面积最大，最大面积是400 m2．
（3）当0＜a≤20时，围成边长为a+604 m的正方形面积最大，最大面积是a2+120a+360016 m2．
当20＜a＜30时，围成两邻边长分别为a m，60-a2 m的养鸡场面积最大，最大面积为-a2+60a2m2．
当a≥30时，当矩形的长为30 m，宽为15 m时，养鸡场最大面积为450 m2．
【点评】本题为二次函数综合运用的题目，主要考查函数最值问题，此类题目通常要综合考虑自变量的取值范围，结合对称轴位置情况进行综合分析再行求解．
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日期：2019/12/23 11:04:41；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521












2019学年江苏省淮安市淮安区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题.每小题2分，共计16分.在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2分）下列四种汽车标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列四个数中，最大的一个数是（　　）
A．2 B．3 C．0 D．﹣2
3．（2分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，2 B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，12，18
4．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）向右移动3个单位长度后的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣3） B．（1，﹣3） C．（1，0） D．（﹣2，0）
5．（2分）如图，一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（　　）

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL
6．（2分）函数y＝3x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
7．（2分）已知等腰三角形的两边长为4，5，则它的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．13或14
8．（2分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
二、填空题（本大题共10小题.每小题3分，共计30分.不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）
9．（3分）4=　 　．
10．（3分）小刚家位于某住宅楼A座16层，记为：A16，按这种方法，小红家住B座10层，可记为　 　．
11．（3分）在一次函数y＝（k﹣1）x+5中，y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 　．
12．（3分）已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是　 　．
13．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为　 　．

14．（3分）若一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象相交于点（2，3），则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是　 　．
15．（3分）如图，已知AB＝AC，用“SAS”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件　 　．

16．（3分）若直线y＝kx+1与直线y＝3x﹣2平行，则k为　 　．
17．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿AC折起，重叠部分为△ACE，若AB＝6，BC＝4，则重叠部分△ACE的面积为　 　．

18．（3分）已知如图，在平面直角坐标系中，x轴上的动点P（x，0）到定点A（0，2）、B（3，1）的距离分别为PA和PB，求PA+PB的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共计74分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（8分）（1）计算：（﹣1）2018+25
（2）求x的值：4x2＝64
20．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为点D，求BC的长．

21．（8分）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE．
（1）试说明△ACD≌△BCE；
（2）若∠D＝50°，求∠B的度数．

22．（8分）已知y是x的一次函数，表中给出了部分对应值．
x
﹣1
2
4
n
y
5
﹣1
m
﹣7
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求m、n的值．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣3，2）、B（﹣1，1）、C（﹣2，3）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2；
（3）若点M的坐标为（a，b），将点M向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点M1；再将点M1关于x轴对称，得到点M2，则点M2的坐标为　 　．

24．（8分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发匀速前往B地，甲比乙先出发1小时．设甲出发x小时后，甲乙两人离A地的距离分别为y甲、y乙，并且y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）A、B两地之间的距离是　 　km，甲的速度是　 　km/h；
（2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式．

25．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试说明△ADE是等腰三角形．

26．（8分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1、l2分别交y轴于点B、C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=13．
（1）求点B的坐标；
（2）若OC：OB＝1：3，求直线l2的解析式．

27．（10分）【模型建立】
（1）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA；
【初步应用】
（2）在平面直角坐标系内将点P（3，2）绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点P′，则点P′坐标为　 　；
【解决问题】
（3）已知一次函数y＝2x﹣4的图象为直线1，将直线1绕它与x轴的交点P逆时针旋转90°，得到直线1′，则直线1′对应的一次函数表达式为　 　．


2018-2019学年江苏省淮安市淮安区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题.每小题2分，共计16分.在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2分）下列四种汽车标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2分）下列四个数中，最大的一个数是（　　）
A．2 B．3 C．0 D．﹣2
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣2＜0＜3＜2，
故四个数中，最大的一个数是2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
3．（2分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，2 B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，12，18
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+（2）2≠（2）2，故不是直角三角形；
B、62+82＝102，能构成直角三角形；
C、42+52≠92，故不是直角三角形；
D、52+122≠182，故不是直角三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
4．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）向右移动3个单位长度后的坐标是（　　）
A．（﹣5，﹣3） B．（1，﹣3） C．（1，0） D．（﹣2，0）
【分析】让点P的横坐标加3，纵坐标不变即可．
【解答】解：平移后点P的横坐标为﹣2+3＝1，纵坐标不变为﹣3；
所以点P（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
5．（2分）如图，一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（　　）

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL
【分析】没有被挡住的部分有三角形的两角和它们的夹边，从而可根据“ASA”求解．
【解答】解：利用“ASA”能判断所画三角形与原三角形全等．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了三角形全等的判定．
6．（2分）函数y＝3x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【分析】y轴上的点的横坐标均为0，让函数解析式中的x＝0列式求解即可．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2，
∴函数y＝3x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
故选：C．
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：在y轴上的点的横坐标为0．
7．（2分）已知等腰三角形的两边长为4，5，则它的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．13或14
【分析】分情况考虑：当4是腰时或当5是腰时，然后分别求出两种情况下的周长．
【解答】解：当4是腰时，能组成三角形，周长为4×2+5＝13；
当5是腰时，则三角形的周长是4+5×2＝14．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
8．（2分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】当y≥0时，即函数图象在x轴上和在x轴上方时对应的x的取值范围，结合图象可求得答案．
【解答】解：
由图象可知当x＝﹣2时，y＝0，且y随x的增大而减小，
∴当y≥0时，x≤﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，理解y≥0所表示的含义是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题.每小题3分，共计30分.不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）
9．（3分）4=　2　．
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：∵22＝4，
∴4=2．
故答案为：2
【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．
10．（3分）小刚家位于某住宅楼A座16层，记为：A16，按这种方法，小红家住B座10层，可记为　B10　．
【分析】明确对应关系，然后解答．
【解答】解：小刚家位于某住宅楼A座16层，记为：A16，按这种方法，那么小红家住B座10层，可记为B10．故答案填：B10．
【点评】本题较为简单，主要是参照小刚家命名的方式来解决．
11．（3分）在一次函数y＝（k﹣1）x+5中，y随x的增大而增大，则k的取值范围是　k＞1　．
【分析】根据比例系数大于0时，一次函数的函数值y随x的增大而增大列出不等式求解即可．
【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k﹣1＞0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】本题考查了一次函数的性质，关键是掌握在一次函数y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
12．（3分）已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是　5　．
【分析】直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可．
【解答】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，
则斜边长=62+82=10，
∴斜边中线长为12×10＝5，
故答案为 5．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理根据2直角边求斜边是解题的关键．
13．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为　2　．

【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE=12PC=12×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
14．（3分）若一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象相交于点（2，3），则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是　x=2y=3．　．
【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P（﹣2，3），
∴方程组组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是
x=2y=3．
故答案为x=2y=3．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
15．（3分）如图，已知AB＝AC，用“SAS”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件　AD＝AE　．

【分析】根据SAS定理解答．
【解答】解：需添加条件是AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：AD＝AE．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等是解题的关键．
16．（3分）若直线y＝kx+1与直线y＝3x﹣2平行，则k为　3　．
【分析】若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．直接根据两直线平行的条件即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+1与直线y＝3x﹣2平行，
∴k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，熟知若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同是解答此题的关键．
17．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿AC折起，重叠部分为△ACE，若AB＝6，BC＝4，则重叠部分△ACE的面积为　263　．

【分析】根据折叠的性质得到∠BAC＝∠B′AC，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ECA，等量代换得到∠EAC＝∠ECA，根据等腰三角形的判定定理得到EA＝EC，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
由折叠的性质可知，∠BAC＝∠B′AC，
∵DC∥AB，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即42+（6﹣EC）2＝EC2，
解得，EC=133
∴重叠部分的面积=12×133×4=263，
故答案为：263．
【点评】本题考查了折叠的性质，掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等是解题的关键，注意三角形的面积公式的应用．
18．（3分）已知如图，在平面直角坐标系中，x轴上的动点P（x，0）到定点A（0，2）、B（3，1）的距离分别为PA和PB，求PA+PB的最小值为　32　．

【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，此时PA+PB的值最小．
【解答】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，此时PA+PB的值最小．

∵PA+PB＝PA+PB′＝AB′=32+32=32，
故答案为32．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9小题，共计74分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19．（8分）（1）计算：（﹣1）2018+25
（2）求x的值：4x2＝64
【分析】（1）先计算乘方和算术平方根，再计算加法即可得；
（2）两边都除以4，再根据平方根的定义计算可得．
【解答】解：（1）（﹣1）2018+25=1+5＝6；

（2）∵4x2＝64，
∴x2＝16，
则x＝±4．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握乘方的定义和平方根及算术平方根的定义．
20．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为点D，求BC的长．

【分析】依据勾股定理，即可得到BD和CD的长，进而得出BC＝BD+CD＝21．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝20，AD＝12，AD⊥BC，
∴Rt△ABD中，BD=AB2-AD2=132-122=5，
Rt△ACD中，CD=AC2-AD2=202-122=16，
∴BC＝BD+CD＝5+16＝21．
【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2＝c2及其变形．
21．（8分）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE．
（1）试说明△ACD≌△BCE；
（2）若∠D＝50°，求∠B的度数．

【分析】（1）已知C是线段AB的中点，所以有AC＝BC，又因为CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，所以∠ACD＝∠BCE，故可根据SAS判定两三角形全等．
（2）由△ACD≌△BCE，得到∠D＝∠E，根据平角的定义得到∠1+∠2+∠3＝180°由∠1＝∠2＝∠3，得到∠1＝∠2＝∠3＝60°，求得∠B＝180°﹣∠3﹣∠E＝70°．
【解答】（1）证明：∵C是线段AB的中点
∴AC＝BC
∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ECD，∠BCE＝∠ECD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠D＝∠E＝50°，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠3﹣∠E＝70°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
22．（8分）已知y是x的一次函数，表中给出了部分对应值．
x
﹣1
2
4
n
y
5
﹣1
m
﹣7
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求m、n的值．
【分析】（1）由所给数据，利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）利用（1）中所求的函数解析式进行求解即可．
【解答】解：
（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
由题意可得-k+b=52k+b=-1，解得k=-2b=3，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+3；
（2）当x＝4时，代入可得m＝﹣2×4+3＝﹣5，
当y＝﹣7时，代入可得﹣7＝﹣2n+3，解得n＝5，
∴m＝﹣5，n＝5．
【点评】本题主要考查一次函数解析式，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣3，2）、B（﹣1，1）、C（﹣2，3）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2；
（3）若点M的坐标为（a，b），将点M向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点M1；再将点M1关于x轴对称，得到点M2，则点M2的坐标为　（a+3，﹣b﹣1）　．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）结合平移的性质以及关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

（3）∵点M的坐标为（a，b），将点M向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点M1；
∴M1（a+3，b+1），
∵将点M1关于x轴对称，得到点M2，
∴点M2的坐标为：（a+3，﹣b﹣1）．
故答案为：（a+3，﹣b﹣1）．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
24．（8分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发匀速前往B地，甲比乙先出发1小时．设甲出发x小时后，甲乙两人离A地的距离分别为y甲、y乙，并且y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）A、B两地之间的距离是　360　km，甲的速度是　60　km/h；
（2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式．

【分析】（1）观察函数图象，可得出A，B两地之间的距离，由甲的速度＝A，B两地之间的距离÷甲的运动时间，可求出甲的速度；
（2）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出当1≤x≤5时y乙关于x的函数解析式．
【解答】解：（1）观察函数图象，可知：A，B两地之间的距离为360km．
甲的速度为360÷6＝60（km/h）．
故答案为：360；60．
（2）设当1≤x≤5时，设y乙关于x的函数解析式为y乙＝kx+b（k≠0），
将（1，0），（5，360）代入y乙＝kx+b，得：k+b=05k+b=360，
解得：k=90b=-90，
∴当1≤x≤5时，y乙关于x的函数解析式为y乙＝90x﹣90．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出A，B两地之间的距离；（2）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式．
25．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试说明△ADE是等腰三角形．

【分析】根据等角对等边可得△ABC是等腰三角形；根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】证明：∵在△ABC中，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AE＝ED，
∴△ADE是等腰三角形．
【点评】此题考查等腰三角形的判定，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
26．（8分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1、l2分别交y轴于点B、C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=13．
（1）求点B的坐标；
（2）若OC：OB＝1：3，求直线l2的解析式．

【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据OC：OB＝1：3可得C的坐标，利用待定系数法求得直线l2的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），
∴AO＝2，
在直角三角形OAB中，AO2+OB2＝AB2，
即22+OB2＝（13），
∴OB＝3，
∴B（0，3）；
（2）∵OC：OB＝1：3，
∴OC＝1，
∵点C在原点下方，
∴C（0，﹣1），
设直线l2的解析式为：y＝kx+b，
把C（0，﹣1）和A（2，0）代入得：b=-12k+b=0，
解得：k=12b=-1，
∴直线l2的解析式为：y=12x﹣1．
【点评】本题主要考查了两条直线的交点问题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法．
27．（10分）【模型建立】
（1）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA；
【初步应用】
（2）在平面直角坐标系内将点P（3，2）绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点P′，则点P′坐标为　（﹣2，3）　；
【解决问题】
（3）已知一次函数y＝2x﹣4的图象为直线1，将直线1绕它与x轴的交点P逆时针旋转90°，得到直线1′，则直线1′对应的一次函数表达式为　y=-12x+1　．

【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论判断出P′M＝ON＝2，OM＝PN＝3，即可得出点P'的坐标；
（3）先求出点P，E的坐标，借助（1）的结论求出点E'的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）如图1，过点P'作P'M⊥x轴于M，过点P作PN⊥x轴于N，
∵P（3，2），
∴ON＝2，PN＝3，
同（1）的方法知，△PON≌△OP'M，
∴P′M＝ON＝2，OM＝PN＝3，
∴P'（2，﹣3），
故答案为：（﹣2，3）；

（3）如图2，

∵令x＝0，则y＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
∴OE＝4，
令y＝0，则2x﹣4＝0，
∴x＝2，
∴P（2，0），
∴OP＝2，
∴直线l与y轴的交点E（0，﹣4），
∵将直线l绕它与x轴的交点P逆时针旋转90°，得到直线l'，过点E'作E'F⊥x轴于F，
同（2）的方法得，△POE≌△E'FP，
∴PF＝OE＝4，E'F＝OP＝2，
∴OF＝6，
点E绕点P逆时针旋转90°的对应点E'（6，﹣2），
∵P（2，0），
∴直线l'的解析式为y=-12x+1，
故答案为：y=-12x+1；

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，旋转的性质，借助（1）的结论是解本题的关键．





















2019学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）2cos45°的值等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
2．（2分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．0
3．（2分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
4．（2分）一组数据3，5，6，7，9的极差是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB＝4，则∠C为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2分）从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　）
A．14 B．12 C．34 D．1
7．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝2cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径为（　　）

A．3cm B．233cm C．2cm D．433cm
8．（2分）如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（　　）

A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙
C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）方程x2﹣1＝0的解为　 　．
10．（2分）某市农科院通过试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，在相同条件下请估计1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有　 　斤．
11．（2分）已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为　 　cm2．（结果保留π）
12．（2分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是　 　．
13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为　 　．

14．（2分）如图，点B在AD上，AB＝1，AD＝4，且△ABC∽△ACD，则AC＝　 　．

15．（2分）已知∠A是锐角，且cosA=513，则tanA＝　 　．
16．（2分）如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB=2，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为　 　．

三、解答题（本大题共9小题，第17、18题每题6分，第19、21题每题7分，第20、22-24题每题8分，第25题10分，共68分）
17．（6分）（1）解方程：2x2﹣x＝3；
（2）求值：tan30°+cos30°．
18．（6分）作图与探究
（1）作图：在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画圆，交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点P（m，n）；
（2）探究：在（1）的条件下，方程mx2+nx﹣（m+n）＝0的解是　 　．

19．（7分）一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为5人，成绩如下（单位/分）：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：

平均数
众数
中位数
甲
　 　
8
8
乙
　 　
9
　 　
（2）乙组学生说他们的众数高于甲组，所以他们的成绩好于甲组，但甲组学生不同意乙组学生的说法，认为他们组的成绩要好于乙组，请你给出一条支持甲组学生观点的理由．
20．（8分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局；若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
21．（7分）如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．（图中不添加字母和线段）

22．（8分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．

24．（8分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡AF上的D处测得大树顶端B的仰角是30°，在地面上A处测得大树顶端B的仰角是45°．若坡角∠FAE＝30°，AD＝6m，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：3≈1.73）

25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝23，以点B为圆心，3为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P′C⊥PC，使点P′落在直线BC的上方，且满足P′C：PC＝1：3，连接BP、AP′．
（1）求sin∠BAC；
（2）当点P在AB上时，求BP′的长；
（3）点P在运动过程中，BP′是否有最大值、最小值？若有，请直接写出BP′的最大值、最小值；若没有，请说明理由．


2018-2019学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）2cos45°的值等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
【分析】直接把cos45°=22代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝2×22=2．
故选：B．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．（2分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．0
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1•x2=01=0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
3．（2分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得AOCO=ABCD，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则AOCO=ABCD，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴41=1.6CD，
解得：CD＝0.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
4．（2分）一组数据3，5，6，7，9的极差是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据极差的定义即可得出答案．
【解答】解：数据3，5，6，7，9的极差是：9﹣3＝6；
故选：C．
【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
5．（2分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB＝4，则∠C为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】连接OA、OB，根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接OA、OB，
∵OA＝OB＝AB＝4，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝30°，
故选：A．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
6．（2分）从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　）
A．14 B．12 C．34 D．1
【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，
其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，
则P（能构成三角形）=24=12，
故选：B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，其中概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝2cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径为（　　）

A．3cm B．233cm C．2cm D．433cm
【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于点D，根据圆周角定理得到∠BOC＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠BOD＝60°，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
连接OB、OC，作OD⊥BC于点D，
则∠ODB＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴BD=12BC＝1，
∴OB=BDsin∠BOD=233，
∴2OB=433，即△ABC外接圆的直径是433cm，
故选：D．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2分）如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（　　）

A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙
C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙
【分析】首先过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=12AB•AC，易证得△ABC∽△DBE，△GBH∽△BCA，可求得GF，DB，DE，DF的长，继而求得答案．
【解答】
方法一：
解：如图：过点B作BH⊥GF于点H，
则S乙=12AB•AC，
∵AC∥DE，
∴△ABC∽△DBE，
∴ACDE=ABDB=BCBE，
∵BC＝7，CE＝3，
∴DE=107AC，DB=107AB，
∴AD＝BD﹣BA=37AB，
∴S丙=12（AC+DE）•AD=5198AB•AC，
∵AD∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB，
∴BH∥AC，
∴四边形BDFH是矩形，
∴BH＝DF，FH＝BD=107AB，
∴△GBH∽△BCA，
∴GHAB=BHAC=GBBC，
∵GB＝2，BC＝7，
∴GH=27AB，BH=27AC，
∴DF=27AC，GF＝GH+FH=127AB，
∴S甲=12（BD+GF）•DF=2249AB•AC，
∴甲＜乙，乙＜丙．
故选D．
方法二：
解：如图所示，
∵AC∥DE，
∴△ABC∽△DBE，
ACDE=ABDB=BCBE=77+3=710，
∴S△ABCS△DBE=12AB⋅AC12DB⋅DE=710⋅710=49100，
同理可证，S△DBES△DGF=100144，
设S△ABC＝S乙＝49a，则SDBE＝100a，S△DGF＝144a，
∴S甲＝S△DGF﹣SDBE＝44a，
S丙＝SDBE﹣S△ABC＝51a，
∴甲＜乙＜丙，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）方程x2﹣1＝0的解为　x1＝1，x2＝﹣1　．
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣1＝0，
（x+1）（x﹣1）＝0，
x﹣1＝0，x+1＝0，
x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了学生对解一元二次方程的应用，本题难度比较低，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
10．（2分）某市农科院通过试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，在相同条件下请估计1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有　29　斤．
【分析】根据蚕豆种子的发芽率为97.1%，可以估计1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有多少．
【解答】解：由题意可得，1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有：1000×（1﹣97.1%）＝1000×0.029＝29斤，
故答案为：29．
【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，注意求得是不能发芽的种子数．
11．（2分）已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为　60π　cm2．（结果保留π）
【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．
【解答】解：圆锥的母线=62+82=10cm，
圆锥的底面周长2πr＝12πcm，
圆锥的侧面积=12lR=12×12π×10＝60πcm2．
故答案为60π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为12lR．
12．（2分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是　100（1+x）2＝144　．
【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．
【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，
100（1+x）2＝144．
故答案为：100（1+x）2＝144．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为　134　．

【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=12CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE=12CD=12×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x=134，
∴⊙O的半径为134，
故答案为：134．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
14．（2分）如图，点B在AD上，AB＝1，AD＝4，且△ABC∽△ACD，则AC＝　2　．

【分析】直接利用相似三角形的性质得出比例式进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，
∵AB＝1，AD＝4，
∴AC2＝4，
则AC＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．
15．（2分）已知∠A是锐角，且cosA=513，则tanA＝　125　．
【分析】根据题意构造出直角三角形，根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵∠A为锐角，且cosA=513，以∠A为锐角作直角三角形△ABC，∠C＝90°．
∴cosA=ACAB=513．
设AC＝5k，则AB＝13k．
根据勾股定理可得：BC＝12k．
∴tanA=BCAC=125．
故答案为：125．

【点评】本题主要考查了正切函数的定义，解答此题的关键是构造出直角三角形．
16．（2分）如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB=2，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为　102　．

【分析】作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．在Rt△ABH中，求出AH，BH，在Rt△AHC中求出AC即可解决问题．
【解答】解：作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．

由∠AOC＝90°，可得∠ABC＝135°，
在Rt△AHB中，∵AB=2，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△AHC中，∵CH＝CB+BH＝2，AH＝1，
∴AC=AH2+CH2=5，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC=102，
故答案为102．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18题每题6分，第19、21题每题7分，第20、22-24题每题8分，第25题10分，共68分）
17．（6分）（1）解方程：2x2﹣x＝3；
（2）求值：tan30°+cos30°．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）2x2﹣x＝3，
2x2﹣x﹣3＝0，
（2x﹣3）（x+1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1=32，x2＝﹣1；
（2）原式=33+32
=536．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，分解简单因式一般用十字相乘法，还需要记住一些特殊角的三角函数值．
18．（6分）作图与探究
（1）作图：在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画圆，交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点P（m，n）；
（2）探究：在（1）的条件下，方程mx2+nx﹣（m+n）＝0的解是　x1＝1，x2＝﹣2　．

【分析】（1）依据题目要求的步骤依次作图可得；
（2）由作图知m＝n，代入方程整理得x2+x﹣2＝0，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求．


（2）由作图知点P在第一象限角平分线上，
∴m＝n，
则方程mx2+nx﹣（m+n）＝0可变形为mx2+mx﹣2m＝0，
∵m≠0，
∴x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、解一元二次方程的能力．
19．（7分）一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为5人，成绩如下（单位/分）：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：

平均数
众数
中位数
甲
　8　
8
8
乙
　8　
9
　9　
（2）乙组学生说他们的众数高于甲组，所以他们的成绩好于甲组，但甲组学生不同意乙组学生的说法，认为他们组的成绩要好于乙组，请你给出一条支持甲组学生观点的理由．
【分析】（1）根据平均数的定义就，中位数的定义即可解决问题．
（2）利用方差解决问题即可．
【解答】解：（1）甲的平均数=8+8+7+8+95=8．
乙的平均数=5+9+7+10+95=8，
乙的中位数为9．
故答案为8，8，9．

（2）S甲2=15[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，
S乙2=15[（5﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2]＝3.2，
∵甲的方差小，
∴甲成绩比较稳定．
【点评】本题考查众数，平均数，中位数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（8分）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局；若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：

则共有9种等可能的结果；

（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为：39=13．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（7分）如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．（图中不添加字母和线段）

【分析】根据正方形推出∠B＝∠C＝∠QPD＝90°，求出∠DPC＝∠PQB，证△BPQ和△CDP相似即可．
【解答】解：△BPQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠QPD＝90°，
∴∠QPB+∠BQP＝90°，
∠QPB+∠DPC＝90°，
∴∠DPC＝∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．
【点评】本题主要考查对相似三角形的性质和判定，正方形的性质，邻补角等知识点的理解和掌握．
22．（8分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°；
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴ACAB=ADAC，∴AD=AC2AB=95；

（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD；
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD；
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．

【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．
24．（8分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡AF上的D处测得大树顶端B的仰角是30°，在地面上A处测得大树顶端B的仰角是45°．若坡角∠FAE＝30°，AD＝6m，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：3≈1.73）

【分析】延长BD交AE于点G，作DH⊥AE于H，设BC＝xm，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：延长BD交AE于点G，作DH⊥AE于H，
设BC＝xm，
由题意得，∠DGA＝∠DAG＝30°，
∴DG＝AD＝6，
∴DH＝3，GH=DG2-DH2=33，
∴GA＝63，
在Rt△BGC中，tan∠BGC=BCGC，
∴CG=BCtan∠BGC=3x，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x，
由题意得，3x﹣x＝63，
解得，x=633-1≈14，
答：大树的高度约为14m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝23，以点B为圆心，3为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P′C⊥PC，使点P′落在直线BC的上方，且满足P′C：PC＝1：3，连接BP、AP′．
（1）求sin∠BAC；
（2）当点P在AB上时，求BP′的长；
（3）点P在运动过程中，BP′是否有最大值、最小值？若有，请直接写出BP′的最大值、最小值；若没有，请说明理由．

【分析】（1）利用勾股定理和直角三角形的解法解答即可；
（2）先利用相似三角形的判定和性质得出AP'＝1，进而得出∠P'AB＝90°，再利用勾股定理，即可得出结论；
（3）先由（2）AP'＝1，分两种情况即可得出结论
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=4，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
sin∠BAC=BCAB=32；
（2）连接BP'，如图2，
∵P'C⊥PC，
∴∠P'CP＝90°，
∴∠ACP'+∠ACP＝90°，
∵∠PCB+∠ACP＝90°，∠ACP'＝∠PCB，
∵P'CPC=ACBC=33，
∴△ACP'∽△BCP，
∴AP'BP=ACBC=33，∠P'AC＝∠PBC，
∴AP'＝1，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，
即∠P'AB＝90°，
∴BP'=AB2+(AP')2=17；
（3）由（2）知，△AP'C∽△BPC，得出AP'＝1，
∴点P'是在以点A为圆心，半径为AP'＝1的圆上，
①如图3，
点P'在BA的延长线上，此时，BP'取得最大值＝5，
∴∠P'AC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∵△AP'C∽△BPC，
∴∠P'AC＝PBC＝120°，
∴BP'取得最大值＝5时，∠PBC＝120°；
②如图4，点P'在线段AB上时，BP'取得最小值＝3，
∵△AP'C∽△BPC，
∴∠PBC＝∠BAC＝60°，
∴BP'取得最小值＝3时，∠PBC＝60°．



【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC是解本题的关键．



















2019学年江苏省苏州市太仓市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）方程x2﹣4＝0的解为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
2．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣3x+1＝0
4．（3分）有一组数据：2，0，2，1，﹣2，则这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．1，2 B．2，2 C．2，1 D．1，1
5．（3分）关于二次函数y＝﹣2x2+1，下列说法中正确的是（　　）
A．它的开口方向是向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是（﹣2，1）
D．当x＝0时，y有最大值是-12
6．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝0
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=12，则下列结论中正确的是（　　）

A．sinA=12 B．sinB=55 C．cosA=55 D．tanB＝2
8．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．50°
10．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜2 B．-32＜m＜-12 C．m＞-12 D．m＞2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是　 　．
12．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　 　．
13．（3分）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图游戏板，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形游戏板，其中直角三角形的两直角边之比均为2：3，假设飞镖投中大正方形区域内每一点是等可能的（投中直角三角形、小正方形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现随机地向大正方形内部区域投掷飞镖，则飞镖投中阴影区域的概率是　 　．

14．（3分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是　 　 cm2（结果保留π）
15．（3分）抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上，则t＝　 　．
16．（3分）如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，且AB＝5，AC＝42，AD＝4，则⊙O的直径的长度是　 　．

17．（3分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为　 　．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19．（8分）计算：
（1）2sin30°-12+tan60°
（2）sin260°+|tan45°-2|﹣2cos45°
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x＝2
（2）（2x﹣1）2＝4x﹣2
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．
22．（6分）某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．
（1）求甲小组第一个展示的概率；
（2）用列举法（画树状图或列表）求丙小组比甲小组先展示的概率．
23．（6分）已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，AB∥CE，∠ACB＝∠EAD＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，BC＝6，求CD的长．

24．（8分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线y2=32x﹣1交抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△PMN的面积S△PMN；
（3）若y1＜y2≤0，则此时横坐标x的取值范围是　 　．（直接写出结果）

25．（8分）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为13（即tan∠PAD=13），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．

26．（8分）某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件；后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件．
（1）该网店销售该商品原来一天可获利润　 　元．
（2）设后来该商品每件售价降价x元，网店一天可获利润y元．
①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元？
②求y与x之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大？并求最大利润值．
27．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙D的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AF＝6，求AE的长．

28．（10分）如图1，抛物线y＝a（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE＝1且∠DBE＝∠BMD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，在直线MD上是否存在点P，使得△PAC成为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接MC交x轴于点F，G为线段MD上一动点，以G为等腰三角形顶角顶点，GA为腰构造等腰△GAH，且H点落在线段MF上，若在线段MF上始终能找到两个这样的点H，则此时动点G的纵坐标yG的取值范围是　 　．（直接写出结果）

2018-2019学年江苏省苏州市太仓市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）方程x2﹣4＝0的解为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【分析】这个式子先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
解得x＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣3x+1＝0
【分析】分别计算出每个方程的判别式的值，从而做出判断．
【解答】解：A．此方程判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，无实数根；
B．此方程判别式△＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，无实数根；
C．此方程判别式△＝22﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
D．此方程判别式△＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，有两个不相等的实数根；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4．（3分）有一组数据：2，0，2，1，﹣2，则这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．1，2 B．2，2 C．2，1 D．1，1
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出最中间的数即是中位数，在这组数据中出现次数最多的是2，从而得到这组数据的众数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列﹣2，0，1，2，2，
所以中位数是1；
在这组数据中出现次数最多的是2，
即众数是2，
故选：A．
【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
5．（3分）关于二次函数y＝﹣2x2+1，下列说法中正确的是（　　）
A．它的开口方向是向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是（﹣2，1）
D．当x＝0时，y有最大值是-12
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，a＝﹣2，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B正确，
它的顶点坐标为（0，1），故选项C错误，
当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝0
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），可以求得该函数的对称轴，再根据该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），从而可以求得该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得到方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该函数的对称轴是直线x=--2a2a=1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、函数与方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=12，则下列结论中正确的是（　　）

A．sinA=12 B．sinB=55 C．cosA=55 D．tanB＝2
【分析】分别利用未知数表示出各边长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=12，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB=5x，
故sinA=BCAB=x5x=55，故A选项错误；
sinB=ACAB=2x5x=255，故B选项错误；
cosA=ACAB=2x5x=255，故C选项错误；
tanB=ACBC=2，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．
8．（3分）如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】连接OA，由M为圆O中弦AB的中点，利用垂径定理的逆定理得到OM垂直于AB，由AB的长求出AM的长，在直角三角形OAM中，由AM与OM的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径．
【解答】解：连接OA，
∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，
∴OM⊥AB，AM=12AB＝4，
在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，
根据勾股定理得：OA=OM2+AM2=32+42=5．
∴MN＝5﹣3＝2
故选：A．
【点评】此题考查了垂径定理的逆定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
9．（3分）如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．50°
【分析】根据∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC，只要求出∠DAC，∠BAC即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝20°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADC＝∠B＝70°，
∴∠DAC＝∠DCA＝55°，
∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜2 B．-32＜m＜-12 C．m＞-12 D．m＞2
【分析】根据点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝m，则-3+22＜m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y1＞y2≥n，
∴-3+22＜m，
解得m＞-12，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是　x1＝0，x2＝2　．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　k＜2且k≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13．（3分）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图游戏板，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形游戏板，其中直角三角形的两直角边之比均为2：3，假设飞镖投中大正方形区域内每一点是等可能的（投中直角三角形、小正方形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现随机地向大正方形内部区域投掷飞镖，则飞镖投中阴影区域的概率是　1213　．

【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
【解答】解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为13x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，S阴影＝12x2，
则针尖落在阴影区域的概率为12x213x2=1213；
故答案为：1213．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
14．（3分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是　10π　 cm2（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×5÷2＝10π（cm2）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
15．（3分）抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上，则t＝　0　．
【分析】根据抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上，可以得到4×1×1-[-(t+2)]24×1=0，--(t+2)2×1＞0，从而可以求得t的值，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上，
∴4×1×1-[-(t+2)]24×1=0--(t+1)2×1＞0
解得，t＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（3分）如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，且AB＝5，AC＝42，AD＝4，则⊙O的直径的长度是　52　．

【分析】由勾股定理可求AD＝CD，即可得∠ACB＝45°，由圆的有关性质可得∠AOB＝90°，由勾股定理可求AO的长，即可得⊙O的直径的长度．
【解答】解：如图，连接AO，BO，

∵AD⊥BC，且AC＝42，AD＝4，
∴CD=AC2-AD2=4
∴CD＝AD，
∴∠ACB＝45°，
∵∠AOB＝2∠ACB
∴∠AOB＝90°
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AO＝BO=522
∴⊙O的直径的长度是52
故答案为：52
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，勾股定理等知识，求∠AOB＝90°是本题的关键．
17．（3分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为　y＝﹣2（x﹣1）2﹣3　．
【分析】图象沿x轴的翻折后，顶点为（2，5），a＝﹣2即可求解．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案是：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【点评】考查了二次函数图象与几何变换．注意：新旧抛物线的顶点之间的变换关系．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为　313-3　．

【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵∠ABE＝∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，
作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，
则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，
则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，
∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝6，
∴OG＝9，
∴OF=FG2+OG2=313，
∴EF＝313-3，
故PD+PE的长度最小值为313-3，
故答案为：313-3．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19．（8分）计算：
（1）2sin30°-12+tan60°
（2）sin260°+|tan45°-2|﹣2cos45°
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×12-23+3
＝1-3；

（2）原式＝（32）2+2-1﹣2×22
=34+2-1-2
=-14．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x＝2
（2）（2x﹣1）2＝4x﹣2
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形得到（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±3，
所以x1＝1+3，x2＝1-3；
（2）（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1﹣2）＝0，
2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0，
所以x1=12，x2=32．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△＝b2﹣4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再将它们代入|x1+x2|＝2x1x2，即可求出k的值．
【解答】解：（1）△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）
＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4
＝﹣8k+8．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣8k+8＞0，
解得 k＜1，
即实数k的取值范围是 k＜1；

（2）由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
∵|x1+x2|＝2x1x2，
∴|2（k﹣1）|＝2k2﹣2，
∵k＜1，
∴2﹣2k＝2k2﹣2，
化简得k2﹣k﹣2＝0，
∴k＝1（舍）或k＝﹣2，
∴k＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-ba；（5）x1•x2=ca．
22．（6分）某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．
（1）求甲小组第一个展示的概率；
（2）用列举法（画树状图或列表）求丙小组比甲小组先展示的概率．
【分析】（1）根据概率公式可直接得出答案；
（2）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和丙小组比甲小组先展示的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）有可能甲小组第一个展示，也有可能乙小组第一个展示，还有可能丙小组第一个展示，
∴甲小组第一个展示的概率是13；

（2）画树状图如下：

∴共有6种等可能出现的结果，其中丙小组比甲小组先展示有3种结果，
∴丙小组比甲小组先展示的概率为：36=12．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，AB∥CE，∠ACB＝∠EAD＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，BC＝6，求CD的长．

【分析】作CF⊥AB于F，AH⊥EC于H，根据直角三角形的性质求出BF，根据勾股定理求出CF，根据矩形的性质求出AH，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：作CF⊥AB于F，AH⊥EC于H，
则∠CFB＝∠AHC＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF=12BC＝3，
由勾股定理得，CF=BC2-BF2=33，
四边形AHCF为矩形，
则AH＝CF＝33，
∵∠ADH＝45°，
∴DH＝AH＝33，
∵AB∥CE，
∴∠ACH＝∠BAC＝30°，
∴CH=AHtan∠ACH=9，
∴CD＝CH﹣DH＝9﹣33．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
24．（8分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线y2=32x﹣1交抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△PMN的面积S△PMN；
（3）若y1＜y2≤0，则此时横坐标x的取值范围是　-12＜x≤23　．（直接写出结果）

【分析】（1）用待定系数法进行解答；
（2）联立两个函数解析，求出M、N点的坐标，由抛物线顶点坐标公式求P点坐标，过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，根据S△PMN＝S△PMF+S△PNF求△PMN的面积；
（3）根据观察函数图象，直接写答案便可．
【解答】解：（1）根据题意得，
a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，
解得，a=1b=-2c=-3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）解方程组y=x2-2x-3y=32x-1，得
x1=-12y1=-74，x2=4y2=5，
∴M（-12，-74），N（4，5），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴P（1，﹣4），
过P作PE垂直x轴于E，与MN交于点F，
∴F（1，12），
∴PF=92，
∴S△PMN＝S△PMF+S△PNF=12•PF•（xN﹣xM）=12×92×（4+12）=818；


（3）当y2＝0时，0=32x-1，
解得，x=23，
∴直线y2=32x﹣1与x轴的交点为（23，0），
由图象可知，当y1＜y2≤0时，-12＜x≤23．
故答案为：-12＜x≤23．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
25．（8分）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为13（即tan∠PAD=13），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．

【分析】（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．解直角三角形求出PA即可．
（2）设NH＝PH＝x米，在Rt△AMN中，根据tan60°=MNAM，可得MN=3AM，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．

∵tan∠PAD=PDAD=13，PD＝5，
∴AD＝15，PA=52+152=510（米），
∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为510米．

（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，
∴∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，
在Rt△AMN中，∵tan60°=MNAM，
∴MN=3AM，
∴x＝5=3（x﹣15）
解得x＝（103+25）（米），
∴MN＝x+5＝（103+30）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．
26．（8分）某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件；后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件．
（1）该网店销售该商品原来一天可获利润　1000　元．
（2）设后来该商品每件售价降价x元，网店一天可获利润y元．
①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元？
②求y与x之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大？并求最大利润值．
【分析】（1）用每件利润乘以50件即可；
（2）每件售价降价x元，则每件利润为（100﹣80﹣x）元，销售量为（50+5x）件，它们的乘积为利润y，
①利用y＝1080得到方程（100﹣80﹣x）（50+5x）＝1080，然后解方程即可；
②由于y＝（100﹣80﹣x）（50+5x），则可利用二次函数的性质确定最大利润值．
【解答】解：（1）该网店销售该商品原来一天可获利润为（100﹣80）×50＝1000（元），
故答案为1000；
（2）①y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000，
当y＝1080时，﹣5x2+50x+1000＝1080，
整理得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2（舍去），x2＝8，
答：每件商品的售价应降价8元；
②y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000＝﹣5（x﹣5）2+1125，
当x＝5时，y有最大值，最大值为1125，
则100﹣x＝95，
答：当该商品每件售价为95元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为1125元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
27．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙D的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AF＝6，求AE的长．

【分析】（1）只要证明OE⊥CD即可．
（2）在Rt△ADE中，求出AD，DE，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠CAE＝∠DAE．
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∴∠DAE＝∠AEO，．
∴AD∥OE．
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接BF交OE于K．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝10，AF＝6，
∴BF=102-62=8，
∵OE∥AD，
∴∠OKB＝∠AFB＝90°，
∴OE⊥BF，
∴FK＝BK＝4，
∵OA＝OB，KF＝KB，
∴OK=12AF＝3，
∴EK＝OE﹣OK＝2，
∵∠D＝∠DFK＝∠FKE＝90°，
∴四边形DFKE是矩形，
∴DE＝KF＝4，DF＝EK＝2，
∴AD＝AF+DF＝8，
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=82+42=45．

【点评】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
28．（10分）如图1，抛物线y＝a（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE＝1且∠DBE＝∠BMD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，在直线MD上是否存在点P，使得△PAC成为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接MC交x轴于点F，G为线段MD上一动点，以G为等腰三角形顶角顶点，GA为腰构造等腰△GAH，且H点落在线段MF上，若在线段MF上始终能找到两个这样的点H，则此时动点G的纵坐标yG的取值范围是　26-4＜n≤32　．（直接写出结果）
【分析】（1）令y＝0，则x＝1±4-a，则：BD=4-a，利用△DBE∽△DMB，即可求解；
（2）∠PAC＝90°、∠APC＝90°、∠ACP＝90°，三种情况求解即可；
（3）设点G坐标为（1，n），则HG＝MGsin45°=22（4﹣n），则AG=AD2+DG2=n2+4，若在线段MF上始终能找到两个这样的点H，则AG＞HG，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝1±4-a，
即点B（1+4-a，0），则：BD=4-a，
∵∠DBE＝∠BMD，∴△DBE∽△DMB，
∴DBDM=DEBD，DE＝1，DM＝4，
即：-4a=4，则a＝﹣1，
故：抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）存在，理由：
点A（﹣1，0）、C（0，3），设点P的坐标为（1，m），
直线AC所在的直线k值为：3，
直线PC所在直线的k值为：m﹣3，
直线PA所在直线的k值为：12m，
①当∠PAC＝90°时，
由题意得：（m﹣3）•12m＝1，解得：m＝1或2；
②当∠APC＝90°时，
同理可得：m=-23；
③当∠ACP＝90°时，
同理可得：m=83，
故：点P的坐标为：（1，1）或（1，2）或（1，-23）或（1，83）；
（3）作CK⊥DM交于点K，过点G作GH⊥MC交于点H，连接AG，
∵点M坐标为（1，4）、点C（0，3），函数对称轴为x＝1，

故：CK＝KM＝1，∴∠HMG＝45°，
设点G坐标为（1，n），则HG＝MGsin45°=22（4﹣n），
则AG=AD2+DG2=n2+4，
若在线段MF上始终能找到两个这样的点H，则AG＞HG，
即：n2+4，＞22（4﹣n），解得：26-4＜n≤32（注：当GA＝GM时等号成立），
故答案为：26-4＜n≤32．
【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到解直角三角形、一次函数、不等式等知识，其中（3），若在线段MF上始终能找到两个这样的点H，则AG＞HG，是本题的难点．









2019学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）方程x（x+2）＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
2．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝36°，则∠BOC的度数为（　　）

A．75° B．72° C．64° D．54°
3．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）下列调查中，不适合采用抽样调查的是（　　）
A．了解全国中小学生的睡眠时间
B．了解无锡市初中生的兴趣爱好
C．了解江苏省中学教师的健康状况
D．了解航天飞机各零部件的质量
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k≠0 B．k＞4 C．k＜4 D．k＜4且k≠0
6．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．10πcm2 B．14πcm2 C．20πcm2 D．28πcm2
7．（3分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．23
8．（3分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（　　）

A．1：2 B．1：3
C．2：3 D．以上都不正确
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（　　）

A．π B．22π C．2 D．2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+1＝0无实数根；③4a﹣2b+c≥0．其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，共8空，每空2分，共16分．）
11．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣5的顶点坐标是　 　．
12．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0时，可变形为（x﹣1）2＝a的形式，则a的值为　 　．
13．（2分）已知x2﹣3x+1＝0，则代数式ax2﹣3ax+a﹣2019的值为　 　．
14．（2分）某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年计划投入教育经费3025万元．则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为　 　．
15．（2分）已知△ABC∽△DEF，其相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为　 　．
16．（2分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么大树CD的高度为　 　．

17．（2分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　 　．

18．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝15，DA＝510，则BD的长为　 　．

三、解答题（本大题共84分）
19．（8分）（1）计算：（﹣2）0+cos60°﹣23sin60°；
（2）化简：（18+8-6）÷2．
20．（8分）解方程或不等式组
（1）解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）；
（2）解不等式组：x-1＜2x+12≥1
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

22．（8分）快乐的寒假来临啦！小明和小丽计划在假期间去无锡旅游．他们选取鼋头渚（记为A）、梅园（记为B）、锡惠公园（记为C）等三个景点为游玩目标．如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择鼋头渚（记为A）景点为第一站的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝53，求图中阴影部分的面积．

24．（8分）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现﹣渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（3≈1.7，保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

25．（9分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
8
a
20
200
乙
20
10
30+0.05x2
90
其中a为常数，且5≤a≤7
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（注：年利润＝总售价﹣总成本﹣每年其他费用）
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
26．（8分）【定义】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．请利用“智慧角”的定义解决下列两个问题：
【运用】如图2，已知∠MON＝120°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝120°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
【探究】如图3，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝4，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，试用含α的代数式分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

27．（9分）一次函数y=-43x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2+2ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于163，求此二次函数的关系式．

28．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．


2018-2019学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）方程x（x+2）＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
【分析】利用因式分解的方法得到x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
2．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝36°，则∠BOC的度数为（　　）

A．75° B．72° C．64° D．54°
【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数．
【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC＝36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝72°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵x乙=x丙＞x甲=x丁，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵S乙2＜S丙2，
∴选择乙参赛，
故选：B．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
4．（3分）下列调查中，不适合采用抽样调查的是（　　）
A．了解全国中小学生的睡眠时间
B．了解无锡市初中生的兴趣爱好
C．了解江苏省中学教师的健康状况
D．了解航天飞机各零部件的质量
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全国中小学生的睡眠时间，调查范围广适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解无锡市初中生的兴趣爱好，调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；
C、了解江苏省中学教师的健康状况，调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；
D、了解航天飞机各零部件的质量，适合普查，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k≠0 B．k＞4 C．k＜4 D．k＜4且k≠0
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：方程有两个不相等的两个实数根，△＞0，进而求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，
解得：k＜4．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac，关键是记住当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．反之也成立．
6．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．10πcm2 B．14πcm2 C．20πcm2 D．28πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积=12•2π•2•5＝10π（cm2）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（3分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．23
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴OG＝OA•sin60°＝2×32=3，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3．
故选：B．

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（　　）

A．1：2 B．1：3
C．2：3 D．以上都不正确
【分析】由▱ABCD，推出AD∥BE，BN＝ND，进而推得△ADM∽△EBM，根据相似三角形的性质和E为BC的中点可证得BMMD=12，即可证得结论．
【解答】解：∵▱ABCD，
∴AD∥BE，AD＝BC，BN＝ND，
∴△ADM∽△EBM，
∴BMMD=BEAD，
∵E为BC的中点，
∴BE=12BC=12AD，
∴BMMD=12，
设BM＝1，则MD＝2，BD＝3，
∴DN=32，
∴BMDN=132=23，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（　　）

A．π B．22π C．2 D．2
【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=2BC＝22，则OC=12AB=2，OP=12AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO＝90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF＝OC=22，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．
【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB=2BC＝22，
∴OC=12AB=2，OP=12AB=2，
∵∠ACB＝90°
∴C在⊙O上，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC=2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长=12•2π•22=22π．
故选：B．

【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+1＝0无实数根；③4a﹣2b+c≥0．其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①对称轴为：x=-b2a，
∵0＜a＜b，
∴-b2a＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，故①正确；
②抛物线开口向上，且与x轴的交点至多一个，
∴y≥0，
∴方程ax2+bx+c＝﹣1无解，
即关于x的方程ax2+bx+c+1＝0无实数根，故②正确；
③由于抛物线的开口向上，对称轴位于y轴的左侧，
∴x＝﹣2，y≥0，
∴4a﹣2b+c≥0，故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
二、填空题（本大题共8小题，共8空，每空2分，共16分．）
11．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣5的顶点坐标是　（﹣2，﹣5）　．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣5为抛物线的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
故答案为：（﹣2，﹣5）
【点评】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
12．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0时，可变形为（x﹣1）2＝a的形式，则a的值为　5　．
【分析】先把常数项移到等号右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，最后确定a的值．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣4＝0移项，
得x2﹣2x＝4，
方程的两边都加1，
得x2﹣2x+1＝5，
配方，得（x﹣1）2＝5．
故答案为：5
【点评】本题考查了一元二次方程的配方法．掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键．
13．（2分）已知x2﹣3x+1＝0，则代数式ax2﹣3ax+a﹣2019的值为　﹣2019　．
【分析】原式变形后，将已知等式变形代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则原式＝a（x2﹣3x）+a﹣2019＝﹣a+a﹣2019＝﹣2019，
故答案为：﹣2019
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2分）某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年计划投入教育经费3025万元．则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为　10%　．
【分析】设该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由该地区2017年及2019年投入教育经费的金额，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
由题意得：2500（1+x）2＝3025，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2分）已知△ABC∽△DEF，其相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为　1：16　．
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故答案为：1：16．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
16．（2分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么大树CD的高度为　11米　．

【分析】作BF⊥AE于F，则FE＝BD＝4米，DE＝BF，设BF＝x米，则AF＝2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE＝BF和AF的值，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．
【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：
则FE＝BD＝4米，DE＝BF，
∵斜面AB的坡度i＝1：2.4，
∴AF＝2.4BF，
设BF＝x米，则AF＝2.4x米，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝132，
解得：x＝5，
∴DE＝BF＝5米，AF＝12米，
∴AE＝AF+FE＝16米，
在Rt△ACE中，CE＝AE•tan45°＝16×1＝16米，
∴CD＝CE﹣DE＝16米﹣5米＝11米；
故答案为：11米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
17．（2分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　36　．

【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC=ECEB，求出EC、EB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EA，EC，

设菱形的边长为a，由题意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE=3a，EB＝23a，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠AGF＝60°，
∴∠EAB＝180°，
∴E、A、B共线，
在Rt△CEB中，tan∠ABC=ECEB=a23a=36．
故答案为：36
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝15，DA＝510，则BD的长为　313　．

【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM＝3AB＝9，DM＝3BC＝12，得出BM＝BC+CM＝13，再由勾股定理求出BD即可．
【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∵CD＝15，AD＝510，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ABCM=BCDM=ACCD=13，
∴CM＝3AB＝9，DM＝3BC＝12，
∴BM＝BC+CM＝13，
∴BD=BM2+DM2=132+122=313，
故答案为：313．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共84分）
19．（8分）（1）计算：（﹣2）0+cos60°﹣23sin60°；
（2）化简：（18+8-6）÷2．
【分析】（1）根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算；
（2）根据二次根式的除法法则运算．
【解答】解：（1）原式＝1+12-23×32
＝1+12-3
=-32；
（2）原式=18÷2+8÷2-6÷2
＝3+2-3
＝5-3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（8分）解方程或不等式组
（1）解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）；
（2）解不等式组：x-1＜2x+12≥1
【分析】（1）移项后提取公因式，得两个一元一次方程，求解即可；
（2）先解组中的两个不等式，再确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0
∴（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0
∴x1＝3，x2＝5；
（2）x-1＜2①x+12≥1②
由①得：x＜3，
由②得：x≥1
∴原不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元一次不等式组的解法，题目难度较小，掌握因式分解法求解一元二次方程的一般步骤和不等式组的解法是解决本题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

【分析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；
（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．
【解答】解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，


（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，

∵A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），
∴直线AC解析式为y＝﹣3x+8，与x轴交于点D（83，0），
∵∠CBD＝90°，
∴CD=BC2+BD2=4310，
∴sin∠DCB=BDCD=4-834310=1010．
∵∠A2C2B2＝∠ACB，
∴sin∠A2C2B2＝sin∠DCB=1010．
【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
22．（8分）快乐的寒假来临啦！小明和小丽计划在假期间去无锡旅游．他们选取鼋头渚（记为A）、梅园（记为B）、锡惠公园（记为C）等三个景点为游玩目标．如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择鼋头渚（记为A）景点为第一站的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及他们都选择鼋头渚（记为A）景点为第一站的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意列表得：
小丽 小明
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
一共有9种等可能的情况，都选择A为第一站的有1种情况，
所以P（都选择鼋头渚为第一站）=19．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝53，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）欲证明AC是⊙O的切线，只要证明OD⊥AC即可．
（2）证明△OBE是等边三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．

（2）过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝53，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝5，
∴BE＝10，则△OBE是等边三角形，
∴阴影部分面积为60⋅π⋅102360-12×10×53=50π3-253．

【点评】本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（8分）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现﹣渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（3≈1.7，保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

【分析】（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，由圆周角定理、勾股定理得OC=82+62=10，则半径OO′＝5，S⊙O′＝π•52＝25π．
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD＝30°，在Rt△ABD中，设BD＝x，则AB＝2x，由勾股定理AD=3x，根据图形得到OD＝OB+BD＝6+x，故AB＝2x＝6（3+1）≈16.2
（3）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得，OE＝BE＝3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E＝4．所以
O′F＝9+33-4＝5+33＞5．
【解答】解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO＝90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．
则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB＝6，CB＝8，由勾股定理得OC=82+62=10
半径OO′＝5，S⊙O′＝π•52＝25π．

（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD＝30°，
在Rt△ABD中，设BD＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得，AD=AB2-BD2=3x，
由题意知：OD＝OB+BD＝6+x，在Rt△AOD中，OD＝AD，6+x=3x
∴x＝3（3+1），
∴AB＝2x＝6（3+1）≈16.2
（注：近似计算一定要到最后的结果才可以代入，否则中间就代入，误差会很大）；

（3）过点A作AG⊥y轴于点G．
过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′＝5，由垂径定理得，OE＝BE＝3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E＝4
∵四边形FEDA为矩形．
∴EF＝DA，而AD=3x＝9+33
∴O′F＝9+33-4＝5+33＞5，
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．

【点评】本题考查了勾股定理的应用、点与圆的位置关系．熟练掌握垂径定理及其推论；圆由半径和圆心确定；会判断点与圆的位置关系．
25．（9分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
8
a
20
200
乙
20
10
30+0.05x2
90
其中a为常数，且5≤a≤7
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（注：年利润＝总售价﹣总成本﹣每年其他费用）
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【分析】（1）根据利润＝销售数量×每件的利润即可解决问题；
（2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题；
（3）根据题意分三种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）y1＝（8﹣a）x﹣20，（0＜x≤200），
y2＝10x﹣30﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣30，（0＜x≤90）；
（2）对于y1＝（8﹣a）x﹣20，
∵8﹣a＞0，
∴x＝200时，y1的值最大＝（1580﹣200a）万元；
对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+470，
∵0＜x≤90，
∴x＝90时，y2最大值＝465万元；
（3）①（1580﹣200a）＝465，解得a＝5.575，
②（1580﹣200a）＞465，解得a＜5.575，
③（1580﹣200a）＜465，解得a＞5.575，
∵5≤a≤7，
∴当a＝5.575时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当5≤a＜5.575时，生产甲产品利润比较高．
当5.575＜a≤7时，生产乙产品利润比较高．
【点评】本题考查二次函数、一次函数的应用，解题的关键是构建函数解决实际问题中的方案问题，属于中考常考题型．
26．（8分）【定义】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．请利用“智慧角”的定义解决下列两个问题：
【运用】如图2，已知∠MON＝120°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝120°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
【探究】如图3，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝4，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，试用含α的代数式分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

【分析】【运用】想办法证明△AOP∽△POB，可得OAOP=OPOB，由此即可解决问题．
【探究】如图3中，过点A作AH⊥OB于点H，连接AB．由△AOP∽△POB，推出∠OAP＝∠OPB，推出∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°-12α，利用三角形的面积公式可得△AOB的面积．
【解答】【运用】证明：如图2中，∵∠MON＝120°，点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP=12∠MON＝60°，
∵∠AOP+∠OPA+∠OAP＝180°，
∴∠OPA+∠OAP＝120°，
∵∠APB＝120°，
∴∠APO+∠OPB＝120°，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴OAOP=OPOB
∴OA•OB＝OP2
∴∠APB是∠MON的智慧角．

【探究】如图3中，过点A作AH⊥OB于点H，连接AB．

∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OP2＝OA•OB，即OAOP=OPOB，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP=12α，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°-12α
∴S△AOB=12•OB•AH=12•OB•OA•sinα=12OP2•sinα，
∵OP＝4，
∴S△AOB＝8sinα．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似的条件，属于中考压轴题．
27．（9分）一次函数y=-43x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2+2ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于163，求此二次函数的关系式．

【分析】（1）根据抛物线的对称轴解答即可；
（2）根据三角形面积公式和待定系数法得出解析式即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-2a2a=-1，
∵将x＝﹣1代入y=-43x得：y=43，
∴点C的坐标为（﹣1，43），
（2）A点在第四象限时，A、B重合，舍弃
∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（﹣1，-43），
∴CD=83．
设△ACD的CD边上的高为h，则12×83h=163，解得h＝4
∴点A的横坐标为﹣4﹣1＝﹣5，则点A的纵坐标为-43×(-5)=203．
即A（﹣5，203）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)2-43，
将A（﹣5，203）代入得：203=a(x+1)2-43．
解得：a=12，
∴抛物线的解析式为y=12(x+1)2-43．
【点评】此题考查待定系数法求二次函数解析式问题，关键是根据三角形面积公式和待定系数法得出解析式．
28．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA=12AC，OB=12BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB＝10．再由△DFQ∽△DCO．得出DFDC=QDOD．求出DF．由AP＝DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD＝AB•CG=12AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=12（AP+DF）•CG．S△EFD=12EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD＝AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝OD=12BD＝8．
在Rt△AOB中，AB=62+82=10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD＝∠COD＝90°．
又∵∠FDQ＝∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴DFDC=QDOD．
即DF10=t8，
∴DF=54t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF．
即10﹣t=54t，
解这个方程，得t=409．
∴当t=409s时，四边形APFD是平行四边形．

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S菱形ABCD＝AB•CG=12AC•BD，
即10•CG=12×12×16，
∴CG=485．
∴S梯形APFD=12（AP+DF）•CG
=12（10﹣t+54t）•485=65t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴QDOD=QFOC．
即t8=QF6，
∴QF=34t．
同理，EQ=34t．
∴EF＝QF+EQ=32t．
∴S△EFD=12EF•QD=12×32t×t=34t2．
∴y＝（65t+48）-34t2=-34t2+65t+48．

（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

若S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40，
则-34t2+65t+48=1740×96，
即5t2﹣8t﹣48＝0，
解这个方程，得t1＝4，t2=-125（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t＝4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴PNAO=PBAB=BNBO，即PN6=410=BN8．
∴PN=125，BN=165．
∴EM＝EQ﹣MQ=3-125=35．
PM＝BD﹣BN﹣DQ=16-165-4=445．
在Rt△PME中，
PE=PM2+EM2=(445)2+(35)2=19455（cm）．
【点评】本题主要考查了四边形的综合知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．