中考压轴题第5部分 抛物线之最值 学案

5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．














6．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．

















7．如图，在平面直角坐标系内，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，连接线段BC、BD、CD，求△BCD的面积；
（3）将该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E．若在y轴上存在一点F，连接DF、EF，使四边形BDFE的周长最小，求此最小值．














8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2﹣x+c（a≠0）经过A，B，C三点．
（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．










9．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．













10．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（﹣1，0），B（﹣l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE﹣QC|最大？并求出最大值．







11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．
（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM=S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．













12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．










13．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．












14．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．







15．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）b=　　，点B的横坐标为　　（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有　　个．












16．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（﹣2，0）和点D（﹣4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．





17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；
（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．










18．已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是　　，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是　　；
（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．



20．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？









21．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？




　
5.方法一：解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得OE=1，∴点E的坐标为（0，1）；

（Ⅱ）①如图②，连接EE′．
由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又∵BE=OB﹣OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．
当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．
②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴==，∴=，AO=2，∴AA′=×2=，
∴EE′=AA′=，∴点E′的坐标是（，1）．
方法二：（1）略．（2）由AA′=m⇒A′（m﹣2，0），E′（m，1），B（0，4），
A′B2+BE′2=（m﹣2）2+（0﹣4）2+（0﹣m）2+（4﹣1）2，
A′B2+BE2=2m2﹣4m+29，
∴当m=1时，A′B2+BE2有最小值，最小值为27．
（3）A′（m﹣2，0），E（m，1），B（0，4），
过B作平行于x轴的直线l，∴E′关于l的对称点为E″（m，7），
A′，B，E″三点共线时，A′B+BE′有最小值，
根据黄金法则一：KA′B=KBE′时，A′，B，E′三点共线，
（理由K1﹣K2，l1∥l2，又l1，l2共线，即A′，B，E′三点共线）∴，∴m=，
∴点E′的坐标是（，1）．


　







6.方法一：解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c
得，解得，∴抛物线的解折式为y=x2﹣x+1；
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1，即E点的坐标（m，m2﹣m+1），
又∵点E在直线y=x+1上，∴m2﹣m+1=m+1解得m1=0（舍去），m2=4，∴E的坐标为（4，3）．
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得即，∴a=，∴P1（，0）．
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，即=，∴EP2=，
∴DP2==∴a=﹣2=，P2点坐标为（，0）．
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，由得，
解得b1=3，b2=1，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；
（3）抛物线的对称轴为，∵B、C关于x=对称，∴MC=MB，
要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y=﹣x+1∴由，得，∴M（，﹣）．
方法二：（1）略．（2）⇒，
∴x2﹣4x=0，x1=0，x2=4，∴E（4，3），A（0，1），
设P（t，0），∵△PAE是直角三角形，∴PA⊥EA或PE⊥AE或AP⊥EP，
①当PA⊥EA时，KPA×KEA=﹣1，，∴t=，∴P1（，0），
②当PE⊥AE时，KPE×KEA=﹣1，，∴t=，∴P2（，0），
③当AP⊥EP时，KAP×KEP=﹣1，，t2﹣4t+3=0，
∴t1=1，t2=3，∴P3（1，0），P4（3，0），
∴满足题意的点有四个：P1（，0），P2（，0），P3（1，0），P4（3，0）．
（3）略．

7.方法一：解：（1）∵在平面直角坐标系内，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），∴，解得：，∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∵点D的坐标为：（1，﹣4），
∵令x=0，则y=﹣3，∴C（0，﹣3），点B与A关于直线x=1对称，∴点B（3，0），
设直线x=1交x轴于点M，∴OM=1，BM=3﹣1=2，DM=4，
∴S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM﹣S△OBC=×2×4+×（3+4）×1﹣×3×3=3；
（3）设平移后的抛物线为：y=x2﹣2x﹣3+k，
∵此抛物线过原点，∴k=3，∴平移后的解析式为：y=x2﹣2x，∴点E（2，0），
∵四边形BDFE的周长为：BD+BE+DF+EF，其中，BD==2，BE=3﹣2=1，
∴要使得四边形BDFE的周长最小，只需要DF+EF取得最小值，
如图，点E关于y轴的对称点E′（﹣2，0），连接DE′，交y轴于点F，此时DF+EF最小，
∴DF+EF=DE′==5，∴四边形BDFE的周长的最小值为：2+1+5=6+2．
方法二：（1）略．（2）过D点作x轴的垂线，交BC于H，
∵B（3，0），C（0，﹣3），∴lBC：y=x﹣3，
当x=1时，y=﹣2，H（1，﹣2），
∵S△BCD=（HY﹣DY）（BX﹣CX），∴S△BCD=（﹣2+4）（3﹣0）=3．
（3）略．（4）设线段CE向上平移t个单位，
∴C′（0，﹣3+t），E′（2，t），E′关于直线x=3的对称点E″（4，t），
当KE′B=KC′B时，C′B+E′B有最小值，∴，∴t=．















　
8.方法一：解：（1）∵直线y=﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C∴点A（﹣1，0），C（0，﹣）
∵点A，C都在抛物线上，∴∴
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣∴顶点F（1，﹣）．
（2）存在：p1（0，﹣），p2（2，﹣）．
（3）存在 理由：
解法一：延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=x2﹣x﹣上，∴B（3，0），在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，BC=2在Rt△B′BH中，B′H=BB′=2 BH=B′H=6，∴OH=3，
∴B′（﹣3，﹣2）．
设直线B′F的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴y=．
，解得，∴M（）
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（）．
解法二：
过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M
即为所求．
过点F作FG⊥y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=
∴GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形
∴AC垂直平分FH
即点H为点F关于AC对称点，
∴H（0，﹣）
设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得，，解得，∴y=，
，解得，
∴M（），
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（）．
方法二：（1）略．
（2）设P（t，），A（﹣1，0），B（3，0），
∵PA⊥PB，∴KPA×KPB=﹣1，
=﹣1，
∴（t+1）（t﹣3）=﹣3，∴t1=0，t2=2，
∴P1（0，﹣），P2（2，﹣）．

（3）∵AC⊥BC，∴点B关于AC的对称点B′，
∴，，
∵B（3，0），C（0，﹣），
∴B′（﹣3，﹣2），F（1，﹣），
∴lB′F：y=x﹣，lAC：y=﹣x﹣，
∴两直线交点坐标M（，﹣）．

（4）设线段AC下移t个单位，则A′（﹣1，﹣t），C′（0，﹣﹣t），
∵F（1，﹣），过点F作x轴的垂线，
∴C′关于x=1的对称点为C″（2，﹣﹣t），
∴当FC′+FA′最短时，C″，F，A′三点共线，
∴KC″F=KA′F，
∴，
∴t=．










　
9.方法一：解：（1）∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B（2，0）、C（0，2）∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如答图1，连接BC．
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．
设P（x，﹣x2+x+2），过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（x，﹣x+2）．
∴PF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x．
S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF﹣xC）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xC）=PF
∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1
∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．
（3）存在．∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，
∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE，∴=，即=，解得AE=，
∴E（，0）．
∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点D为AC的中点，∴D（﹣，1）．
可求得直线DE的解析式为：y=﹣x+ ①．
∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴M（，）．
又A（﹣1，0），则可求得直线AM的解析式为：y=x+ ②．
∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．
如答图2，连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．
联立①②式，可求得交点G的坐标为（﹣，）．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（﹣，）．
方法二：（1）略．（2）连接BC，过点P作x轴垂线，交BC′于F，
当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大．
∵B（2，0）、C（0，2），∴lBC：y=﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），∴F（t，﹣t+2），
S△BCP=（PY﹣FY）（BX﹣CX）=（﹣t2+t+2+t﹣2）×2=﹣t2+2t，
∴当t=1时，S△BCP有最大值，即四边形ABPC的面积最大．∴P（1，2）．
（3）∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴点A是点C关于直线DE对称，∴GC=GA，
∴△CMG的周长最小时，M，G，A三点共线．
∵抛物线y=﹣x2+x+2，∴M（，），A（﹣1，0），∴lMA：y=x+，
∵A（﹣1，0），C（0，2），∴KAC==2，∵AC⊥DE，∴KAC×KDE=﹣1，KDE=﹣，
∵点D为AC的中点，∴Dx==﹣，DY==1，∴D（﹣，1），
∴lDE：y=﹣x+，∴⇒，∴G（﹣，）．

　
10.方法一：解：（1）∵BC∥AD，B（﹣1，2），M是BC与y轴的交点，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），∴N（﹣3，2），∴y=﹣x2﹣x+2；
（2）连接AC交y轴于G，
∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=﹣x+1，∴，
解得，，
∴点P（3+3，﹣2﹣3）或P（3﹣3，﹣2+3），
（3）∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+2，∴对称轴x=﹣，
令﹣x2﹣x+2=0，解得x1=3，x2=﹣6，∴E（﹣6，0），故E、D关于直线x=﹣对称，
∴QE=QD，∴|QE﹣QC|=|QD﹣QC|，
要使|QE﹣QC|最大，则延长DC与x=﹣相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=﹣的交点，
由于M为BC的中点，∴C（1，2），
设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=﹣x+3，
当x=﹣时，y=+3=，故当Q在（﹣，）的位置时，|QE﹣QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD===2．
方法二：（1）略．（2）∵M是BC的中点M（0，2），B（﹣1，2），∴C（1，2），
设P（t，﹣），A（﹣1，0），C（1，2），
∵PA=PC，∴（t+1）2+（﹣）2=（t﹣1）2+（﹣）2，
t2+2t+1+（﹣）2+4（﹣）+4=t2﹣2t+1+（﹣）2，
∴t2﹣6t﹣9=0，t1=3+3，t2=3﹣3，
∴P1（3+3，﹣2﹣3），P2（3﹣3，﹣2+3）．
（3）∵y=﹣，∴对称轴x=﹣，
∵点E与点D关于x=﹣对称，∴E（﹣6，0），QE=QD，∴|QE﹣QC|=|QD﹣QC|，
要使|QE﹣QC|最大，延长DC与对称轴交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=﹣的交点，
∵D（3，0），C（1，2），
∴lDC：y=﹣x+3，当x=﹣时，y=，∴Q（﹣，）．∴CD=．

11.（1）证明：连接CM，
∵AO是直径，M是圆心，∴CM=OM，∠ACO=90°，∴∠MOC=∠MCO．
∵D为OB的中点，∴CD=OD，∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，∴∠DCO+∠MCO=90°，即∠MCD=90°，∴CD是⊙M的切线；
（2）方法一：解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，∴，∴，∴AB=．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得BO=，
∵D为OB的中点，∴OD=OB=，∴D（0，）．
∵OM=AM=OA=，∴M（，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣）（x﹣5），由题意，得=a（0﹣）（0﹣5），解得：a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣）（x﹣5），=（x﹣）2﹣．
连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得，
解得：，∴直线AD的解析式为：y=﹣x+， 当x=时，y=，∴P（，）；
方法二：∵OA=5，AC=3，∠ACO=90°，∴OC=4，tan∠CAO=，∴OB=，
∵D为BO的中点，∴D（0，），M（，0），A（5，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣）（x﹣5），
把D（0，）代入得a=，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣）2﹣，
∵P为对称轴上一点，∴PM=PA，
∴△PDM的周长最小时，D，P，A三点共线，
∵D（0，），A（5，0），∴lAD：y=﹣x+，当x=时，y=，∴P（，）．
（3）解：存在．
∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM，∴S△PDM=××﹣××，=，∴S△QAM==．
设Q的纵坐标为m，由题意，得，∴|m|=，∴m=±，
当m=时，=（x﹣）2﹣．x1=，x2=，
当m=﹣时，﹣=（x﹣）2﹣．x=．
∴Q（，），（，），（，﹣）．

　
12.方法一：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．
（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．
（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．
方法二：（1）略．（2）略．
（3）∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，CE∥x轴，则点C，E关于对称轴对称，
∴E（4，1），QC=，QE=，
∴QC=QE，∵KQC==1，KQE==﹣1，∴KQC×KQE=﹣1，∴QC⊥QE，
∴△CQE为等腰直角三角形，∴△CEQ∽△CDO．
（4）过点C作关于x轴和直线QE的对称点C″，C′，显然C″的坐标为（0，﹣1），
∵QC⊥QE，∴点Q为CC′的中点，由中点公式，∴，，∴C′（4，5），
∵CF=C″F，PC=PC′，∴当C′，P，F，C″四点共线时，周长最短．
∴CF+FP+PC=C″F+FP+PC′=C″C′，
∵C″（0，﹣1），C′（4，5），∴C″C′=，


13.解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，
∵点B的坐标为（3，0）．∴4a+4=0，∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）存在．抛物线的对称轴方程为：x=1，
∵点E的横坐标为2，∴y=﹣4+4+3=3，∴点E（2，3），∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，
∴，∴，∴直线AE的解析式为：y=x+1，∴点F（0，1），
∵D（0，3），∴D与E关于x=1对称，
作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，设直线EF′的解析式为：y=mx+n，∴，解得：，
∴直线EF′的解析式为：y=2x﹣1，∴当y=0时，2x﹣1=0，得x=，即H（，0），
当x=1时，y=1，∴G（1，1）；
∴DF=2，FH=F′H==，DG==，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+++=2+2；
（3）存在．∵BD==3，设M（c，0），
∵MN∥BD，∴，即=，∴MN=（1+c），DM=，
要使△DNM∽△BMD，需，即DM2=BD•MN，可得：9+c2=3×（1+c），
解得：c=或c=3（舍去）．当x=时，y=﹣（﹣1）2+4=．
∴存在，点T的坐标为（，）．


　











14.方法一：解：（1）∵对称轴为直线x=2，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．
将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．
（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，﹣x2+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE
=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+
∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，
把x=时，y=﹣（﹣2）2+9=．此时点P坐标为（，）．
（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．
令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．
四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．
如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；
作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；
连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．
设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：
，解得：m=，n=﹣，∴y=x﹣．
当y=0时，解得x=．∴F（，0）．
∵a+1=，∴a=．∴a=时，四边形PMEF周长最小．
方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，
显然当S△PMF有最大值时，四边形MEFP面积最大．
当a=1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴lMF：y=﹣x+1，
设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），∴S△PMF=（PY﹣HY）（FX﹣MX），
∴S△PMF=（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+t+4，∴当t=时，S△PMF最大值为，
∵S△MEF=EF×MY=×1×1=，∴S四边形MEFP的最大值为+=．
（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2±，
∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，
当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，
将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），
∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME=M1F，
作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F=M1F=ME，
当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF=PM2最小，
∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴KPF=KM1F，∴，∴a=．
15.方法一：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0=×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，∴b=+c，
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左侧），
∴﹣1与xB是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，∴﹣1•xB=，∴xB=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；
（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
∵B（﹣2c，0），∴﹣2kc+c=0，
∵c≠0，∴k=，∴直线BC的解析式为y=x+c．∵AE∥BC，∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，
∵点A的坐标为（﹣1，0），∴×（﹣1）+m=0，解得m=，∴直线AE得到解析式为y=x+．
由，解得，，∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．
∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．
∵C，D，E三点在同一直线上，∴1﹣c=﹣×（1﹣2c）+c，∴2c2+3c﹣2=0，
∴c1=（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，∴b=+c=﹣，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）①设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），
∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x﹣2．
分两种情况：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．
∵S△ACB=AB•OC=5，∴0＜S＜5；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．
∴点F坐标为（x，x﹣2），
∴PF=PG﹣GF=﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x2+2x，
∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴当x=2时，S最大值=4，∴0＜S≤4．综上可知0＜S＜5；
②∵0＜S＜5，S为整数，∴S=1，2，3，4．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），
∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高AC=．
∵S=BC•h，∴h===S．
如果S=1，那么h=×1=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=2，那么h=×2=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=3，那么h=×3=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=4，那么h=×4=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当﹣1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=﹣x2+4x．
如果S=1，那么﹣x2+4x=1，即x2﹣4x+1=0，
∵△=16﹣4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=2，那么﹣x2+4x=2，即x2﹣4x+2=0，
∵△=16﹣8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=3，那么﹣x2+4x=3，即x2﹣4x+3=0，
∵△=16﹣12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=4，那么﹣x2+4x=4，即x2﹣4x+4=0，
∵△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；
综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．故答案为+c，﹣2c；11．
方法二：（1）略．（2）B（﹣2c，0），C（0，c），∴KBC=，
∵AE∥BC，∴KAE=KBC=，
∵A（﹣1，0），∴lAE：y=x+，
∵抛物线：y=x2+（c+）x+c，⇒x2+（c+）x+c=x+，
经整理：x2+2cx+2c﹣1=0，（x+2c﹣1）（x+1）=0，∴x1=﹣2c+1，x2=﹣1，
∴E（﹣2c+1，﹣c+1），C（0，c），D（2，0）三点共线，∴KCD=KDE，∴，
经整理，得2c2+3c﹣2=0，解得：c=﹣2或c=（舍），
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC′于F，
lBC：y=x﹣2，设P（m，m2﹣m﹣2），那么F（m，m﹣2），
∴FP=﹣m2+2m，∴S△PBC=FP（BX﹣CX）=2FP，
S△PBC=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，因此当P在BC下方时，S△PBC的最大值为4，
当P在BC上方时，∵S△ABC=5，∴S△PBC＜5，
综上所述：0＜S△PBC＜5，
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．

16.方法一：解：（1）将点A（﹣4，8）的坐标代入y=ax2，解得a=；
将点B（2，n）的坐标代入y=x2，求得点B的坐标为（2，2），
则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，﹣2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，，解得：，∴直线AP的解析式是y=﹣x+，
令y=0，得x=．即所求点Q的坐标是（，0）；
（2）①CQ=|﹣2﹣|=，故将抛物线y=x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短，

此时抛物线的函数解析式为y=（x+）2；
②左右平移抛物线y=x2，
∵线段A′B′和CD的长是定值，∴要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，
∴不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短；
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，
则点A′和点B′的坐标分别为A′（﹣4﹣b，8）和B′（2﹣b，2）．
∵CD=2，
∴将点B′向左平移2个单位得B′′（﹣b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，
点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（﹣4﹣b，﹣8），
∵直线A′′B′′的解析式为y=x+b+2．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，
将点D（﹣4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b=．
∴将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，
此时抛物线的函数解析式为y=（x+）2．
方法二：（1）略．（2）①设抛物线向左平移t个单位，A′（﹣4﹣t，8），B′（2﹣t，2），
A′关于x轴的对称点A″（﹣4﹣t，﹣8），
∵C（﹣2，0），KA″C=KCB′时，A″，B′，C三点共线，∴，t=，
∴抛物线的函数解析式为y=（x+）2．
②第一种情况：当抛物线向左平移，设平移b个单位，由A′B′CD周长最短，即A′D+CB′最短．
A′（﹣4﹣b，8），B′（2﹣b，2），
由B′向左移CD单位即2个单位得B″（﹣b，2），
∵四边形B″DCB′为平行四边形，∴CB′=DB″，A′D+CB′最短，即A′D+DB″最短，
A′（﹣4﹣b，8）关于x轴的对称点为A″（﹣4﹣b，﹣8），D（﹣4，0），B″（﹣b，2）三点共线时A′D+DB″最短，
KA′D=KB″D，∴，b=﹣，∴抛物线方程为：y=（x+）2．
第二种情况：当抛物线向右平移时，同理可得b=﹣，∴抛物线方程为：y=（x+）2．

　
17.方法一：
解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）2﹣1，将（1，0）代入得：0=a（1+1）2﹣1，
解得；a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2﹣1；
（2）∵A（﹣1，﹣1），∴∠COA=45°，
∵∠CAO=90°，∴△CAO是等腰直角三角形，∴AC=AO，∴C（﹣2，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
将A，C点代入得出：，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，
将y=（x+1）2﹣1和y=﹣x﹣2联立得：，解得：，，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，B点坐标为：（﹣5，3）；

（3）过点B作BP⊥EF于点P，
由题意可得出：E（﹣5，﹣2），设直线EF的解析式为：y=dx+c，
则，解得：，∴直线EF的解析式为：y=x+，
∵直线BP⊥EF，∴设直线BP的解析式为：y=﹣2x+e，
将B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，解得：e=﹣7，∴直线BP的解析式为：y=﹣2x﹣7，
∴将y=﹣2x﹣7和y=x+联立得：，解得：，∴P（﹣3，﹣1），
故存在P点使得BP⊥EF，此时P（﹣3，﹣1）．
方法二：（1）略．（2）∵∠CAO=90°，∴KAO×KAC=﹣1，
∵A（﹣1，﹣1），O（0，0），∴KAO=1，KAC=﹣1，∴lAC：y=﹣x﹣2，∴，
∴x1=﹣1（舍），x2=﹣5，∴B（﹣5，3）．
（3）∵BE⊥DE且D（0，﹣2），∴E（﹣5，﹣2），
∵F（﹣1，0），∴lEF：y=x+，
∵BP⊥EF，∴KBP×KEF=﹣1，∴KBP=﹣2，
∵B（﹣5，3），∴lBP：y=﹣2x﹣7，∴，∴P（﹣3，﹣1）．
方法二追加第（4）问：在（3）的条件下，作PH⊥ED，垂足为H，线段BF向左平移t个单位，得B′F′，求使得B′E+F′H最小时t的值．

（4）∵线段BF向左平移t个单位，
∴B′（﹣5﹣t，3），F′（﹣1﹣t，0），
由F′左移HE单位即2个单位得F″（﹣3﹣t，0），
显然F′H=F″E，B′E+F′H最短，即B′E+F″E最短，
F″（﹣3﹣t，0）关于y=﹣2的对称点为F″（﹣3﹣t，﹣4），
B′，E，F″三点共线时E，B′E+F″E最短，
∴KB′E=KF″E，，∴t=，
∴线段BF向左平移个单位时B′E+F′H最短．

　
18.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，∴C（，﹣）．
（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．

∵P′是抛物线与y轴的交点，∴OP′=2，∴MP′==，∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，﹣2），∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
（3）方法一：存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），
又∵C（，﹣）∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），
∵AB=5，∴P″（﹣2﹣t，﹣2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，，解得∴直线y=x+t+，
当P″、A、C″在一条直线上时，周长最小，∴﹣+t+=0∴t=．
故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
方法二：
∵AB、P′C′是定值，∴A、B、P′、C′所构成的四边形的周长最短，只需AC′+BF最小，
①若抛物线向左平移，设平移t个单位，∴C′（﹣t，﹣），P″（﹣2﹣t，﹣2），
∵四边形P″ABP′为平行四边形，∴AP″=BP′，
AC′+BP′最短，即AC′+AP″最短，C′关于x轴的对称点为C″（﹣t，），
C″，A，P″三点共线时，AC′+AP″最短，KAC′=KAP″，，∴t=．
②若抛物线向右平移，同理可得t=﹣，
∴将抛物线向左平移个单位时，A、B、P′、C′所构成的多边形周长最短．

　
























19.方法一：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，
∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，
∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；
①当点B落在线段OA上时，如图①，==，
由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），
∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；
②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），
∴﹣2+m=0，∴m=2，
（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，
∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，
过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，
∴当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，
即PD+DQ的最大值为6．
②由①可知：PD+DQ≤6，设PD=a，则DQ﹣a，
∴PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，
∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PD•DQ≤18．∴PD•DQ的最大值为18．
方法二：（1）略．（2）过点A作x轴垂线，与直线PQ交于点D，设直线PQ与y轴交于点C，
∴C（0，m），D（4，4+m），
∵S△POQ=（Qx﹣Px）（QY﹣CY），S△PAQ=（Qx﹣Px）（DY﹣AY），
∵，∴，∴m1=2，m2=﹣1．
（3）①设P（t，t2﹣4t）（0＜t＜4），
∵KPQ=1，∴lPQ：y=x+t2﹣5t，
∵C（2，2），A（4，0），∴lAC：y=﹣x+4，∴DX=，DY=，∴Q（2，t2﹣5t+2），
∵PQ⊥AC，垂足为点D，∴点Q关于直线AC的对称点Q′（﹣t2+5t+2，2），
欲使PD+DQ取得最大值，只需PQ′有最大值，
PQ′==，
显然当t=2时，PQ′的最大值为6，
②∵（PD+DQ）2≥4•PD•DQ，∴PD•DQ≤==18，
∴PD•DQ的最大值为18．

　

20.解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．
过点B作BH⊥x轴于H，如图1．
∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．
同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；
（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．
则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣3x，
整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得
x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0
解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；
方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，
∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，
设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），
①，∴||=，∴2t1=，2t2=，
②∴||=3∴2t1=11，2t2=﹣1，（舍），
∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；
（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．
在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，
∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．
根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．
此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．对于y=x2﹣x+3，当y=0时，有x2﹣x+3=0，
解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，
∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴点E的坐标为（2，1）．

方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE=D′E，
作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，
在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，
∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小，
∵A（0，3），C（3，0），∴lAC：y=﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），
∵DM⊥AC，∴KDM×KAC=﹣1，∴﹣1×，∴m=，∴M（，），
∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），
∵EY=D′Y=1，∴E（2，1）．
方法三：过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．
∵A（0，3），C（3，0），∴lAC：y=﹣x+3．
∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，
∵AF∥OC，∴∠FAE=45°．∴EF=AE•sin45°=．
∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t=+=DE+EF，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）
则E点横坐标为2，将x=2代入lAC：y=﹣x+3．，得y=1．所以E（2，1）．

　





















21.解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．
∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．
（2）方法一：由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，
解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k=．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．
与①同理，可求得：k=．综上所述，k=或k=．
方法二：∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角，
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，∴KAP+KAC=0，
∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），∴KAC=﹣，∴KAP=，∵A（﹣2，0），∴lAP：y=x+k，
∵抛物线：y=（x+2）（x﹣4），∴x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（舍）∴P（8，5k），
∵△ABC∽△APB，∴，∴，∴k=，
②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k=；
（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，
∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．

方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，
∴FH=DF×sin30°=，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t=，
∵lBD：y=﹣x+，∴FX=AX=﹣2，∴F（﹣2，）．