高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解 学案

www.ks5u.com微专题98 含新信息问题的求解

一、基础知识：

所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧

1、读取“新信息”的步骤

（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围

（2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系

（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律

（4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。

2、理解“新信息”的技巧与方法

（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解

（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律

（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。

二、典型例题

例1：设是两个集合，定义集合，如果，，则等于（       ）

A.     B.     C.     D.

思路：依可知该集合为在中且不属于中的元素组成，或者可以理解为集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。 ，，所以，从而可得：

答案：B

例2：在内有定义。对于给定的正数，定义函数

取函数。若对任意的，恒有，则（     ）           A．的最大值为2    B. 的最小值为2   C．的最大值为1    D. 的最小值为1 

思路：由所给分式函数可知，若，则取，如果，就取，由这个规则可知，若恒成立，意味着，均有恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，即，下面求的最大值：，可知在单调递增，在单调递减，所以，从而，即的最小值为1

答案：D

例3：设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，，则满足关系式的的个数为（   ）

   A.  4               B.  3               C.  2              D.  1

思路：本题的关键在于读懂规则，“”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：，按照要求，除以4的余数为0，所以。掌握规律后再看所求关系式：要求得，则需要先解出，将其视为一个整体，可知，即除以4的余数为0，可推断，即，不妨设，即除以4的余数为2，则的值为，所以或者，共有两个解

答案：C

例4：定义两个平面向量的一种运算，其中为的夹角，对于这种运算，给出以下结论：① ；②；③ ；④ 若，则

你认为恒成立的有（     ）

A.  1个              B.  2个                C.  3个             D.  4个

思路：本题的新运算，即的模长乘以夹角。所以对于结论①，；对于②，，而，显然当时等式不成立；对于③，（其中表示的夹角），而，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况如，左边为0，而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考虑将左边平方，从而 ，可与 找到联系：，即。综上所述，①④正确

答案：B

例5：如果函数对任意两个不等实数，均有，在称函数为区间上的“G”函数，给出下列命题：

① 函数是上的“G”函数

② 函数是上的“G”函数

③ 函数是上的“G”函数

④ 若函数是上的“G”函数，则

其中正确命题的个数是（     ）

A.                 B.                 C.                D. 

思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：，所以即与同号，反映出是上的增函数，从而从单调性的角度判断四个命题：①：恒成立，所以是上的增函数

②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②正确，③不正确

④：若是“G函数”，则是上的增函数，所以即恒成立，因为，所以可得：，④正确

综上所述：①②④正确，共有三个命题

答案：C

例6：对于各数互不相等的正数数组，其中，如果在时，有，则称“与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”，例如：数组中有顺序“”，“”，其“顺序数”等于2，若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是4，则的“顺序数”是（      ）

A.                B.                C.                 D. 

思路：本题中对于“顺序”的定义为，即序数小的项也小。要得到“顺序数”则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现刚好是进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数组不成“顺序”的（即）反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意两个数比较大小，共有组，在中“顺序”有4个，则非“顺序”有6个，所以到了中，顺序数即为6

答案：B

小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由的“顺序数”是4，假设，其余各项，则在中即可数出顺序数为6

例7：对任意实数定义运算如下：，则函数的值域为（       ）

A.        B.          C.             D.

思路：本题可将描述成取中较小的数，即，所以对于，即为中较小的数。解不等式，则，所以，从而可解得值域为

答案：B

小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式， 的图像为将的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出的图像，其中的交点通过计算可得，所以结合图像即可得到的值域为，即

例8：已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为到的距离，记作

（1）求点到线段的距离

（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积

思路：首先要明确新定义的“距离”，即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图形来理解定义。可发现过作线段的垂线，若垂足在线段上，则垂线段最短，与传统的定义相同；若垂足在线段的延长线上，则需找线段上距离点最近的，即线段的某个端点。在第（1）问中，作出图像可得在线段上的垂足位于线段延长线上，所以只需比较到两个端点的距离即可；在第（2）问中，先作出的图形，表示的图形是长为2，宽为2的正方形和两个半径是1的半圆的组合图形，则为该图形的内部，再求出面积即可

解：（1）设线段的端点，代入直线方程可得：

（2）若，则点的轨迹为长 ，宽的正方形和两个半径 的半圆的组合图形

例9：设表示不超过的最大整数（如），对于给定的，定义，则当时，函数的值域为（     ）

A.       B.      C.    D. 

思路：由定义的式子可知分子分母含多少项，与的取值有关，即分子分母分别为个项的乘积，所以根据的定义将分为和两段进行考虑。当时，，所以，所以在的值域为；当时，，所以，从而在 单调递减， ，综上所述可得：

答案：B

例10：在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”。定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“ ”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：

① 若，则

② 若，，则

③ 若，则对于任意的，

④ 对于任意的向量，其中，若，则

其中命题正确的序号为__________

思路：从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标，其中优先比较横坐标，若横坐标相等则再比较纵坐标，结合这个规律便可分析各个命题：（为方便说明，任一向量的横坐标记为，纵坐标记为

①：显然，所以，，所以，综上可得：

②：由可知：或“且”，同理：由可得：或“且”，所以由不等式和等式的传递性可得“或“且”成立，所以

③：设，由由可知：或“且”，所以或“且”成立，所以

④：设，由可知：或“且”，考虑 若“且”，则 由可知存在一种情况：且，则即，故④不正确

答案：①②③

小炼有话说：本题处理④的关键在于定义中的一种情况：且对无大小限制，且数量积的结果不仅与取值相关，还与的值相关。所以在考虑反例时就可以利用消除横坐标大小的关系。进而的大小关系由的纵坐标决定，就能轻松找到反例了