高中数学讲义微专题78 定值问题 学案
展开www.ks5u.com微专题78 圆锥曲线中的定值问题
一、基础知识：
所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。
1、常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。
2、定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
二、典型例题：
例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于），直线分别于直线交于两点
（1）求双曲线的方程
（2）试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由
解：（1）由可得，且焦点在轴上
所以设双曲线方程为：，则渐近线方程为
由解得：
双曲线方程为
（2）由（1）可得：，设
设，联立方程解得：
同理：设，联立方程可得：
下面考虑计算的值
在双曲线上
所以为定值
例2：已知椭圆的离心率为，且过点
（1）求椭圆方程
（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，且满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由
解：（1）由可得：
椭圆方程为代入可得：
解得：
椭圆方程为
（2）设，联立方程可得：
消去可得：，整理可得：
依题意可知：
即 ①
由方程可得：
代入①可得：
，整理可得：
可知为定值，与的取值无关
例3：已知椭圆经过点，，动点
（1）求椭圆标准方程
（2）设为椭圆的右焦点，过作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：的长为定值，并求出这个定值
解：（1）由可得：
椭圆方程可转化为：，将代入椭圆方程可得：
，解得：
椭圆方程为
（2）由（1）可得：
思路一：通过圆的性质可得，而（设垂足为），由双垂直可想到射影定理，从而，即可判定为定值
，设与相交于
则解得：
为圆的直径
由射影定理可得：
思路二：本题也可从坐标入手，设，则只需证明为定值即可，通过条件寻找关系，一方面：，可得；另一方面由点在圆上，可求出圆的方程，从而，展开后即可得到为定值
解：设，则
的中点坐标为，
以为直径的圆方程为：
代入，可得：
即
例4：已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点
（1）求椭圆的方程
（2）设，延长分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证：为定值
解：（1），设
由可得：
（2）由（1）可得 ，设
可得：
联立方程
同理，直线与椭圆交点的坐标为
设 ，代入可得：
小炼有话说：本题中注意的变形：可通过直线方程用表示，代入后即可得到关于的表达式
例5：已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，求证：为定值
解：（1）依可知 椭圆方程为代入解得：
椭圆方程为
（2）思路：由（1）可得：，可设，由题意可知为过作圆切线所产生的切点弦，所以,从而可得，所以，由椭圆方程可得，从而为定值
解：由（1）可得：
设 可知是过作圆切线所产生的切点弦
设，由是切点可得：
，代入：，
即 ，同理可知对于，有
因为在圆上
为直线上的点
因为两点唯一确定一条直线
，即
由截距式可知
在椭圆上
即为定值
小炼有话说：
（1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后的特点整体消去所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。
（2）本题求直线方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构”的特点，从而确定直线方程
注：切点弦方程：过圆外一点作圆的切线，切点为，则切点弦的方程为：
例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，设为椭圆上任意一点。过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于
（1）若直线相互垂直，求的方程
（2）若直线斜率存在，并记为，求证：是一个定值
（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由
解：（1）由可得
，即
联立方程：或或或
的方程为：
或或
或
（2）思路：可设直线，均与圆相切，可得（其中）化简可得：，可发现均满足此方程，从而为的两根。则，再利用椭圆方程消元即可得到定值
解：设
与相切
化简可得：
对于，同理可得：
为的两根
（3）思路：设，，由第（2）问所得结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将坐标分别用进行表示，再判断是否为定值
解：当不在坐标轴上时，设
同理可得：
若在坐标轴上（不妨设在轴）上，则
综上所述，为定值
例7：已知椭圆，称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为
（1）求椭圆的方程及其“准圆”方程
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点
① 当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明
② 求证：线段的长为定值
解：（1）依题意可得：，
（2）① 由（1）可得，设切线方程为：
联立方程：消去可得：
整理可得：
解得：
所以
② 设
则，消去可得：
整理可得：
整理后可得：
同理，对于设切线的斜率为，则有：
在“准圆”上
所以 为“准圆”的直径
为定值，
例8：已知点在椭圆上，椭圆的左焦点为
（1）求椭圆的方程
（2）直线过点交椭圆于两点，是椭圆经过原点的弦，且，问是否存在正数，使得为定值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由左焦点可得，由
，代入可得：解得：
（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量，直线的另一核心要素为斜率（假设存在），通过可联想到弦长公式，所以分别将直线的方程与椭圆方程联立，进而为关于的表达式，若为常数，则意味着与的取值无关，进而确定的值
设直线,，联立方程：
设 ，则
所以若是个常数，
也为的形式，即
此时，当直线斜率不存在时，可得符合题意
小炼有话说：本题在判断 的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一项含的表达式：
，若的值与无关，则
例9：如图，已知椭圆的离心率为 ，以椭圆的左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点源:Z_xx_k.Com]
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆的方程 [来源:学§科§网][来源:Z|xx|k.Com]
（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．
解（1）圆的圆心
椭圆方程为：
（2）由圆与椭圆关于轴对称可得：关于轴对称
设，则，且有
由可得：
因为在椭圆上（非长轴顶点）
时，，将代入可得
即，代入到圆方程可得：
（3）思路：依图可知所可翻译为坐标运算即，且 分别为直线与轴的交点，可设出，从而结合和计算出的方程，从而可用进行表示，再根据椭圆方程进行消元即可。
解：设，由可得：
的方程为：
令，可解得：
同理可解得与轴的交点的横坐标
所以 ①
因为，均在椭圆上
，代入到①可得：
所以，即为定值
例10：如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于和，且满足，其中为常数且，当点恰为椭圆右顶点时，对应的
（1）求椭圆的方程
（2）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由
解：（1）由可得：
若为右顶点，则 ，设
由可得：
代入可得，代入椭圆方程可得：
解得
椭圆方程为：
（2）解：设
由，可得： ，因为在椭圆上
所以有：，代入并整理可得：
整理②可得：
同理可得：对于，则有
，即为定值
