高中数学讲义微专题18 利用导数解函数的最值
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一、基础知识：
1、函数的最大值与最小值：
（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值
（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值
（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系
右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是
（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点
5、利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求在内的极值；
（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础
7、在比较的过程中也可简化步骤：
（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点
（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点
8、最值点的作用
（1）关系到函数的值域
（2）由最值可构造恒成立的不等式：
例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式
二、典型例题：
例1：求函数的最值
思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值
解：，令,解得：
的单调区间为：
，无最小值
小炼有话说：函数先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
例2：已知函数,是的一个极值点，求：
（1）实数的值
（2）判断在区间上是否存在最大值和最小值
解：（1）
是的一个极值点
（2）思路，由第（1）问可得，进而求出单调区间得到最值
解： ,令,解得：或
的单调区间为：
计算
小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管不在所给区间中，但也需要代入到中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。
例3：已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由
思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出
解：，
（1）当时，
在单调递减
（2）当时，
在单调递增
或
小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1）
例4：求函数()的最值
思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较
解： 恒成立
当时，
可得：在单调递增，在单调递减
时,
当时，
在单调递减， 当时，
可得函数的最值为，
思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。
解：令 ,
令，解得:或
的单调区间为：
的值域为
的值域为 ，
小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较
（2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。
例5：已知函数的定义域为，求在上的最值
思路：的单调区间可通过导数来确定，,是的极值点，而极值点是否在会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论
解：，令解得
在单调递减，在单调递增 为的极小值点
（1）当时，在单调递增
（2）当时， 在单调递减，在单调递增
下面比较的大小
若
时，
当时，
当时，
综上所述：时，
时，，
时，
时，
例6：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．
思路一： 函数的定义域为，．当时，，当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；当时，若，，为减函数，若，，为增函数，所以为极小值，也是最小值；①当，即时，在上单调递增，所以，所以（矛盾）；②当，即时，在上单调递减，，所以．③当，即时，在 上的最小值为，此时（矛盾）．综上．
思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设分别为函数的最小值点,求出后再检验即可。
答案：
小炼有话说：（1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析最小值点的位置，但由于函数含有参数，导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论，过程较为复杂
（2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。
例7：已知函数在上是增函数，函数.当时，函数的最大值与最小值的差为，则________.
思路：含有绝对值，故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值，先利用的条件确定的取值范围，，由在上是增函数可得对任意的，恒成立 ，而，，
，绝对值的分界点为，由及定义域
需对是否在区间中进行分类讨论
（1）当时，则 ，可判断出为减函数
，故舍去
（2）当时，
时，单调递减，
当时
单增，。，所以。所以，从而有，解得。
答案：
例8：若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：观察到真数部分为开口向上的抛物线，所以若取到最小值，则底数且 真数取到最小值，而真数部分恒大于零，所以只需有大于零的最小值即可。，从而，解得，另一方面，所以
答案：C
例9：已知在区间上任取三个不同的数,均存在以为边长的三角形,则的取值范围是 .
思路：考虑三角形成立的条件：两条较短的边的和大于第三边，由于任取， 也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形，满足两个条件：① 均大于零，即，② 极端情形短边均取最小值，和大于第三边即可。 令结合定义域解得：，故在单调减，在单调增。，，
答案：
例10：若函数在上有最小值，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
思路：，令或，所以在单调递增，在单调递减，为函数的极小值点。因为函数在上有最小值，则函数的极小值点必在区间 内，且左端点的函数值不小于，,
答案：C
