高中数学讲义微专题40 利用函数性质与图像解不等式
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高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
一、基础知识：
（一）构造函数解不等式
1、函数单调性的作用：在单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）
3、导数运算法则：
（1）
（2）
4、构造函数解不等式的技巧：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整
（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。
（二）利用函数性质与图像解不等式：
1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：的对称轴为，且在但增。则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小。从而得到函数值与自变量的等价关系
2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图像均可作出。再由可知的图像在图像的下方。按图像找到符合条件的范围即可。
二、典型例题：
例1：定义在上的可导函数满足：，，则的解集为（ ）
A. B. C . D.
思路：本题并没有的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。由条件可得，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得，再结合所解不等式，发现，刚好与条件联系起来，故设，则在上单调递减。，所以的解集为
答案：C
小炼有话说：
（1）在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号
（2）此题构造的关键点有二：一是轮流求导的特点，进而联想到导数乘除法运算，二是所求不等式所给予的“暗示”。所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”
（3）体会条件的作用：提供零点以便配合单调性求解
例2： 函数的定义域为，，对任意的，有，则的解集是 ；
思路：所解不等式化为，令，则
由可得（这也是为何构造的原因），在上单调递增。考虑，
答案：
例3：设定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为_________
思路：由可得原函数（注意由导函数反求原函数时要带个常数），再由可得，（看到函数解析式的反应：定义域？奇偶性？）显然是奇函数，且在单调递增。进而不等式可利用单调性解出的范围。，所以
答案：
小炼有话说：（1）本题尽管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复杂，所以依然选择利用单调性
（2）要掌握一些能直接判断单调性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下：
奇偶性：① 奇+奇→奇 ② 偶+偶→偶 ③ 奇×奇→偶 ④ 奇×偶→奇 ⑤ 偶×偶→偶
单调性：① 增+增→增 ② 减+减→减 ③ 增×（-1）→减
④ 1/增 →减（仅在函数值恒正或恒负时成立）
（3）本题求解有一个重要细节：由于定义在上，所以要保证均在上
（4）要培养一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断的（尤其奇偶性），再根据条件分析。
例4：函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
思路：，令，则在单调递增，因为是奇函数，所以可判断为偶函数。另一方面，的解集与的解集相同，进而只需求出的解集。，由增函数可得时，，由对称性可知时，
答案：D
例5：若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是 .
思路：根据函数为偶函数，而与互为相反数的特点可化简所求不等式：
，由偶函数与单调性作草图可得：距离轴约近，函数值越小，所以可得，解出的范围即可
解：所解不等式等价于：
为偶函数
为偶函数，且上单增
答案：
小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值的大小的等价关系。
例6： 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为____________
思路：考虑条件能够提供什么，为偶函数的图像关于轴对称的图像关于轴对称；，由轮流求导的特点联想到导数的乘除运算法则（极有可能是除法，则要猜想分母），观察所求不等式与条件的联系，而，进而找到联系。构造函数，则，得到在单调递增，所解不等式也变为求的解。考虑时的值，再利用单调性求解。，而，考虑，图像关于轴对称，故,
由在单调递增可得的解集为
答案：
小炼有话说：
（1）本题所给条件比较零散。而解题思路则是像一根线把各个条件与求解联系起来。此类题目在不知如何入手时不妨先将条件进行简单转化，看条件能提供什么，再与所求部分（或者是选择题中的选项）进行对照。从对照中往往就能够得知如何构造函数。
（2）本题对条件的利用，以及猜想的解是一个难点。对于指对数运算，结果比较整齐时（尤其是），要想到一些特殊结果，比如等。
例7：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
思路：此题一入手便发现需用函数单调性解不等式，观察条件：出现轮流求导，所解不等式中，均具备“”的形式，进而找到连结条件与所求的桥梁。下面对条件进行变形：
(注意，不等式变号），令，则，故在上单调递减。所解不等式变为
答案：C
小炼有话说：此题在处理条件时也有另一个选择，即，但是这与所求不等式之间没有联系（不等式中没有出现的形式），所以此套方案舍弃，将仅仅用于判断符号。在数学题目中，条件就像树状图一样，一个条件可以引出很多种思路与想法。但是如何进行选取要借助其他条件与所求带来的暗示
例8：（2015 红桥一模）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
思路：本题如果按照传统不等式解法，则要通过零点分段法去掉绝对值，再解不等式，过程较为复杂。分析，，每一段均可作出图像，而所解不等式在图像上是位于下方的部分。所以作出图像找到边界值：，解得，，解得：，所以满足的的范围是
答案：B
例9：已知，若同时满足条件：① 或；② ，则的取值范围是__________
思路：本题如果用代数方法求解，则由于本身含参，在解含参不等式时涉及分类讨论较为复杂，同时对于条件①②，均可翻译为图像上的特点，①表示的图像在每一点处至少有一个在轴下方，②表示在中至少存在一个位置，分居轴两侧；再考虑到图像便于作出，所以可用数形结合求出的范围
解：因为为常系数函数，先做出图像
由图像可得：时，，故图像必为开口向下的抛物线（否则不满足条件①），可得，与轴有两个交点，结合条件①②可得，较小的根应小于，较大的根应小于1。故对进行分类讨论：
或
解得：
答案：
例10：定义在上的可导函数满足：， 当时，，则不等式的解集为__________
思路：不易入手时可先梳理条件与结论能提供什么：
① 所解不等式，令
，可猜出，进而目标转向求的单调性。
②（注：是复合函数，求导时要用复合函数求导法则：），想办法确定其符号
③：两边求导可得
④当时：此为用表示的一个条件，进而有可能将中抽象的表示出来
由此发现，只要能确定当时与的关系，即可处理的符号，联系条件③
当时，，
，进而单调递减
时，
答案：
小炼有话说：
（1）在解决此类条件零碎的问题时，除了将所给条件和结论进行进一步的分析外，还要在做得过程中明确下一步需要做什么，需要得到什么。
（2）在考试中本题也可利用特殊函数得到答案。由可构造一个符合条件的函数如“+奇函数”的形式。在根据进行调整。例如，然后求解不等式即可。（因为从题目上看可发现只要满足条件的函数均可使不等式的解集相同）
三、历年好题精选
1、已知定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
2、若关于的不等式有解，则实数的取值范围是_______
3、（2014，庆安高三期中）设，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4、（2016，北京西城高三期末）已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____.
5、设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6、设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7、（2015新课标II）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的范围是（ ）
A. B.
C. D.
8、（2014，新课标全国卷II）已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是_______
9、（2014，浙江）设函数，若，则实数的取值范围是________
10、（2016，重庆万州二中）已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
11、设偶函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12、已知函数，则关于的不等式的解集是_______.
13、设函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
14、设是定义在上的奇函数，在上有且，则不等式的解集为__________
15、设函数在上存在导数，对任意的，有，且时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16、定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A. B. C. D.
17、已知函数则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
18、定义在上的函数满足：，且对于任意的,都有，则不等式的解集为 __________________.
习题答案：
1、答案：C
解析：由为偶函数可知关于轴对称，因为在上单调递减，所以结合对称性与单调性，数形结合可知距离越近的点，函数值越大。则，即，可解得：
2、答案：
解析：不等式变形为：，设
结合图像可知：若不等式有解，则的图像有位于下方的部分，所以，解得
3、答案：C
解析：若，则，所以有
若时，可得：解得：，所以
综上所述：不等式的解集为
4、答案：1
解析：由图像可知：当的范围应该在，即不等式的解集为：，依题意可得：
5、答案：A
解析：分两种情况，若，则解得，当设方程的两根为，则问题转化为，从而用根分布进行求解，设，则：，解得：，综上所述，可得：
6、答案：A
解析：由可知为偶函数，当时，可判断出单调递增，由对称性和单调性通过作图可知：距离轴越近，则函数值越小。所以，解得
7、答案：A
解析：设，所以为偶函数，且，由已知可得：时，，所以在单调递减。由为奇函数可知，所以，所以可得时，，从而，同理时，，再由奇函数的特点可得时，。综上所述：时，
8、答案：
解析：令，则先解，在单调递减，
时，
是偶函数
的解集为
9、答案：
解析：通过数形结合处理，的图像如图所示，令，则先解，由图可得：即，再由图可知
10、答案：D
解析：由可得：，设，可得为减函数，。所解不等式中令，则，即解，由为减函数及可知。苏哟哟
11、答案：B
思路：是偶函数，在中可得时，，由对称性可得：时，，所以对于不等式，只需，解得：
12、答案：
思路：虽然有具体解析式，但若代入解析式，则形式过于复杂，所以考虑利用函数性质求解。分析可得以下性质：① 定义域；② 可判定单调递增；③ 可判定为奇函数，从而
进而可得：，解得：
注：本题解题时要注意应在定义域之中，也是本题的易错点
13、答案：A
解析：方法一：当时，，解得：，当时，，解得：，综上可得：
方法二：本题分段函数易于作图，可以考虑作图，所解不等式为位于水平线上方的部分，计算出临界值再利用图像直接写出解集
14、答案：
解析：为奇函数 为奇函数
设 为偶函数，故只需考虑的情况即可
，即
在单调递减
时
有偶函数性质可得：的解集为
15、答案：B
解析：所解不等式没有具体表达式，考虑利用函数性质求解。由可得：，构造函数，可猜得：，进而考虑的单调性。，若要判断的符号，首要解决。条件提供了将放缩为表达式的方式，但仅局限于，而所求并不知其符号，所以考虑解决的情况。由，当时，，，可得或时，均有，从而，可得单调递减。再由可得：的解集为
16、答案：A
思路：这道题条件零散，寻找其中的联系。所求不等式中有，而在所给不等式中存在轮流求导，想到导数的乘除法则。两边同乘（只有的导函数与原函数相同），
单调递增，由此再观察所求不等式便会发现联系，，由单调性可得当时，，即
17、答案：B
通过作图可得：只需，即或
18、答案：
解析：设，即解不等式，因为，所以，设，则为减函数，且
时，，所以
