浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021届高三上学期期中联考 数学 (含答案) 试卷

绝密★考试结束前

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考

高三数学学科试题

考生须知：

1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

如果事件，互斥，那么

如果事件，相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率

台体的体积公式

其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

柱体的体积公式

其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式

其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式

球的体积公式

其中表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1.设全集，，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

3.已知，若（为虚数单位），则的取值范围是（    ）

A.或 B.或

C. D.

4.某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A. B. C. D.

5.函数和的图像不可能是（    ）

A. B.

C. D.

6.已知直线与平面，，，能使的充分条件是（    ）

①， ②，

③， ④，

A.①② B.②③ C.①④ D.②④

7.在数列中，，对任意的，，若，则（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

8已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为其一个公共点，且，，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

9.如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（    ）

A.， B.，

C.， D.，

10.当时，不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A.18 B.17 C.16 D.15

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题分，单空题每题4分，共36分.

11.已知，，则______，______.

12.设，若，则______，______.

13.对于任意实数，直线均与圆有交点，则当取最小值______时，经过直线与圆交点的圆的切线方程为______.

14.在三角形中，角，，对的边分别为，，，且，则角______；若，且的面积为，则______.

15学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则______.

16.已知正实数，，满足，，则的取值范围是______.

17.若平面向量，，，满足，，，，则______.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本小题满分14分）已知.

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若，求的值

19.（本小题满分15分）

如图，已知三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点，为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦.

20.（本小题满分15分）

已知数列的前项和为且满足.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）记，求证：.

21.（本小题满分15分）已知直线：与抛物线交于、两点，是抛物线上异于、的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补.

（Ⅰ）求的值.

（Ⅱ）求面积的取值范围

22.（本小题满分15分）已知函数.

（Ⅰ）试讨论的单调性；

（Ⅱ）若，证明：.

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考

高三数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共4分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.答案：B 2.答案：C 3.答案：A 4.答案：D 5.答案：C

6.答案：D 7.答案：C 8.答案：C 9.答案：A 10.答案：B

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分单空题每题4分，共36分.

11.答案：， 12.答案：5，80 13.答案：，

14.答案：或   15答案：

16.答案： 17.答案：

18.解析：（Ⅰ）

，

当，，函数单调递增，

所以的单调递增区间，.

（Ⅱ）由已知得，所以，

而

.

19.（本小题满分15分）

（Ⅰ）证明：如图，以为原点，，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系，

（有建系意识给一分）

设，则，，，，

所以，，，，

（，，三个点坐标各占一分）

所以，，

因为，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

设平面的法向量，

则得

令，则，，

故平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，则

.

（本题用补体将几何体放在正方体中同样给分）

20.解析：（Ⅰ）由得，

，两式相减得，，

所以，

（Ⅱ）由（Ⅰ），

所以，

所以，

当时，，

又当时，，

所以，

综上可得，

21解析：（Ⅰ），，，则，

，，

因为直线、的倾斜角互补，所以，

即，

又重心的纵坐标为，故，

所以，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线：，与抛物线得，

其判别式，

所以.

而，，

因此，，

又由（1）知，到直线的距离为，

所以

令，，

则恒成立，

故在上单调递减，

故

（注：弦长公式、点到线距离公式、面积公式三者中无论写出哪个只给一分，不累计得分）

22.解析：（1）因为

①当时，，当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减

②当时，，，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在，单调递减；

③当时，，当时，，当时，，

所以在单调递减，在，单调递增.

（Ⅱ）要证明，只需证明，

而，因此只需证明，

当时，，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减，

所以

当时，，

故.