【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题二文（含解析）
展开2021届高三数学入学调研试题（二）文
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约米．因年久风化，顶端剥落米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．设为正方形的中心，在，，，，中任取点，则取到的点共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前天监测到的数据：
第天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
被感染的计算机数量（台） | 12 | 24 | 49 | 95 | 190 |
则下列函数模型中能较好地反映在第天被感染的数量与之间的关系的是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知偶函数在上单调递减，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线的准线与双曲线交于，两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．在体积为的三棱锥中，，，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数，满足，则的最大值为________．
14．已知平面向量，，若，则__________．
15．设函数，若为奇函数，则曲线的图象在点处的切线方程为__________．
16．若数列满足，且，则__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按元/立方米收费，超出立方米的部分按元/立方米收费，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为元/立方米，至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费．
18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）若，求；
（2）求的面积的最大值．
19．（12分）如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
20．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于、两点，求的面积．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
2021届高三入学调研试卷
文 科 数 学（二）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】依题意，，故，故选B．
2．【答案】B
【解析】由，得，所以．
3．【答案】C
【解析】设金字塔风化前的形状如图，∵，∴其底面周长为，
由题意可得，∴，
∴胡夫金字塔现高大约为米，
结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为米，故选C．
4．【答案】A
【解析】五个点任取三个有，，，，，，，，，共种情况，
其中三点共线的情况有，共2种，
故点共线的概率为，故选A．
5．【答案】C
【解析】由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的倍，
故增长速度符合指数型函数增长，故选C．
6．【答案】C
【解析】因为点满足圆的方程，所以在圆上，
又过点的直线与圆相切，且与直线垂直，
所以切点与圆心连线与直线平行，
所以直线的斜率为．
7．【答案】D
【解析】由题可知函数的最小正周期，从而，
又，解得，从而．
由为函数的单调递减区间上的零点可知，，
即，，
又，所以．
8．【答案】B
【解析】∵是偶函数，所以，
∵，，
∴，
∵函数在上单调递减，∴，即．
9．【答案】C
【解析】模拟执行程序框图，可得第次运行，，；第次运行，，；
第次运行，，；；第次运行，，，刚好满足条件，则退出循环，输出的值为．
10．【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，得，
又，所以，即，所以，
又，所以，所以，，
所以，故选A．
11．【答案】D
【解析】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得．
由题意得，所以，所以，故选D．
12．【答案】B
【解析】如图，设球心为，半径为，取中点为，连接，
依据图形的对称性，点必在上，
由题设可知，解之得，
连接，则在中，，解之得，
则，故应选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，
当直线过点时，有最大值，联立，解得，
故的最大值为．
14．【答案】
【解析】依题意，，则，解得，则，
故．
15．【答案】
【解析】函数，
若为奇函数，则，可得，
所以，则，
曲线图象在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，整理得．
16．【答案】
【解析】由题意，
等式两边同时除以，得，
设，则有，
∴，，．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）元．
【解析】（1）由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次为，，，，．
所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占，
依题意，至少定为．
（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：
组号 | ||||||||
分组 | ||||||||
频率 |
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为
（元）．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
由正弦定理，得．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，，，
当且仅当时，的面积有最大值．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵在直三棱柱中，，，
∴平面，
∵平面，∴，
又∵，∴，，
∴平面，
∵平面，∴．
（2）∵，，，∴平面，
∴到平面的距离为，
∵在直三棱柱中，，，
∴，
∴三棱锥的体积．
20．【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）．
【解析】（1）函数定义域为，，
令，得，
故在单调递增；在单调递减．
（2）方程，即为，显然不为方程的解，故原方程等价于，
设，则，
令，得；令，得或，
故在上单调递减，在和上单调递增，
所以，当，，
又因为恒成立，故若方程有唯一解时，，
即实数的取值范围为．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题可知:，解得，，
∴椭圆方程为．
（2）①若直线斜率存在，设其方程为，，，
则有，，
，消去得，
由韦达定理可知，，
由，得，
∴，
即，
即，
若，即，即过定点，即为点，舍去；
若，即，即过定点．
②若斜率不存在，同上述方法可得过定点，
于是可得到为直角三角形，
∴在以为直径的圆上，
∴存在定点，即为圆心，使得为定值为．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）消去参数可得的普通方程为，
由，得，
又因为，，所以的直角坐标方程为．
（2）标准方程为，表示圆心为，半径的圆，
到直线的距离，故，
原点到直线的距离，
所以，
综上，的面积为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，∴，
即求不同区间对应解集，∴的解集为．
（2）由题意，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
∴函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得．
