【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题二理（含解析）
展开2021届高三数学入学调研试题（二）理
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
10．在正三棱锥中，，，为上一点，过点且与平面平行的平面截三棱锥成表面积相等的两部分，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知双曲线，过右顶点作一条渐近线的垂线交另一条渐
近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B． C． D．
12．定义函数，则函数在区内所有零点的和为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知曲线，则曲线在点处的切线方程是 ．
14．某空间几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则该几何体的所有面中最大面的面积为 ．
15．设数列满足，， ．
16．已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，在区间上，，，，，则，，的大小关系是 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在中，是的中点，，，
．
（1）求；
（2）求．
18．（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，求二面角的正弦值．
19．（12分）年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：
方案一：公司每天收取养殖场技术服务费元，对于需要用药的每头猪收取药费元，不需要用药的不收费；
方案二：公司每天收取养殖场技术服务费元，若需要用药的猪不超过头，不另外收费，若需要用药的猪超过头，超过的部分每头猪收费标准为元．
（1）设日收费为(单位：元)，每天需要用药的猪的数量为(单位：头)，试写出两种方案中与的函数关系式；
（2）若该生物医药公司从月日起对甲养殖场提供技术服务，月日该养殖场对其中一个猪舍月份和月份的猪的发病数量(单位：头)进行了统计，得到了如下的列联表：
| 月份 | 月份 | 合计 |
未发病 | |||
发病 | |||
合计 |
根据以上列联表判断是否有的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关．
附：
10．828 |
（3）当地的丙养殖场对过去天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图．依据该统计数据，把频率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，请说明理由．
20．（12分）已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，且两条曲线相交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右顶点的两条直线分别与抛物线相交于点和点，且，设是的中点，是的中点，证明：直线恒过定点．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）证明：恒成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线是过坐标原点且倾斜角为的直线，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且点均异于坐标原点，，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）存在，使得不等式，求实数的取值范围．
2021届高三入学调研试卷
理 科 数 学（二）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由题意知，或，
又，，故选C．
2．【答案】A
【解析】，的共轭复数为，故选A．
3．【答案】B
【解析】由题意，得，
又向量与向量共线，，解得．
4．【答案】D
【解析】，，故选D．
5．【答案】C
【解析】学生在确定选修地理的情况下，从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有：(历史，政治)，(历史，化学)，(历史，生物)，(历史，物理)，(政治，化学)，(政治，物理)，(政治，
生物)，(化学，生物)，(化学，物理)，(生物，物理)，共10种，
其中含有生物的选择方法有:(历史，生物)，(政治，生物)，(化学，生物)，(生物，物理)，共4种，
则所选的两科中一定有生物的概率，故选C．
6．【答案】A
【解析】由，解得，
又，．
7．【答案】A
【解析】由题意可设直线，
因为与圆相切，，，，故选A．
8．【答案】A
【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示．
的几何意义是可行域内的点与点连线所在直线的斜率，
易知，，，，
由图可知，故选A．
9．【答案】B
【解析】由题意及的图象得，，，．
易知，，，
，故选B．
10．【答案】C
【解析】设过点且与平面平行的平面分别交于点，
则被截得的上下两部分的表面积各去掉之后仍相等，
都等于正三棱锥表面积的．
对于正三棱锥，易知其表面积为，
侧面积为，所以三棱锥的侧面积为，
故．
11．【答案】A
【解析】不妨设点在渐近线上，易知直线的方程为，
联立得，解得，
，，即，
化简得，得或，
或，或，故选A．
12．【答案】D
【解析】由函数，得，
故函数的零点即函数和函数图象交点的横坐标．
由函数的解析式知，可将的定义区间分段为，
并且在上的图象是将在上的图象上所有点的横坐标
伸长为原来的倍，纵坐标缩短为原来的后得到的．
作出函数在区间上的图象，再依次作出在区间上的图象，并作出函数的图象，
如图，结合图象可得两图象交点的横坐标是函数的极大值点，
由此可得函数在区间上的零点为，
则函数在区间内所有零点的和为，故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】，∴曲线在点处切线的斜率为，
∴切线的方程为，即．
14．【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，
记为，其中平面，，
设，由题意可得，解得，
故，，
易得，，，
，，
故该几何体中最大面的面积为．
15．【答案】
【解析】∵，，
∴，，，
累加可得，
，，．
16．【答案】
【解析】由题意得，，，
令，则，，
∴是以为周期的函数，故，，
易知均在区间上，
∵在区间上，，，
令，解得，
故当时，；当时，，
在处取得极大值．
又，，且为最大值，
故．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
，
即，，
由正弦定理得，
又，．
（2）设，则，
由余弦定理得，，
，
，．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在上取一点，使得，分别连接，，，．
在长方体中，有，且，
又，，，
所以，
所以四边形和四边形都是平行四边形．
所以且，且，
又在长方体中，有，且，
所以且，则四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以点在平面内．
（2）在长方形中，以为原点，所在直线为轴，的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，，，
所以，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取法向量，
设平面的一个法向量为，
则，取法向量，
所以，
设二面角为，则，
即二面角的正弦值为．
19．【答案】（1）方案一：，方案二：；（2）有的把握认为；（3）选择方案二，详见解析．
【解析】（1）由题意得，方案一中的日收费(单位：元)与需要用药的猪的数量(单位：头)的函数关系式为；
方案二中的日收费(单位：元)与需要用药的猪的数量(单位：头)的函数关系式为：
．
（2）由列联表计算可得，
，所以有的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关．
（3）设方案一中的日收费为，由条形图可得的分布列为：
；
设方案二中的日收费为，由条形图可得的分布列为：
，
，所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二．
20．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵在抛物线上，，解得，
∴抛物线的焦点坐标为，则①，
易知②，
∴由①②可得，∴椭圆的方程为．
（2）设直线，直线，
由，得，
设，，则，
，则，即，同理得，
∴直线的斜率，
则直线的方程为，即，
∵，∴，即，
∴直线的方程为，即直线恒过定点．
21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得，
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，得到，
所以当时，，单调递增；当，，单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）记函数，
则，可知在上单调递增，
由，知，在上有唯一零点，且，
则，即①
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
由①式，知，
所以，
则，所以有恒成立．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，消去参数，
可得的普通方程为，
∵，∴，
曲线的直角坐标方程为．
（2）由（1）得，曲线，其极坐标方程为，
由题意设，，
则，
，，，
，．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】原不等式可化为，
作出函数与的图象如图所示，
当时，，
∵直线与的斜率相等，
∴结合图象可知，原不等式的解集为．
（2）原不等式可化为，
，
，即，
上式可化为，
由（1）得，解得，
故的取值范围为．
