2020年中考数学真题分类汇编12：圆与多边形试卷

2020年中考数学试题分类汇编之十二
圆与多边形
一、 选择题
5.（2020北京）正五边形的外角和为（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
【解析】任意多边形的外角和都为360°，与边数无关，故选B
9．（2020安徽）（4分）已知点，，在上，则下列命题为真命题的是　　
A．若半径平分弦，则四边形是平行四边形
B．若四边形是平行四边形，则
C．若，则弦平分半径
D．若弦平分半径，则半径平分弦
【解答】解：、如图，

若半径平分弦，则四边形不一定是平行四边形；原命题是假命题；
、若四边形是平行四边形，
则，，
，
，
，
，是真命题；
、如图，

若，则弦不平分半径，原命题是假命题；
、如图，

若弦平分半径，则半径不一定平分弦，原命题是假命题；
故选：．
7．（2020广州）如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当时，⊙B与AC的位置关系是（ * ）．

（A） 相离 （B） 相切 （C） 相交 （D）无法确定
【答案】B
8．（2020广州）往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图4所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（ * ）．

（A）8 cm （B）10 cm （C）16 cm （D）20 cm
【答案】C
9.（2020福建）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
9．（2020陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．

5．（2020哈尔滨）（3分）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：为圆的切线，
，即，
，
，
．
故选：．
9．(2020杭州)（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
14.（2020河北）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）

A. 淇淇说的对，且的另一个值是115°
B. 淇淇说的不对，就得65°
C. 嘉嘉求的结果不对，应得50°
D. 两人都不对，应有3个不同值
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
18（2020河北）.正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．


故选：A．
8.(2020苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
解：连接OC
点为的中点

在和中



又
四边形CDOE为正方形



由扇形面积公式得

故选B．

9.（2020乐山）在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积（ ）

A. B. C. D.
解：在Rt△ABC中，∵，
∴AC=2BC=2，
∴，
∵绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴
∴
∴．

故选：B
6．（2020南京）（2分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是　　

A． B． C． D．
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．

故选：．
3.（2020湖北黄冈）如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【详解】∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n=360°÷36°=10．
故选D．
5.（2020无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A. B. C. D.
解：360°÷10＝36°，
故选：A．


6（2020山东青岛）.如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）

A. B. C. D.
解：∵是的直径
∴∠
∵ ∴ ∴∠
∵ ∴∠
∴∠ ∴∠
故选：B．
9.（2020湖北武汉）如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
解：连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如下图所示，

∵D是的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，
∴DO⊥AC，∠DHC=90°，
∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，
∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC，
∴△DHE≌△BCE(AAS)，
∴DH=BC，
又O是AB中点，H是AC中点，
∴HO是△ABC的中位线，
设OH=x，则BC=DH=2x，
∴OD=3x=3，∴x=1，
即BC=2x=2，
Rt△ABC中，．
故选：D．
5.（2020重庆A卷）如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
解：∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
4.（2020重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，A为切点，连接OA,OB，若∠B=35°，
则∠AOB的度数为（ ）
A.65° B.55° C.45° D.35°
答案B.
3．（2020四川南充）（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π
解：由题意可得：点B运动路径的长度为=90×π×2180=π，
故选：A．
9.(2020甘肃定西）如图，是上一点，是直径，，，点在上且平分，则的长为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
6．（2020吉林）（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）

A．54° B．62° C．72° D．82°
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，
故选：C．
6．（2020宁夏）（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．1﹣ B． C．2﹣ D．1+
解：连接CD，如图，
∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，
∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．
故选：A．

6．（2020江苏泰州）（3分）如图，半径为10的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
，，，四边形是矩形，
，，
由矩形易得到，

图中阴影部分的面积扇形的面积，

图中阴影部分的面积，
故选：．

9．（2020四川遂宁）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=2，则图中阴影部分面积为（　　）

A．4-π2 B．2-π2 C．2﹣π D．1-π4
【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，∴OH＝CD=2，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA=2OH＝2，
在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
=12×2×2-45×π×2180
＝2-12π．
故选：B．


7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．75° B．70° C．65° D．60°
解：∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
7．（3分）（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（　　）

A．14° B．28° C．42° D．56°
解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴AC=BC，
∵∠APC＝28°，∴∠BOC＝2∠APC＝56°， 选：D．
6．（3分）（2020•常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．1003π B．2003π C．1005π D．2005π
解：这个圆锥的母线长=102+202=105，
这个圆锥的侧面积=12×2π×10×105=1005π．
故选：C．
8．（2020山西）（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（　　）
A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2
解：如图，连接CD．

∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π（cm2），
选：B．
19．（2020青海）（3分）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　）

A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝， 解得r＝3.6，
即这个圆锥的底面半径是3.6． 故选：A．
9．（2020山东滨州）（3分）在中，直径，弦于点，若，则的长为　　
A．6 B．9 C．12 D．15
解：如图所示：直径，
，
，，
，
．
故选：．
8．（2020四川眉山）（4分）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
解：∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝35°，
∵∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．
故选：C．
13．（2020云南）（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B．1 C． D．
解：设圆椎的底面圆的半径为r，
根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，∴2πr＝，
解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．故选：D．
4．（3分）（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．
6．（2020山东泰安）（4分）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．50°
解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC=12∠BOC＝25°，
故选：B．
8．（2020山东泰安）（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．43 C．833 D．23
选：B．
7．（2020浙江温州）（4分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．3
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，
∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，
∵OB＝1，∴BD=3OB=3，
故选：D．
10．（2020海南）（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（　　）

A．54° B．56° C．64° D．66°
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝36°，
∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．
故选：A．
9．（4分）（2020•株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）

A．4π B．6 C．43 D．83π
解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1=BCA1C=12．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为60×π×42360=83π．
即线段CA扫过的图形的面积为83π．
故选：D．





二、 填空题
13．（2020成都）（4分）如图，，，是上的三个点，，，则的度数为　　．

【解答】解：，，
，，
，，
故答案为：．
23．（2020成都）（4分）如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”， ，，，，，，的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是　　．

【解答】解：的长，
的长， 的长，
的长， 的长，
的长，
曲线的长度，
故答案为．
13.（2020福建）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留）
【答案】
解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°，
∴扇形的面积是：．故答案为：．
15.（2020福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于_______度．

【答案】30
【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得BD=AC，BC=AF， ∴CD=CF，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，

∴∠1=，
∴∠2=180°-120°=60°，
∴∠ABC=30°，
故答案为：30．
12．（2020陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．

【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C＝＝108°，BC＝DC，
所以∠BDC＝＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
18．（2020哈尔滨）（3分）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是　130　度．
【解答】解：设这个扇形的圆心角为，
，解得，，
故答案为：130．
14．(2020杭州)（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC=13，则tan∠BOC＝　22　．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC=BCAC=13，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB=AC2-BC2=(3x)2-x2=22x，
∴OB=12AB=2x，
∴tan∠BOC=BCOB=x2x=22，
故答案为：22．
15（2020河南）.如图，在扇形中，平分交狐于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．

【答案】
【详解】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则

此时点满足最短，
平分



而的长为：
最短为
故答案为：

14.(2020苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．

【详解】解：∵是的切线，∴∠OAC=90°
∵，∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
14．（2020南京）（2分）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．

【解答】解：连接，，过点作于

是正六边形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为．
14.（2020贵阳）如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．

【答案】120
解：连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．


20．（2020贵州黔西南）（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　π4-12　．

【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴DC=12AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM=22．
则扇形FDE的面积是：90π×12360=π4．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
∠DMG=∠DNH∠GDM=∠HDNDM=DN，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN=12．
则阴影部分的面积是：π4-12．
故答案为π4-12．

13.（2020无锡）已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=__________．
解：根据题意可知，圆锥的底面半径r=1cm，高h=，
∴圆锥的母线，
∴S侧=πrl=π×1×2=2π（cm2）．
故答案为：2πcm2．
15（2020长沙）.若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．
解：圆锥的底面周长为：2×π×1＝2π，
侧面积为：×2π×3＝3π．
故答案为：3π．
16.（2020长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F．
(1) ___________________．
(2)若，则___________________．

【答案】 (1). 1 (2). 1
解：(1)如图所示，过E作于G，则，

∵MN为半圆的直径，
∴，
又∵平分，,
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴,
又，
∴，
又∵，
∴，
∴,
又∵，
∴．
∵，，
∴，
∴在中，,
又∵,
∴，
∴将，，代入得，,
∴，
即．
(2)∵，
∴，
又∵，
∴平分，即,
∴，
故答案为：(1) ；(2) ．
14.（2020山东青岛）如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为__________．

解：如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC于点E，F，
则OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90º，
∵∠BAC=120º，∴∠MON=60º，
∵的长为，∴，
∴OM=3，
∵在Rt△AMO和Rt△ANO中，
，
∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)，
∴∠AOM=∠AON=∠MON=30º，
∴AM=OM·tan30º=，
∴，
∵∠MON=60º，
∴∠MOE+∠NOF=120º，
∴，
∴图中阴影面积为
=
=，
故答案为：．

14.（2020重庆A卷）若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.
【答案】六
16.（2020重庆A卷）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留）

【答案】
解：由图可知，
，，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴，
∵点O是AC的中点，∴OA=，
∴,
∴，
故答案为：．
18．（2020上海）（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　103＜AO＜203　．
【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，
则OE⊥AD，
∴OE∥CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴OECD=AOAC，∴AO10=26，∴AO=103，
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，
则OF⊥BC，∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，∴OCAC=OFAB，
∴OC10=26，∴OC=103，∴AO=203，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203，
故答案为：103＜AO＜203．


16.（2020重庆B卷）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，AB=23，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）




解析：如图，菱形面积的二分之一减去两个60°扇形的面积.答案：33-π.






14．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为　33　．

解：连接OA，作OD⊥AB于点D．
在直角△OAD中，OA＝2，∠OAD=12∠BAC＝30°，
则AD＝OA•cos30°=3．
则AB＝2AD＝23，
则扇形的弧长是：60⋅π×23180=233π，
设底面圆的半径是r，则2π×r=233π，
解得：r=33．
故答案为：33．

16．（2020四川南充）（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝　103　．

【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，
∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵tanD=CECD=3，∴设CE＝3x，CD＝x，∴DE=10x，
∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，∴△ACE∽△DCB，
∴ACBC=CECD=AEBD=3，
∵AE＝2，∴BD=23
∴BE＝DE﹣BD=10x-23，
∵AE2+BE2＝AB2，∴22+（10x-23）2＝（10x）2，
∴x=103，∴AB＝DE=103，
故答案为：103．
17. (2020甘肃定西）若一个扇形的圆心角为60°，面积为，则这个扇形的弧长为_________（结果保留）.
答案：
14．（2020吉林）（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为　　（结果保留π）．

解：在△ABD与△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB， ∴BD⊥AC，且AO＝CO，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°， ∴BD＝2CD＝2，
在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°， ∴OD＝CD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，
∴的长为：＝，
故答案为．
11．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　　．

】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB， ∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°， ∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝，
故答案为：．
16．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝r，②若△AOC为正三角形，则CD＝r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为　②③④　．
解：①∵∠AOC＝120°，∴∠CAO＝∠ACO＝30°，
∵CD和圆O相切，AD⊥CD，∴∠OCD＝90°，AD∥CO，
∴∠ACD＝60°，∠CAD＝30°，∴CD＝AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
则CE＝AE＝AC＝CD，而OE＝OC＝r，∠OCA≠∠COE，∴CE≠OE，
∴CD≠r，故①错误；

②若△AOC为正三角形，
∠AOC＝∠OAC＝60°，AC＝OC＝OA＝r，
∴∠OAE＝30°，∴OE＝AO，AE＝AO＝r，
过点A作AE⊥OC，垂足为E，
∴四边形AECD为矩形，∴CD＝AE＝r，故②正确；

③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，
∴AD＝CD，而∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，又∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°∴∠DAO＝90°，
∴四边形AOCD为矩形，∴CD＝AO＝r，故③正确；


④过点C作CE⊥AO，垂足为E，
∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO，
∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠CAD＝∠CAO，∴CD＝CE，
在△ADC和△AEC中，
∠D＝∠AEC，CD＝CE，AC＝AC，
∴△ADC≌△AEC（HL）， ∴AD＝AE，
∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，
即点D一定落在直径 上，故④正确．
故正确的序号为：②③④，
故答案为：②③④．
12．（2020宁夏）（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是　26　寸．
解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，
设半径OA＝OE＝r，
∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，
则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解得：r＝13， ∴木材直径为26寸；
故答案为：26．
5．（2020黑龙江牡丹江）（3分）是的弦，，垂足为，连接．若中有一个角是，，则弦的长为　12或4　．
【解答】解：，
，
若，
则，
，
；

若，
则，
，
．

故答案为：12或4．
16．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，是的外接圆的直径，若，则　50　．

【解答】解：连接，如图，
为的外接圆的直径，
，
，
．
故答案为50．

17．（2020黑龙江龙东）（3分）小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　10　．
解：，
，解得，
设圆锥的底面半径为，，．
故答案为：10．
14．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，，，
，，
，
，
，
．
故选：．
14．（2020江苏连云港）（3分）用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　5　．
解：设这个圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，解得．
故答案为：5．
15．（2020江苏连云港）（3分）如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角　48　．

【解答】解：延长交的延长线于，设交于、交于，如图所示：
六边形是正六边形，六边形的内角和，
，，
，
五边形是正五边形，五边形的内角和，
，
，，
，
，
故答案为：48．

14．（2020江苏泰州）（3分）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为　或　．

【解答】解：直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：

；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：

；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．
13．（2020四川遂宁）（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为　36　度．
15．(2020山东枣庄)（4分）如图，是的直径，切于点，线段交于点．连接，若，则　　．

【解答】解：切于点，，
，，．
故答案为：．
16．（2020湖南岳阳）（4分）（2020•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是　②⑤　．（写出所有正确结论的序号）
①PB＝PD；②BC的长为43π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF•CP为定值．

【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH＝30°，
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD＝90°，
∴∠H＝60°，
∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，
∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，
∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，
若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，
∴∠ABP＝15°，
∴P点为AM的中点，这与P为AM上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，
故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC=13×180°=60°，
∵直径AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∴BC的长度=60π×4180=43π，
故②正确；

③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，
∵BE⊥OC，∴∠OBE＝∠CBE＝30°，
∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝60°，
故③错误；
④∵M、N是AB的三等分点，∴∠BPC＝30°，
∵∠CBF＝30°，但∠BFP＝∠FCB，
∠PBF＜∠BFC，∴△BCF∽△PFB不成立，
故④错误；
⑤∵△BCF∽△PCB，∴CBCP=CFCB，
∴CF•CP＝CB2，
∵CB=OB=OC=12AB=4，∴CF•CP＝16，
故⑤正确．
故答案为：②⑤．
17．（3分）（2020•玉林）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是　3π　．

解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC＝30°，∠B＝∠BCD＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝90°，
∵CD＝3，∴AD＝2CD＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形ADEF+S扇形DAD′﹣S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S四边形ADEF＝S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积＝S扇形DAD′=30⋅π×62360=3π，
故答案为：3π．
14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于　15π　．

【解答】解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，
∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π． 故答案为：15π．
16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为　10　．

【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数=360°36°=10， 故答案为：10．
16．（2020贵州遵义）（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是　41-52　．

【解答】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC=522， ∴OA=522，OF＝BF=52，
∴DF＝BD﹣BF=32， ∴OG=32，GD=52，
在Rt△AGO中，AG=OA2-OG2=412，
∴AD＝AG+GD=41+52，
∴AD×DE＝BD×CD，
DE=4×141+52=41-52．
故答案为：41-52．

15．（3分）（2020•荆门）如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为AB上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为　23π-32　．

【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D，∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，∴OD=32OC=3，CD=12OC＝1，
∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
=60⋅π×22360-12×2×2×32+12×3×1 =23π-32．
故答案为23π-32．
14．（3分）（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为　1260°　．
解：正n边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得360°n=40°，解得n＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
12. （2020东莞）若正边形的一个外角等于36°，则_________.
答案：10
14（2020东莞）.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是_________.

答案：110°
17．（2020四川自贡）（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　239　．

【解答】解：连接OG，

∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC， ∴DODF=OGFC，
设OG＝OF＝x，则4-x4=x2，
解得：x=43，即⊙O的半径是43．
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH=32OQ=233，S扇形OGQ＝S扇形OQF，
∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）+（S扇形OQF﹣S△OFQ）
＝S矩形OGCH-32S△OFQ=43×233-32（12×43×233）=239．
故答案为：239．
9．（2020青海）（2分）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　1或7　cm．
解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝3，
在Rt△OAE中，OE＝＝3，
在Rt△OCF中，OF＝＝4，
当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE＝4+3＝7；
当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1；
综上所述，AB与CD之间的距离为1或7cm．
故答案为1或7．

10．（2020青海）（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　1　．

解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
可得矩形EOFC，根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB， ∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
16．（2020山东滨州）（5分）如图，是正方形的内切圆，切点分别为、、、，与相交于点，则的值为　　．

解：是正方形的内切圆，
，；
根据圆周角的性质可得：．
，．
18．（2020四川眉山）（4分）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为　2　．

解：连接OB，如图，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PB＝PA＝6，OB⊥PC，OA⊥PA，∴∠CAP＝∠CBO＝90°，
在Rt△APC中，PC＝＝10，∴BC＝PC﹣PB＝4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，
在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，
∴OA＝3，OC＝5，
在Rt△OPA中，OP＝＝3，
∵CD⊥PO，∴∠CDO＝90°，
∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠PAO，
∴△COD∽△POA，
∴CD：PA＝OC：OP，即CD：6＝5：3，
∴CD＝2．
16．（2020山东泰安）（4分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是　643π﹣83　．

解：连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝8，∴⊙O的半径为8，
∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，
∵DC⊥BE于点C，
∴CD=32OD＝43，OC=12OD=4，
∴BC＝8+4＝12，
S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD
=12×8×43+2×60π×82360-12×12×43
=64π3-83
故答案为64π3-83．
14．（2020浙江宁波）（5分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为　18π　cm（结果保留π）．

解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴AB的长=120⋅π×27180=18π（cm），
15．（2020浙江宁波）（5分）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　23　．

解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC=2OB＝22，
∴AC=OA2+OC2=22+(22)2=23；
②当△OAC是直角三角形时，①∠OAC＝90°，此时，点A，B重合（不合题意舍去），
故答案为：23．

13．（2020浙江温州）（5分）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　34π　．
解：根据弧长公式：l=45⋅π×3180=34π，
14．（2020海南）（4分）正六边形的一个外角等于　60　度．
15．（4分）（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝　80　度．

【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：
∠AOB＝360°÷9＝40°，
∴∠MON＝2∠AOB＝80°．
故答案为：80．
18．（4分）（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为　42　尺．（结果用最简根式表示）

【解答】解：如图，

∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，
由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，
∴CD＝CE⋅cos∠ECD=2×22=2，
∴∠ECD＝45°，
∴正方形CDEF周长为42尺．
故答案为：42．







三、 解答题
23.（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长.

【解析】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°
∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF.
（2） 设半径为，在Rt△OCD中，，∴，∴.
∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴OF∥BD
∴，∴OE=4，
∵，∴，∴
20．（2020安徽）（10分）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点．是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：平分．

【解答】（1）证明：是半圆的直径，
，
在与中，，
；
（2）解：，由（1）知，
，
是半圆所在圆的切线，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，，
，
平分．
20．（2020成都）（10分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．

【解答】解：（1）如图，连接，

与边相切于点，
，即，
，，，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2），
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故的半径为；
（3）连接，，

由（1）可知：，
，，
又，，
，
，
，
，
，
点是中点，，
，
，
，
，
，
．
24．（2020广州）（本小题满分14分）
如图11，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【详解过程】（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
∴在⊙O中，弧AC=弧BC
∴∠ADC=∠BDC=60°。
∴DC是∠ADB的平分线
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数。解析式如下：

延长DA到H ,使HA＝DB.连接CH
∴∠HAC=∠DBC(圆内接四边形的外角等于它的内对角)
在△HAC和△DBC中，
∴△HAC≌△DBC(SAS)
∴HC=DC,
∵∠ADC=∠BDC=60°
∴△HDC是等边三角形，
∴
+==.(）
（2） 作点D关于AC、BC的对称点E,F，连接DM,EM,
DN,FN，FC,EC,DE,DF.
∴DM=EM,DN=FN
则有△DMN的周长＝DM+DN+MN=EM+FN+MN≥EF.
∵由对称知识得：DC=FC=EC,
∠DCA=∠ECA,∠DCB=∠FCB.
∴∠FCE=∠FCB+∠DCB+∠ACD+∠ECA=2∠ACD=120°。
∴EF=EC=DC
即△DMN的周长有最小值t＝DC
当DC为直径时，t取得最大值，即t＝DC＝×4＝4。
所以t的最大值是4。
21.（2020福建）如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，．

（1）求的大小；
（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．
解：(1)连接，

∵与相切于点，
∴，
∵，∴，
∴，则．
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
．
故答案为：．
(2)连接，

由(1)得，，
∵，，∴，
∴，∴．
在与中，
∴，
∴．
又点在上，故与相切．
23．（2020陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴AD∥EC
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∴sin∠ADB＝，
∴AD＝＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝，
∴EF＝AF＝12，
∴CE＝CF+EF＝12+4．
25．（2020陕西）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，＝2，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；
（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝＝50，由S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，求PF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，
在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4＝CF+CF，
解得：CF＝6﹣2；
（3）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，
∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，
∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，
∴×50×PF＝×40×30，
解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．


26．（2020哈尔滨）（10分）已知：是的外接圆，为的直径，，垂足为，连接，延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作交于点，点为的中点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积为，求线段的长．
【解答】证明：（1）为的直径，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，

是直径，
，
点是中点，
，
又，
，，
，
，
，
又，，
，
；
（3）如图3，过点作，交于，

设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，，，
，
如图3，连接，过点作，交的延长线于，

由（2）可知：，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
，
，
，，
，
．
23．(2020杭州)（12分）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，
∴∠AOE＝60°，OE=12OA=12，AE＝EB=3OE=32，
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∵OF＝FC，∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，
∴EF=12AB=32．
（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴FHBC=OFOC=12，同理OEBC=12，
∴FH＝OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF是平行四边形，
∴PE＝PF．
②∵OE∥FG∥BC，
∴EGGB=OFFC=1，∴EG＝GB，
∴EF＝FB，∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．


21．(2020天津)在中，弦与直径相交于点，．

图① 图②
（I）如图①，若，求和的大小；
（II）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
解：（I）是的一个外角，，，

在中，，
．
为的直径，

在中，，
又
．

（II）如图，连接



在中，，
．
是的切线，
，即．




22.（2020河北）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．

（1）①求证：；
②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．
【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2）与小半圆相切，．
【详解】（1）①在△AOE和△POC中，
∴△AOE≌△POC；
②∠2=∠C+∠1，理由如下：
由（1）得△AOE≌△POC，
∴∠1=∠OPC，
根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，
∴∠2=∠C+∠1；
（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，
∴当最大时，可知此时与小半圆相切，
由此可得CP⊥OP，
又∵，
∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，
∴∠EOD=180°-∠POC=120°，
∴S扇EOD==．

20（2020河南）.我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具--------三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线 上，且的长度与半圆的半径相等；与重直点 足够长．
使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，
求证：

【答案】在上，过点， 为半圆的切线，切点为；EB，EO为∠MEN的三等分线．证明见解析．
【解析】
【分析】
如图，连接OF．则∠OFE=90°，只要证明，，即可解决问题；
【详解】已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点， 在上，过点，为半圆的切线，切点为．
求证： EB，EO为∠MEN的三等分线．
．

证明：如图，连接OF．则∠OFE=90°，
∵EB⊥AC，EB与半圆相切于点B，
∴∠ABE=∠OBE=90°，
∵BA=BO．EB=EB，

∴∠AEB=∠BEO，
∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，
∴，
∴∠OEB=∠OEF，
∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，
∴EB，EO为∠MEN的三等分线．
故答案为：在上，过点，为半圆的切线，切点为．
EB，EO为∠MEN的三等分线．
21. （2020江西）已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为.
（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）.

【解析】（1）如图1，连接OA，OB.
∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=80°
∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°

（2）如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形.连接OA，OB.
由（1）可知∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°.
∴∠ACB=60°=∠APB.
∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心.
∵PA，PB为⊙O的切线，∴四边形APBC为轴对称图形.
∴PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB.
∵∠APB=∠ACB=60°，∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°
∴PA=PB=CA=CB.∴四边形APBC为菱形

（3）∵⊙O的半径为r，∴OA=r，OP=2r
∴，，∴∠AOP=60°，∴
∴
27.(2020苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．

（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）8cm；（2）存在，当t=4时，线段OB的长度最大，最大为；（3）
【详解】解：（1）由题可得：，．
∴．
（2）当时，线段的长度最大．
如图，过作，垂足为，则．
∵平分，
∴，
∴，．
设线段的长为，
则，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴．
∴当时，线段的长度最大，最大为．
（3）∵，
∴是圆的直径．
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
∴

．
在中，．
∴四边形的面积



．
∴四边形的面积为．

24.（2020乐山）如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且．
（1）求证：点平分；
（2）如图2所示，延长至点，使，连结． 若点是线段的中点．求证：是⊙的切线．

证明：（1）连接、，如图3所示，

图3
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，即点是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即点平分 ；
（2）如图4所示，连接、，

图4
∵点是线段中点，，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴是⊙的切线．
24．（2020南京）（8分）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．

【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；


（2）连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
22.（2020四川绵阳）（本题满分12分）
如图，△ABC内接于,点D在外，∠ADC=90°，BD交于点E,交AC于点F，∠EAC=∠DCE,∠CEB=∠DCA,CD=6,AD=8.
（1）求证：AB∥CD.
（2）求证：CD是的切线。
（3）求tan∠ACB的值。

【解析】本题考查圆的有关性质和切线的判定。
（1） 证明：∵在中，∠CEB=∠CAB
又∵∠CEB=∠DCA。
∴∠DCA=∠CAB
∴AB∥CD.
(2) 作直径CH，交AB于点G.连接AH,则∠AHC+∠ACH=90°。
∵∠EAC=∠DCE，∠EAC=∠EBC
∴∠DCE=∠EBB
∵∠ABE=∠ACE
∵∠ABE+∠EBC=∠ACE+∠DCE
即∠ABC=∠ACD
∵∠AHC=∠ABC
∴∠AHC=∠ACD
∴∠ACD+∠ACG=90°
即∠DCH=90°。
∴CD是的切线。
(3))∵∠DCH=90°,AB∥CD,∠ADC=90°
∴∠AGC=90°，∠GAD=90°
∴四边形AGCD是矩形
∴AG=DC=6,CG=AD=8. AC=10
∵CH是直径
∴AG=GB=6,AB=12.
在RT△ABD中，BD==.
∵CD是的切线,CD=6,
∴,即：,
∴DE=,
BE=BD-DE=-=.
过A作AM⊥BD于M.
由射影定理得：DM=,BM=BD-DM=-=,AM=.
∴ME=MD-DE=-=.
∴在RT△AME中，tan∠AEM===.
∵∠ACB=∠AEB
∴tan∠ACB=tan∠AEM=.
23.（2020贵阳）如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．

（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）在中，∵与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴．
∴．

（2）∵是的切线，是的直径，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∵
∴，
∴，．
在中，∵，，
∴，即．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∵，且，
∴，
∴，即．
∵与都是所对的圆周角，
∴．
在中，，
∴，即．
25．（2020贵州黔西南）（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

【分析】（1）连接OD、DB，由已知可知DE垂直平分OB，则DB＝DO，再由圆的半径相等，可得DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，则∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，按照切线的判定定理可得结论；
（2）连接OP，先由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用两组边成比例，夹角相等来证明△OEP∽△OPC，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案．
【解答】解：（1）连接OD、DB，

∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，
∴DE垂直平分OB，
∴DB＝DO．
∵在⊙O中，DO＝OB，
∴DB＝DO＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO＝∠DBO＝60°，
∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD＝∠BDC=12∠DBO．
∵∠DBO＝60°，
∴∠CDB＝30°．
∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）答：这个确定的值是12．
连接OP，如图：

由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．
∴OEOP=OPOC=12，
又∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴PEPC=OPOC=12．
21（2020湖北黄冈）.已知：如图，AB是的直径，点为上一点，点D是上一点，连接并延长至点C，使与AE交于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若平分，求证：．
证明：（1）为直径，
，
在中，，
又，
，
，即,
，
又为的直径，
是的切线；
（2）平分，
，
又，
，
又，
，
，
．
25（2020无锡）.如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．

（1）求证：；
（2）求的周长．
证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
21.（2020长沙）如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若，求半径．

解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC+∠OCD=180°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC为的切线；

（2）连接BC，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，，
∴，
∴∠DAC=30°，
∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=，
∴的半径为2.

25（2020长沙）.如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．
（1）求的度数；
（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．

解：（1）如图，过O作OH⊥AB于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，

∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，
∴，
∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，
∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴运动路径长为；
（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，

∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，
∴，
∵，，
∴OH=2，
设，，由题可知，，
∴，，
∴

∵，
∴，即，
解得，
∴，即，
由于，∴，
又∵，
∴，
同理当点C靠近B点时，可知，
综上所述，或．
20．（2020齐齐哈尔）（（8分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC=CD=DB，
∴∠BOD=13×180°＝60°，
∵CD=DB，
∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD=12AB＝3，
∴AD=62-32=33．

21.（2020湖北武汉）如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为．

（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
解：（1）如图，连接OD
由圆的切线的性质得：



又


则平分；
（2）如图，连接BD
由圆周角定理得：





在和中，


设，则，且
在和中，

，即
解得或（不符题意，舍去）
经检验，是所列分式方程的解

则在中，
故值为．

25．（2020上海）（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

【解答】（1）证明：连接OA．

∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则AEBC=ADDC=23，
∴AOOH=EBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2=2556，
∴BH=524，
∴BC＝2BH=522．
22．（2020新疆生产建设兵团）（11分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若AC＝5，sin∠APC=513，求AP的长．

（1）证明：∵P是BC的中点，
∴PC=PB，∴∠PAD＝∠PAB，
∵OA＝OP，∴∠APO＝∠PAO，
∴∠DAP＝∠APO，∴AD∥OP，
∵PD⊥AD，∴PD⊥OP，
∴DP是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OP于E，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵P是BC的中点，
∴OP⊥BC，CE＝BE，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CD＝PE，PD＝CE，
∵∠APC＝∠B，
∴sin∠APC＝sin∠APC=ACAB=513，
∵AC＝5，
∴AB＝13，
∴BC＝12，
∴PD＝CE＝BE＝6，
∵OE=12AC=52，OP=132，
∴CD＝PE=132-52=4，
∴AD＝9，
∴AP=AD2+PD2=92+62=313．

22．（2020四川南充）（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．

（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝42，
∴OF=OD2+DF2=6，
∵OD∥AE，∴ODAE=OFAF=DFEF，
∴2AE=68=42ED+42，∴AE=83，ED=423，
∴tan∠EAD=DEAE=22．

26.(2020甘肃定西）如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且.

（1）求的度数；
（2）若，求的半径.
解：（1）如图，连接.
∵是的切线，∴.
又∵，
∴.
∵，∴，
∴.
又∵在中，，
∴.∴.
∴.
∴.
（2）设的半径为，
在中，∵，∴.
∴.∴，
∴.
∴的半径是2.

24．（2020辽宁抚顺）（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（AAS），∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，
∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF＝＝＝，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．

23．（2020内蒙古呼和浩特）（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．

解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，∠AOE＝360°÷5＝72°，
∴∠ABE＝∠AOE＝36°，同理∠BAC＝×72°＝36°，
∴AM＝BM， ∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝72°， ∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，
∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴，而AB＝BN， ∴，
设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，
∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴，即，则y2＝x2﹣xy，
两边同时除以x2，得：，设＝t，
则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），
∴＝；
（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，
而AO⊥BE，
∴sin18°＝sin∠MAH＝
＝
＝．

23．（2020宁夏）（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接DE，若∠A＝30°，求．

（1）证明：连接OE，如图1所示：
∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE，
又∵OE＝OC， ∴∠ACE＝∠OEC，
∴∠BCE＝∠OEC， ∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠B，
又∵∠B＝90°， ∴∠AEO＝90°，
即OE⊥AE，
∵OE为⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，如图2所示：
∵CD是⊙O的直径， ∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠B，
又∵∠DCE＝∠ECB， ∴△DCE∽△ECB，
∴＝，
∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠ACB＝60°，

∴∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，
∴＝cos∠DCE＝cos30°＝，
∴＝．


25．（2020江苏连云港）（12分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
（参考数据：，，

【解答】解：（1）如图1中，连接．

由题意，筒车每秒旋转，
在中，．
，
（秒．
答：经过27.4秒时间，盛水筒首次到达最高点．
（2）如图2中，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时，

，
过点作于，
在中，，
，
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面．
（3）如图3中，

点在上，且与相切，
当点在上时，此时点是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
答：盛水筒从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线上．
27．（2020江苏连云港）（12分）（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　12　；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．

【解答】解：（1）如图1中，

过点作于，交于．
四边形是矩形，，
四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
故答案为12．

（2）如图2中，连接，，

在中，点是的中点，
可设，同理，，，，
，，
，
，
．

（3）如图3中，由题意四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
．

（4）如图中，结论：．
理由：设线段，线段，弧围成的封闭图形的面积为，线段，线段，弧的封闭图形的面积为．
由题意：，
，
，
．
同法可证：图中，有结论：．
图中和图中，有结论：．

24．（2020江苏泰州）（10分）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．

【解答】（1）证明：，，
点为的中点，，，
，，
，，，
，，
为的中点；
（2）解：连接，，，，

的度数为，，
，，
由（1）同理得：，
，是的中位线，
．
24．（2020四川遂宁）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：EF=ED．
（3）若sin∠ABC═35，AC＝15，求四边形CHQE的面积．

【解答】（1）证明：连接OE，OP，
∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，∴EF=ED．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC═sin∠ACG═AGAC=35，
∵AC＝15，∴AG＝9，
∴CG=AC2-AG2=12，
∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15，∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ=152，
∴CH＝HQ=152，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ=152×6＝45．

23．(2020山东枣庄)（8分）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为4，，求．
【解答】（1）证明：连接，
是的直径，，．
，．
，
即
是的直径，直线是的切线；
（2）解：过作于，
，的直径为4，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
．
25．（2020广西南宁）（10分）如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF＝，求的值．

解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠DAE＝∠ACE，∴∠DAC+∠DAE＝90°，
即∠CAE＝90°，∴AP是⊙O的切线；
（2）连接DB，如图1，∵PA和PB都是切线，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，
∵PD＝PD， ∴△DPA≌△DPB（SAS），
∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠ABD，
又∠DAE＝∠ACE， ∴∠DAF＝∠DAF，
∵AC是直径， ∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠AFD＝90°， ∴△FAD∽△DAE；

（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，
∴△AOF∽△POA，∴，
∴，
∴PA＝2AO＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，
∴△AFD∽△CAE，∴， ∴，
∵，
不妨设OF＝x，则AF＝2x，
∴，
∴，
∴，
∴．

23．（8分）（2020•玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示：
∵CD⊥AB，∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，∴∠DBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OF⊥EF，∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AF，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，∴OD＝DA=12OA=14AB=14×4＝1，
∴BD＝3OD＝3，
∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BC=BD2+CD2=32+42=5，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，∴BFBD=ABBC，
∴BF=AB⋅BDBC=4×35=125，
∴CF＝BC﹣BF＝5-125=135．

24．（8分）（2020•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．

【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，
∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，
∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，
∴AC=AB2-BC2=100-64=6，
∵cos∠ABC=BDBF=BCAB，
∴810=4BF，∴BF＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF，
∴ECOA=CFAC，∴EC=OA⋅CFAC=5×36=52．

20．（2020贵州遵义）（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

【解答】解：（1）连接OD，如图：

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝23．
22．（10分）（2020•荆门）如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．
（1）求证：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD=245，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴AP⊥AC，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∴∠AMD+∠AEB＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠CAB，
∴∠AMD＝∠PAB，
∴AB＝BM．
（2）连接BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵∠CAB+∠PAB＝90°
∴∠C＝∠PAB，
∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，
∴∠AMD＝∠D＝∠C，
∴AM＝AD=245，
∵AB＝3，AB＝BM＝BE，
∴EM＝6，
∴由勾股定理可知：AE=EM2-AM2=185，
∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，
∴△MAE∽△CBA，
∴MECA=AEAB，
∴6CA=1853，
∴CA＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
22．（9分）（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AD＝23，求AM的长（结果保留π）．

【解答】（1）证明：连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，
∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝30°+60°＝90°，
∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝23，
过O作OH⊥AM于H，
则四边形OBCH是矩形，
∴OH＝BC＝23，
∴OA=OHsin60°=4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，
∴AM的长度=60⋅π×4180=4π3．
18．（2020山西）（7分）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．

解：连接OB，如图，
∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E＝∠AOB＝22.5°．


23.（2020东莞）如图，，与相交于点、，与相切于点，已知.

（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
（1）证明：过点作，交于点，
∴，，
∵，，
∴
∴，
即.
又∵，，
∴.

（2）解：连，设半径，
∵与相切于点，
∴，
又∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，，
即，
∴. 即的半径为5.
25．（2020四川自贡）（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC=2AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：AF=CF；
（2）若tan∠ABC＝22，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．

（1）证明：连接OC．∵PC＝PA，OC＝OA，
∴OP垂直平分线段AC，∴AF=CF．

（2）证明：设BC＝a，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC=ACBC=22，
∴AC＝22a，AB=BC2+AC2=a2+(22a)2=3a，
∴OC＝OA＝OB=3a2，CD＝AD=2a，
∵PA＝PC=2AB，∴PA＝PC＝32a，
∵∠PDC＝90°，∴PD=PC2-CD2=18a2-2a2=4a，
∵DC＝DA，AO＝OB，∴OD=12BC=12a，
∴AD2＝PD•OD，∴ADPD=ODAD，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°，∴△ADP∽△ODA，∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°，∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴∠PAO＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．
（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵BC＝2，
由（1）可知，PA＝62，AB＝6，
∵∠PAB＝90°，
∴PB=PA2+AB2=72+36=63，
∵PA2＝PE•PB，∴PE=7263=43，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDKB是矩形，∴CD＝BK＝22，BC＝DK＝2，
∵PD＝8，∴PK＝10，
∵EJ∥BK，∴PEPB=EJBK=PJPK，
∴4363=EJ22=PJ10，∴EJ=423，PJ=203，
∴DJ＝PD﹣PJ＝8-203=43，
∴DE=EJ2+DJ2=(423)2+(43)2=433．

25．（2020青海）（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．

（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD．
∵AD∥CO， ∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD．
∴∠COD＝∠COB．
∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC＝∠OBC．
∵CB是圆O的切线且OB为半径，
∴∠CBO＝90°．
∴∠CDO＝90°．
∴OD⊥CD． 又∵CD经过半径OD的外端点D，
∴CD为圆O的切线．
（2）解：连接BD，
∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°．
在直角△ADB中，BD＝＝＝8，
∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，
∴△ADB∽△OBC．
∴＝，即＝．
∴BC＝12．
25．（2020山东滨州）（13分）如图，是的直径，和是它的两条切线，过上一点作直线，分别交、于点、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：．

【解答】解：（1）连接，，如图1，
在和中，
，
，
，
是的切线，
，
，
直线是的切线；


（2）过作于点，如图2，则，
、都是的切线，
，
四边形是矩形，
，，
是的切线，
，，
，
，
，
即，
．
20．（2020云南）（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．

（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB， ∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC，
∵AD⊥DE， ∴OC⊥DE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB， ∴＝，
∵cos∠CAB＝＝，
∴设AC＝4x，AB＝5x，∴＝，
∴x＝， ∴AB＝．

21．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是　④　；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．

【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，

∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴12AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝43，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE=23，
∴r=DEsin60°=2332=4，
∴⊙O的半径为4．
23．（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．

【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵CA＝CD，且∠D＝30°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠ACO＝30°，
∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴∠CBG＝60°，
又∵CG⊥AD，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，
又∵∠GCD＝60°，
∴CB是∠GCD的角平分线，
∵BF⊥CD，BG⊥CG，
∴BF＝BG，
又∵BC＝BC，
∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），
∴CF＝CG．
∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，
∴∠EAD＝60°，
又∵∠CAD＝30°，
∴AC是∠EAG的角平分线，
∵CE⊥AE，CG⊥AB，
∴CE＝CG，
∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，
∴△AEC∽△CFB，
∴AECF=CEBF，即AE•BF＝CF•CE，
又CE＝CG，CF＝CG，
∴AE•BF＝CG2．

24．（2020浙江宁波）（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．

【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A=12α，
（2）如图1，延长BC到点T，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AD=BD，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC=12∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，∴AEAC=AGCD，
∵在Rt△ABG中，AG=22AB=42，
在Rt△ADE中，AE=2AD，
∴ADAC=45，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x=53，
∴ED＝AD=203，∴CE＝CD+DE=353，
∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，
∴DM＝DE﹣EM=56，
∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM=56，
∴S△DEF=12DE•FM=259．


22．（2020浙江温州）（10分）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=25，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴AC=AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC=BD，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，

∵AC=AD，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，
∵tan∠1=25，∴EB＝DE•tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，∴tan∠2=25，
∴AE=DEtan∠2=252，
∴AB＝AE+EB=292，∴⊙O的半径为294．

24．（2020•株洲）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．

（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=53，若⊙O的半径为1，cosα=34，求AG•ED的值．
【解答】（1）证明：连接OC，如图①，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠BCM＝∠A，
∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，
∴AB＝2，
∵cos∠BAC=cosα=ACAB=34，即AC2=34，
∴AC=32，
∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，
∴∠GFH＝∠ACE，
∵DH⊥MN，
∴∠GFH+∠AGC＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠AGC，
又∵∠DEC＝∠CAG，
∴△EDC∽△ACG，
∴EDAC=ECAG，
∴AG⋅DE=AC⋅CE=32×53=52．