【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题23 正弦定理和余弦定理的应用（含解析）
展开考点23 正弦定理和余弦定理的应用
1．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
2．如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为( )
A． B． C． D．
3．（吉林省长春市2019年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（ ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)
A．步 B．步 C．步 D．步
4．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
5．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考）已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为
A． B． C． D．
6．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是__________．
8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．
9．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离______.
10．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）在锐角中，内角所对的边分别是，，，则__________．的取值范围是__________．
11．（河北省衡水市2019届高三四月大联考理）中，，，点在边上，且.
（1）求的长；
（2）若于，求.
12．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）在平面四边形中，已知，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长．
13．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试）如图平面四边形的对角线的交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为__________．
14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考）如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，为正三角形，则面积的最大值为___．
15．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试理）如图：在中，，，.
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
16．（河南省洛阳市2019届5月质量检测）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
17．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）江心洲有一块如图所示的江边，，为岸边，岸边形成角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边上取两点，用长度为的围网依托岸边线围成三角形（，两边为围网）；方案2：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.请分别计算，面积的最大值，并比较哪个方案好.
18．（广东省深圳市高级中学2019届高三6月适应性考试）工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（在同一水平面内），求之间的距离.
19．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测）在中，，，为的内角平分线，.
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求角的大小
20．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试）已知中，，，.
（1）求的面积；
（2）求边上的中线的长.
21．（河南省开封市2019届高三第三次模拟理）在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.
（I）求角；
（Ⅱ）若，，，求的长，
22．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试）如图所示，在中，，是边上一点，，，.
（1）求的面积；
（2）求的长.
23．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.
（1）若，求角的值；
（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.
24．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模）如图，在四边形中，，连接.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积最大值.
考点23 正弦定理和余弦定理的应用
1．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】
因为、、依次成等差数列，
所以
由余弦定理可得：
将代入上式整理得：
所以，又
可得：为等边三角形
故选：A．
2．如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，
则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
则有，变形可得BC，
在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，
则AB＝3；
故选：C．
3．（吉林省长春市2019年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（ ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)
A．步 B．步 C．步 D．步
【答案】A
【解析】
因为，所以，所以；
又，所以，所以；
又，所以，
即，所以步，
又，所以步.
故选A．
4．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】
因为在三角形中，变形为
由内角和定理可得
化简可得：
所以
所以三角形为钝角三角形
故选A．
5．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考）已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：
因为：，所以，
在三角形ADC中，，
在三角形BDC中，，
，，
．设 结合二次函数的性质得到：．
故选：D．
6．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得CB，
DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ，
△BFE中由正弦定理，可得
可得x，其中tanα；
∴x；
则△DEF面积S
故选：D．
7．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是__________．
【答案】
【解析】
依题意有,，由正弦定理得，解得.
8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．
【答案】
【解析】
设，，则，，∴，
在中，由正弦定理可得，
即，∴，
∴当即时，取得最小值．
故答案为：．
9．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离______.
【答案】
【解析】
在中，由题意可得
∴由正弦定理
∴
∵在中，由于
由正弦定理可得
可得
∴中，由余弦定理可得
∴解得
即C、D之间的距离为
故答案为．
10．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）在锐角中，内角所对的边分别是，，，则__________．的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由正弦定理，可得，则.
由，可得， ，
所以.
由是锐角三角形，可得，，则，
所以，.
所以.
11．（河北省衡水市2019届高三四月大联考理）中，，，点在边上，且.
（1）求的长；
（2）若于，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）在中，，，
由余弦定理得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，，，
由余弦定理得，
即，
∴．
（2）由（1）知，
∴在直角中，，
∴在直角中，．
12．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）在平面四边形中，已知，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）在中，
即 ,解得.
所以.
（2）因为,所以 ，,
.
在中，, .
所以.
13．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试）如图平面四边形的对角线的交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为__________．
【答案】
【解析】
设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则由余弦定理得，
AC2＝1+3﹣2×1cosα＝4﹣2cosα；
由正弦定理得，
则sinβ；
所以BD2＝3+（4﹣2cosα）﹣2cos（90°+β）
＝7﹣2cosα+2sinα
＝7+2sin（α﹣45°），
所以α＝135°时，BD取得最大值为1．
故答案为：1．
14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考）如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，为正三角形，则面积的最大值为___．
【答案】
【解析】
设，，
由余弦定理可得，，
由正弦定理可得，即，
所以，
，
故当时，面积最大，最大值为．
15．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试理）如图：在中，，，.
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，
故.
（2）∵，
∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
16．（河南省洛阳市2019届5月质量检测）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由正弦定理得：
即：
（2）为边的中点
，又
，即
当且仅当时取等号
（当且仅当时取等号）
面积的最大值为．
17．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）江心洲有一块如图所示的江边，，为岸边，岸边形成角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边上取两点，用长度为的围网依托岸边线围成三角形（，两边为围网）；方案2：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.请分别计算，面积的最大值，并比较哪个方案好.
【答案】，面积的最大值分别为，.其中方案好.
【解析】
方案：设，
由已知“用长度为的围网，，两边为围网”得且
当且仅当且时，等号成立
面积的最大值为
方案：设，
在中，由余弦定理得：
即
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
面积的最大值为
方案好．
18．（广东省深圳市高级中学2019届高三6月适应性考试）工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（在同一水平面内），求之间的距离.
【答案】
【解析】
连接AC,
在中 ，
.
在 中，．
19．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测）在中，，，为的内角平分线，.
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求角的大小
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：
在三角形ACD中,由正弦定理得：
因为
（Ⅱ）在三角形ABD中,
由余弦定理得
在三角形ACD中,
由余弦定理得
又解得
又．
20．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试）已知中，，，.
（1）求的面积；
（2）求边上的中线的长.
【答案】（1）28（2）
【解析】
（1）且，
∴．
在中，由正弦定理得，
即，解得．
所以的面积为
（2）在中，， 所以由余弦定理得
，
所以．
21．（河南省开封市2019届高三第三次模拟理）在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.
（I）求角；
（Ⅱ）若，，，求的长，
【答案】（I）；（Ⅱ）.
【解析】
（I）由，得，
，
，∵，∴，∴.
（Ⅱ）在中，，，，
由余弦定理得，所以，
在中，， ，由正弦定理，得，
所以.
22．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试）如图所示，在中，，是边上一点，，，.
（1）求的面积；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）在中，由余弦定理得
.
∴，故.
∴ .
（2），
.
在中，由正弦定理得，
∴ .
23．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.
（1）若，求角的值；
（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1），
又∵成等比数列，得，由正弦定理有，
∵，∴，得，即，
由知，不是最大边，∴.
（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，
由余弦定理，得，又，
∴，当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，
由正弦定理，得.
∴的面积，
∵，∴，∴.
24．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模）如图，在四边形中，，连接.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积最大值.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 。
【解析】
（Ⅰ）在中，由正弦定理得，
∴．
∵，
∴，
∴为锐角，
∴．
（Ⅱ）在中，，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
即面积的最大值为．
