九年级数学中考复习专题：实数的有关概念及运算及解析

九年级数学中考复习专题：实数的有关概念及运算及解析
实数的有关概念及运算
☞解读考点
知　识　点
名师点晴
实数的分类
1.有理数
会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数
2.无理数
会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数
实数的有关概念
1.相反数、倒数、绝对值
会求一个实数的相反数、倒数和绝对值
2.科学计数法、近似数
掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数
3.实数的非负性
利用实数的非负性解决一些实际问题
实数的运算和大小比较
1.实数的估算
求一个无理数的范围
2.实数的大小比较
理解实数的大小比较的方法
3.实数的运算
掌握实数的混合运算

☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015南京）估计介于（　　）
A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间
【答案】C．

考点：估算无理数的大小．
2．（2015常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【答案】A．
考点：实数大小比较．
3．（2015泰州）下列4个数：，，，，其中无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：π是无理数，故选C．
考点：1．无理数；2．零指数幂．
4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数的点P应落在线段（　　）

A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵2＜＜3，∴0＜＜1，故表示数的点P应落在线段OB上．故选B．
考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．
5．（2015广元）当时，、、的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵，令，那么，，∴．故选C．
考点：实数大小比较．
6．（2015绵阳）若，则=（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵，∴，解得：，则．故选A．
考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．
7．（2015武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（　　）
A．﹣3 B．0 C．5 D．3
【答案】A．
考点：实数大小比较．
8．（2015荆门）64的立方根是（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选A．
考点：立方根．
9．（2015北京市）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
【答案】A．
【解析】
试题分析：根据图示，可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a．故选A．
考点：实数大小比较．
10．（2015河北省）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C．
考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．
11．（2015六盘水）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（　　）

A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜＜3，则表示的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间．故选A．
考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．
12．（2015通辽）实数tan45°，，0，，，，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．3
【答案】D．
【解析】
试题分析：在实数tan45°，，0，，，，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．
考点：无理数．
13．（2015淄博）已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（　　）
A．±2 B． C． D．2
【答案】A．
考点：1．二元一次方程组的解；2．平方根；3．综合题．
14．（2015成都）比较大小：____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜．
【解析】
试题分析：为黄金数，约等于0.618，，显然前者小于后者．或者作差法：，所以，前者小于后者．故答案为：＜．
考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小．
15．（2015资阳）已知：，则的值为 ．
【答案】12．
【解析】
试题分析：∵，∴，，解得，，，可得，则==12，故答案为：12．
考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：偶次方．
16．（2015自贡）若两个连续整数x、y满足，则x+y的值是 ．
【答案】7．
【解析】
试题分析：∵2＜＜3，∴3＜＜4，∴x=3，y=4，∴x+y=7，故答案为：7．
考点：估算无理数的大小．
17．（2015巴中）计算：．
【答案】4．
【解析】
试题分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可．
试题解析：原式==1+3=4．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．
18．（2015龙岩）计算：．
【答案】0．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值．
19．（2015临沂）计算：．
【答案】．
【解析】
试题分析：先根据平方差公式展开后，再根据完全平方公式展开后合并即可．
试题解析：解：原式=[][]=
．
考点：实数的运算．

【2014年题组】
1．（2014年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
考点：科学计数法．
2．（2014年福建三明中考）的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．
试题分析：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此，的相反数是. 故选A．
考点：相反数．
3．（2014年黑龙江大庆中考）下列式子中成立的是（ ）
A. ﹣|﹣5|＞4 B. ﹣3＜|﹣3| C. ﹣|﹣4|=4 D. |﹣5.5|＜5
【答案】B．
【解析】
试题分析：先对每一个选项应用绝对值的性质化简，再进行比较即可：
A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误；
B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确；
C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误；
D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误．
故选B．
考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较．
4．（2014年湖北宜昌中考）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（ ）

A. m+n＜0 B. m＜n C. m||n|＞0 D. 2+m＜2+n
【答案】D．
考点：1．数轴；2．不等式的性质．
5．（2014年贵州黔南中考）计算的值等于（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 5
【答案】A．
【解析】
试题分析：针对有理数的乘方，零指数幂，绝对值3个考点分1．别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：
；2．故选A．
考点：实数的运算．
6．（2014年黑龙江大庆中考）若，则的值为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵，∴．∴．
考点：1．实数的非负性；2．负整数指数幂．
7．（2014年吉林省中考）若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2= ．
【答案】7．
【解析】
试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜＜4，即a=3，b=4．∴b2﹣a2=42﹣32=7．
考点：无理数的估算．
8．（2014年新疆区兵团中考）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．，按此规定，=_____________
【答案】2．
【解析】
试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜＜4．
∴2＜＜3，∴=2．
考点：1．新定义；2．无理数的估算．
9．（2014年甘肃兰州中考）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 ．
【答案】．
考点：1．有理数的运算；2．阅读理解型问题．
10．（2014年内蒙古赤峰中考）计算：
【答案】-3．
【解析】
试题分析： ．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．

☞考点归纳
归纳 1：实数及其分类
基础知识归纳：

基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．
注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
【例1】在实数中，其中无理数的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A．

考点：无理数．
归纳 2：实数的有关概念
基础知识归纳：
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1．
基本方法归纳：如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0
注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数
【例2】若实数x，y满足，则= ．
【答案】．

考点：非负数．
归纳 3：实数的大小比较
基础知识归纳：
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
基本方法归纳：（1）求差比较：设a、b是实数，
（2）求商比较法：设a、b是两正实数，
（3）平方法：设a、b是两负实数，则．
注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较．
【例3】用“＜”号，将、、、连接起来______
【答案】．
【解析】
试题分析：先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值，再根据有理数的大小比较法则比较．
∵，，，
∴．
考点：实数的大小比较．
归纳 4：科学计数法与近似数
基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）
注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化．
【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为
A．5.475×1011 B．5.475×1010 C．0.5475×1011 D．5475×108
【答案】B．

考点：科学计数法．
归纳 5：实数的混合运算
基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行
基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．
注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．
【例5】计算：
【答案】1．
【解析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：
考点：实数的运算．
☞1年模拟
1．（2015届山东省日照市中考一模）的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
【答案】C．
【解析】试题分析：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选C．
考点：算术平方根．
2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、、、tan60°中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵tan60°=，∴在实数π、、、tan60°中，无理数有：，和tan60°．故选C．
考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值．
3．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）的算术平方根是（ ）
A．- B． C．± D．
【答案】B．

考点：算术平方根．
4．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）下列计算结果是负数的是（ ）
A．3-2 B．3×（-2） C．3-2 D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：A：3-2=1，计算结果是正数，据此判断即可．
B：3×（-2）=-6，计算结果是负数，据此判断即可．
C：3-2=，计算结果是正数，据此判断即可．
D：是一个正数，据此判断即可．
试题解析：∵3-2=1，计算结果是正数，∴选项A不正确；
∵3×（-2）=-6，计算结果是负数，∴选项B正确；
∵3-2=，计算结果是正数，∴选项C不正确；
∵是一个正数，∴选项D不正确．故选B．
考点：实数的运算．
5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（ ）
A．2m与3m之间 B．3m与4m之间
C．4m与5m之间 D．5m与6m之间
【答案】B．
【解析】
试题分析：正方形的边长为，∵＜＜，∴3＜＜4，∴其边长在3m与4m之间．故选B．
考点：估算无理数的大小．
6．（2015届河北省中考模拟二）下列无理数中，不是介于-3与2之间的是（ ）
A．- B． C．- D．
【答案】B．
考点：估算无理数的大小．
7．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）实数5的相反数是（ ）．
A． B．- C．﹣5 D．5
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5．故选C．
考点：实数的性质．
8．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下列四个数中，值最小的数是（ ）．
A．tan45° B． C．π D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，1＜＜＜π，所以tan45°＜＜＜π，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选A．
考点：1．实数大小比较；2．特殊角的三角函数值．
9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+=0，则第三边长为 ．
【答案】、或．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．
10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+）0= ．
【答案】-．
【解析】
试题分析：原式==-．故答案为：-．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．
11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）的算术平方根为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵=2，2的算术平方根是，∴的算术平方根为．故答案为：．
考点：算术平方根．
12．（2015届北京市平谷区中考二模）计算：．
【答案】-3．
【解析】
试题分析：分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂，然后按照实数的运算法则计算即可．
试题解析：原式===．
考点：实数的运算．
13．（2015届安徽省安庆市中考二模）计算：﹣32+．
【答案】-9．

考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值．
14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）计算：（-）-1+（π-）0-3tan30°+|-|
【答案】-1．
【解析】
试题分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
试题解析：原式=-2+1-3×+=-1．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．
15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）计算：
﹣2sin30°﹣（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣+（﹣1）2012．
【答案】-6．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．