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初中数学 章节考点梳理：平面直角坐标系12个必考点全梳理 学案
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必考点1： 象限的判断
掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
例题1： 如果P（ab，a+b）在第四象限，那么Q（a，﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出a，b的符号进而得出答案．
【解析】∵P（ab，a+b）在第四象限，∴ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴﹣b＞0，
∴Q（a，﹣b）在第二象限．故选：B．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
变式1： 对于任意实数m，点P（m﹣1，9﹣3m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点所在象限中横纵坐标的符号即可列不等式组，若不等式组无解，则不能在这个象限．
【解析】A、当点在第一象限时m-1＞09-3m＞0解得1＜m＜3，故选项不符合题意；
B、当点在第二象限时m-1＜09-3m＞0，解得m＜3，故选项不符合题意；
C、当点在第三象限时m-1＜09-3m＜0，不等式组无解，故选项符合题意；
D、当点在第四象限时m-1＞09-3m＜0，解得m＞1，故选项不符合题意．
故选：C．
【小结】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）．
变式2： 在平面直角坐标系xOy中，若点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，则点B（m﹣1，1﹣2m）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上可得m2-4=0m+1＞0，据此求出m的值，再根据各象限内点的坐标的符号进行判断即可．
【解析】∵点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，∴m2-4=0m+1＞0，解得m＝2，
∴m﹣1＝1，1﹣2m＝﹣3，
∵（1，﹣3）在第四象限，∴点B（m﹣1，1﹣2m）在第四象限．故选：D．
【小结】本题考查了点的坐标，根据y轴上的点的坐标特点求出m的值是解答本题的关键，注意：四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
变式3： 如图，平面直角坐标系中有P、Q两点，其坐标分别为P（4，a）、Q（b，6）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（9﹣2b，a﹣6）落在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】直接利用Q，P的位置进而得出a＜6，b＜4，进而得出9﹣2b＞0，a﹣6＜0，求出答案即可．
【解析】如图所示：a＜6，b＜4，则9﹣2b＞0，a﹣6＜0，故点（9﹣2b，a﹣6）落在第四象限．故选：D．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
必考点2： 坐标轴上点的特征
坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
例题2： 已知点P（3a，a+2）在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣6） C．（2，0） D．（0，6）
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出其横坐标为零，进而得出答案．
【解析】∵点P（3a，a+2）在y轴上，∴3a＝0，解得：a＝0，
故a+2＝2．则点P的坐标是（0，2）．故选：A．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特点是解题关键．
变式4： 已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为 ．
【分析】直接利用x，y轴上点的坐标特点得出a，b的值进而得出答案．
【解析】∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，∴a﹣5＝0，b+3＝0，
解得：a＝5，b＝﹣3，∴C（a，b）的坐标为：（5，﹣3）．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的值是解题关键．
变式5： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a2﹣4，3）在y轴上，点B在x轴上，且横坐标为a，则点B的坐标为 ．
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案．
【解析】∵点A（a2﹣4，3）在y轴上，∴a2﹣4＝0，解得：a＝2或﹣2，
∵点B在x轴上，且横坐标为a，∴点B的坐标为：（2，0）和（﹣2，0）．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．
变式6： 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），|AB|＝3，且点B和点A在同一坐标轴上，则点B的坐标为 ．
【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．
【解析】B在x轴上时点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0），
B在y轴上时点B的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣3）．
【小结】本题考查了点的坐标．解题的关键能够正确确定出点的坐标，利用数轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏．
必考点3： 点到坐标轴的距离
点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
例题3： 若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【分析】若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为
【解析】由题意可得，|x|＝3，|y|＝4，
∵点M在第二象限，∴x＝﹣3，y＝4，即M（﹣3，4），故选：D．
【小结】本题考查了直角坐标系，正确理解横坐标与纵坐标的意义是解题的关键．
变式7： 已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，x＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
【解析】∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，∴|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，∴x＝3，y＝﹣2，∴P的坐标为（3，﹣2），故选：C．
【小结】本题涉及到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；两数相乘，异号得负；异号两数相加，结果的符号和绝对值较大的加数的符号相同．
变式8： 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．
【解析】∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a﹣5＞0，∴a＞53，∴a＝3，故选：C．
【小结】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
变式9： 若点P（2x，x﹣3）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为 ．
【分析】分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．
【解析】当点P在第一象限，x﹣3＞0，解得：x＞3，且2x+x﹣3＝5，解得：x=83＜3，不合题意；
当点P在第二象限，2x＜0x-3＞0，不等式组无解，不合题意；
当点P在第三象限，2x＜0x-3＜0，不等式组的解集为：x＜0，则﹣2x﹣x+3＝5，解得：x=-23；
当点P在第四象限，则2x＞0x-3＜0，不等式组的解集为：0＜x＜3，故2x﹣（x﹣3）＝5，解得：x＝2，
当点P在x轴上，则x﹣3＝0，解得：x＝3，此时2x＝6，不合题意；
当点P在y轴上，则2x＝0，解得：x＝0，此时|x﹣3|＝3，不合题意；
综上所述：x=-23或x＝2．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
必考点4： 角平分线上点的特征
象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
例题4： 已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣1或6 D．2或3
【分析】根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．
【解析】∵点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，∴m2﹣2＝5m+4，
∴m2﹣5m﹣6＝0，解得m1＝﹣1，m2＝6，
当m＝﹣1时，m2﹣2＝﹣1，点A（﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，所以m的值为6．故选：A．
【小结】本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，易错点在于要注意对求出的解进行判断．
变式10： 若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2）或（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）或（2，﹣2）
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点M的横坐标与纵坐标的长度相等，再分点M在第一、三象限两种情况解答．
【解析】∵点N在第一、三象限的角平分线上，∴点N到y轴的距离也为2，
当点N在第一象限时，点N的坐标为（2，2）；点N在第三象限时，点N的坐标为（﹣2，﹣2）．
所以，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．故选：C．
【小结】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，要注意分情况讨论．
变式11： 若点P（3a﹣2，2a+7）在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标是 ．
【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于a的方程，解出a的值，即可求得P点的坐标．
【解析】∵点P（3a﹣2，2a+7）在第二、四象限的角平分线上，∴3a﹣2+2a+7＝0，解得：a＝﹣1，
∴P（﹣5，5）．
【小结】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
变式12： 在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0．
（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为 ；
（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；
（3）当a＜b时，则m的取值范围是 ．
【分析】（1）把a＝1代入2a﹣6m+4＝0中求出m值，再把m值代入b+2m﹣8＝0中即可求出b的值，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解；
（2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m的方程求出m的值，最后求出a、b值．
（3）把a、b用m表示出来，代入a＜b，则m的取值范围可求．
【解析】（1）当a＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m＝1．
把m＝1代入b+2m﹣8＝0中，得b＝6．所以P点坐标为（1，6），所以点P到x轴的距离为6．
（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．
由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．
把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．
（3）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．
故答案为m＜2．
【小结】本题主要考察了点的坐标特征及解不等式，熟知特殊点的坐标特征是解题的关键．
必考点5： 点的坐标与象限之新定义问题
例题5： 若定义：f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），例如f （1，2）＝（﹣1，2），g（﹣4，﹣5）＝（﹣4，5），则g（f（3，﹣4））的值为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）
【分析】根据f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），可得答案．
【解析】g（f（3，﹣4））＝g（﹣3，﹣4）＝（﹣3，4），故选：B．
【小结】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n）是解题关键．
变式13： 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：
①“距离坐标”是（0，2）的点有1个；
②“距离坐标”是（3，4）的点有4个；
③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有4个．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据（p，q）是点M的“距离坐标”，得出 ①若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．②若pq＝0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个，进而得出解集确定答案．
【解析】①p＝0，q＝2，则“距离坐标”为（0，2）的点有且仅有2个；故此选项①“距离坐标”是（0，2）的点有1个错误；
②正确，四个交点为与直线L1相距为3的两条平行线和与直线L2相距为4的两条平行线的交点；
③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有无数个，在角平分线上，故此选项错误；
故正确的有：1个，故选：B．
【小结】此题考查了坐标确定位置；解题的关键是要注意两条直线相交时有四个区域，本题是一个好题目，有创新性，但是难度较小，理解题意不难解答，考查学生的逻辑思维能力．
变式14： 对于平面坐标系中任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新运算“*”为：（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．根据这个規则计算：（3，5）*（﹣1，2）＝ ；若A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，则A*B在第 象限．
【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案．
【解析】∵（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1），
∴（3，5）*（﹣1，2）＝（3×2，﹣1×5）＝（6，﹣5）
∵A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＜0，y1＜0，x2＞0，y2＜0，A*B＝（x1y2，x2y1），∴x1y2＞0，x2y1＜0，∴A*B在第四象限．
【小结】此题主要考查了点的坐标以及数字变化规律，正确利用已知运算法则是解题关键．
变式15： 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=x-y(当x≥y时)y-x(当x＜y时)，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；如果点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为 ．
【分析】根据关联点的定义，可得答案．
【解析】∵3＜5，根据关联点的定义，∴y′＝5﹣3＝2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）；
∵点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），∴y′＝y﹣x＝3或x﹣y＝3，
即y﹣（﹣2）＝3或（﹣2）﹣y＝3，解得y＝1或y＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，﹣5）．
【小结】本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．
必考点6： 点的坐标确定位置
首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.
例题6： 棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示“炮”的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（1，2）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解析】如图所示：“炮”的点的坐标为（1，3）．故选：A．
【小结】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
变式16： 如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为（4，2），四号暗堡的坐标为（﹣2，4），原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大约是（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解析】如图所示：敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．
【小结】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
变式17： 如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（﹣2，﹣1），解答以下问题：
（1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆的坐标为C（1，﹣3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置；
（3）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标，向左1个单位，向下2个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可；
（3）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解析】（1）建立平面直角坐标系如图所示；
（2）体育馆C（1，﹣3），食堂D（2，0）如图所示；
（3）四边形ABCD的面积＝4×5-12×3×3-12×2×3-12×1×3-12×1×2，
＝20﹣4.5﹣3﹣1.5﹣1，
＝20﹣10，
＝10．
【小结】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键．
变式18： 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小明家可用坐标（﹣1，2）表示，汽车站可用坐标（3，﹣1）表示．
（1）建立平面直角坐标系，画出x轴和y轴；
（2）某星期日早晨，小明同学从家出发，沿（0，1）→（﹣2，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（0，﹣1）→（1，0）→（2，﹣1）→（2，2）的路线转了一圈，又回到家里，写出他路上经过的地方；
（3）连接他在上一问中经过的地点，你得到了什么图形？
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可；
（2）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后连接即可，再写出各地方的名称；
（3）根据图形形状解答．
【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系；
（2）小明家﹣学校﹣奶奶家﹣宠物店﹣医院﹣公园﹣邮局﹣游乐场﹣消防站﹣小明家；
（3）连接他在上一问中经过的地点，得到“箭头”状的图形．
【小结】本题考查了坐标确定位置，主要是平面直角坐标系的建立与点的坐标位置的确定方法，是基础题．
必考点7： 坐标与图形（平行于坐标轴）
与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．
例题7： 在平面直角坐标系中，已知线段MN∥x轴，且MN＝3，若点M的坐标为（﹣2，1），则点N的坐标为 ．
【分析】根据平行x轴的特点进行解答即可．
【解析】∵线段MN∥x轴，点M的坐标为（﹣2，1），∴点N的纵坐标为1，
∵MN＝3，∴点N的横坐标为﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5，∴点N的坐标为（1，1）或（﹣5，1），
【小结】此题考查坐标与图形性质，关键是根据平行x轴的坐标特点解答．
变式19： 已知A（1，2），B（x，y），AB∥x轴，且B到y轴距离为2，则点B的坐标是 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的长度求出点B的横坐标，然后写出即可．
【解析】∵AB∥x轴，∴y＝2，∵点B到y轴距离为2，∴x＝±2，
∴点B的坐标为（2，2）或（﹣2，2）．
【小结】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键．
变式20： 已知点A（3a﹣6，a+4），B（﹣3，2），AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为 ．
【分析】由AB∥y轴可知AB的横坐标相等，故3a﹣6＝﹣3，即可求出a＝1，得AB＝3，根据已知PA＝2PB，分P在线段AB上和在线段AB延长线两种情况求出PA，即可得到两种情况下P的坐标．
【解析】∵AB∥y轴，∴3a﹣6＝﹣3，解得a＝1，∴A（﹣3，5），
∵B点坐标为（﹣3，2），∴AB＝3，B在A的下方，
①当P在线段AB上时，∵PA＝2PB∴PA=23AB＝2，∴此时P坐标为（﹣3，3），
②当P在AB延长线时，∵PA＝2PB，即AB＝PB，∴PA＝2AB，∴此时P坐标为（﹣3，﹣1）；
故答案为（﹣3，3）或（﹣3，﹣1）．
【小结】本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于y轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据A、B两点的距离及相对位置，分类求解．
变式21： 平面立角坐标系中，点A（﹣2，3），B（2，﹣1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，3）
【分析】根据经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．
【解析】如右图所示，
∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（﹣2，3），∴设点C（x，3），
∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，﹣1），∴x＝2，∴点C的坐标为（2，3）．故选：D．
【小结】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征和点到直线垂线段最短．
必考点8： 点的平移
向右平移a个单位
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位
再向上平移b个单位
（2）二次平移：
例题8： 在平面直角坐标系中，点A'（2，﹣2）可以由点A（﹣2，3）通过两次平移得到，则正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度
【分析】利用点A与点A′的横纵坐标的关系确定平移的方向和平移的距离．
【解析】把点A（﹣2，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点A′（2，﹣2）．
故选：D．
【小结】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
变式22： 已知A（3，﹣2），B（1，0），把线段AB平移至线段CD，其中点A、B分别对应点C、D，若C（5，x），D（y，0），则x+y的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据A、B两点平移后对应点的位置可得图形的平移方法，进而可得x、y的值，再计算出x+y
【解析】∵A（3，﹣2），B（1，0）平移后的对应点C（5，x），D（y，0），
∴平移方法为向右平移2个单位，∴x＝﹣2，y＝3，∴x+y＝1，故选：C．
【小结】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
变式23： 在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣11＜m＜﹣4 B．﹣7＜m＜﹣4 C．m＜﹣7 D．m＞﹣4
【分析】首先根据平移表示出B点坐标，再根据B点所在象限列出不等式组，再解即可．
【解析】∵点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，
∴B（m+4，m+7），
∵点B在第二象限，∴m+4＜0，m+7＞0，解得：﹣7＜m＜﹣4，故选：B．
【小结】此题主要考查了点的平移，以及一元一次不等式组的应用，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
变式24： 在平面直角坐标系中，将A （m2，1）沿着x的正方向向右平移m2+3个单位后得到B点．有四个点M（﹣m2，1）、N（m2，m2+3）、P（m2+2，1）、Q（3m2，1），一定在线段AB上的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【解析】∵将A （m2，1）沿着x的正方向向右平移m2+3个单位后得到B点，∴B（2m2+3，1），
∵m2≥0，∴2m2+3＞0，
∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位，
因为点M（﹣m2，1）在点A左侧，不在线段AB上；
点N（m2，m2+3）距离x轴（m2+3）个单位，不在线段AB上；
点P（m2+2，1）在点A右侧，且距离x轴1个单位，在线段AB上；
点Q（3m2，1）是将A （m2，1）沿着x的正方向向右平移2m2个单位后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB延长线上．所以一定在线段AB上的是点P．故选：C．
【小结】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．
必考点9： 图形的平移
解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
例题9： 如图，三角形ABC经过一定的平移变换得到三角形A'B'C'，若三角形ABC上一点M的坐标为（m，n），那么M点的对应点M'的坐标为 ．
【分析】由图形得出△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，从而得到△ABC上任意一点平移后的对应点的坐标．
【解析】由图形知，△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，
∴△ABC上的一点M（m，n）平移后的对应点M′坐标为（m+4，n+2）
【小结】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
变式25： 如图，三角形ABC中任意一点P（x，y），经过平移后对应点为P1（x+4，y﹣2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若点A的坐标为（﹣4，5），则点A1的坐标为 ．
【分析】直接利用P点平移规律，进而得出A点平移规律．
【解析】∵三角形ABC中任意一点P（x，y），经过平移后对应点为P1（x+4，y﹣2），
∴点A1的坐标为：（﹣4+4，5﹣2），即（0，3）．
【小结】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出平移规律是解题关键．
变式26： 已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1（4，﹣3），则a﹣b﹣c+d的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【分析】由A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（4，﹣3），可得△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．
【解析】∵A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（4，﹣3），
∴△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，
∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），
∴a+7＝c，b﹣5＝d，∴a﹣c＝﹣7，b﹣d＝5，
∴a﹣b﹣c+d＝a﹣c﹣（b﹣d）＝﹣7﹣5＝﹣12，故选：D．
【小结】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
变式27： 如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题．
（1）分别写出点A、点B、点C、点A'、点B'、点C'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）若点M（a+2，4﹣b）是点N（2a﹣3，2b﹣5）通过（1）中的平移变换得到的，求（b﹣a）2的值．
【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；
（2）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，代入计算可得．
【解析】（1）由图知，A（0，3），B（2，1），C（3，4），
A′（﹣3，0），B′（﹣1，﹣2），C′（0，1），
且△ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位可以得到△A′B′C′；
（2）由（1）中的平移变换的2a﹣3﹣3＝a+2，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝8，b＝4，
则（b﹣a）2＝（4﹣8）2＝（﹣4）2＝16．
【小结】本题主要考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
必考点10： 坐标系中的面积问题
直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴（y轴）的垂线，将原图形分割为可求
面积的图形，再求其面积和．
例题10： 如图，右边坐标系中四边形的面积是（ ）
A．4 B．5.5 C．4.5 D．5
【分析】过A点作x轴的垂线，垂足为E，将不规则四边形分割为两个直角三角形和一个直角梯形求其面积即可．
【解析】如图，作AE⊥BC，垂足为E，
则：S四边形ABCD＝S△OCD+S梯形ODAE+S△ABE=12×1×1+12×（1+2）×2+12×1×2＝4.5，故选：C．
【小结】本题考查了直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴（y轴）的垂线，将原图形分割为可求面积的图形，再求其面积和．
变式28： 如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 ．
【分析】设P点坐标为（x，0），则根据三角形面积公式得到12•4•|6﹣x|＝6，然后去绝对值求出x的值，再写出P点坐标．
【解析】设P点坐标为（x，0），
根据题意得12•4•|6﹣x|＝6，解得x＝3或9，所以P点坐标为（3，0）或（9，0）．
【小结】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式．
变式29： 已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）过点C向x、y轴作垂线，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解即可．
（2）设点P的坐标为（x，0），于是得到BP＝|x﹣2|，然后依据三角形的面积公式求解即可．
【解析】（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．
S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×4-12×2×4-12×1×2-12×2×3＝4．
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，∴12×1×|x﹣2|＝4．解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．
【小结】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．
变式30： 如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD
（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABDC？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据S△PAC＝S四边形ABDC求解可得．
【解析】（1）由题意知点C坐标为（﹣1+1，0+2），即（0，2），
点D的坐标为（3+1，0+2），即（4，2），
如图所示，S四边形ABDC＝2×4＝8；
（2）当P在x轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABDC，∴12AP⋅OC=8，
∵OC＝2，∴AP＝8，
∴点P的坐标为 （7，0）或 （﹣9，0）；
当P在y轴上时，∵S△PAC＝S四边形ABDC，∴12CP⋅OA=8，
∵OA＝1，∴CP＝16，
∴点P的坐标为（0，18）或 （0，﹣14）；
综上，点P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或 （0，﹣14）．
【小结】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，熟记各性质是解题的关键．
必考点11： 点的坐标规律问题之周期性
例题11： 在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（1﹣y，x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4…，若点A1的坐标为（3，2），则点A2020的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根据点P（x，y）的友好点是点P'（1﹣y，x﹣1），点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，分别计算前几个点的坐标，发现4个点一个循环，进而可得点A2020的坐标．
【解析】根据点P（x，y）的友好点是点P'（1﹣y，x﹣1），
点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，
…，
因为点A1的坐标为（3，2），
所以点A2的坐标为（﹣1，2），
点A3的坐标为（﹣1，﹣2），
点A4的坐标为（3，﹣2），
点A5的坐标为（3，2），
…
发现规律：4个点一个循环，所以2020÷4＝505，则点A2020的坐标为（3，﹣2）．故选：D．
【小结】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据题意准确计算前几个点的坐标，发现规律，运用规律．
变式31： 如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…按这样的运动规律，动点P第2020次运动到点（ ）
A．（2020，﹣2） B．（2020，0） C．（2019，1） D．（2019，0）
【分析】观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2020除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可．
【解析】∵2020÷4＝505，
∴动点P第2020次运动为第505个循环组的第4次运动，横坐标505×4﹣1＝2019，纵坐标为0，
∴点P此时坐标为（2019，0）．故选：D．
【小结】考查了规律型：点的坐标，本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．
变式32： 如图，在平面直角坐标系中，OA1＝1，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2022的坐标为（ ）
A．（1009，1） B．（1010，1） C．（1011，0） D．（1011，﹣1）
【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，即可得出点A2022的坐标．
【解析】由图可得，第一个正方形中，A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），
各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；
第二个正方形中，A5（3，0），A6（3，﹣1），A7（4，﹣1），A8（4，0），
各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，﹣1，﹣1，0；
根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，
∵2016÷8＝252，∴点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，故其纵坐标为﹣1，
又∵A6的横坐标为3，A14的横坐标为7，A22的横坐标为11，
…
∴A2022的横坐标为1011，∴点A2022的坐标为（1011，﹣1），故选：D．
【小结】本题主要考查了点的坐标变化规律问题以及正方形的性质的运用，解决问题的关键是判断点A2022在第253个循环中的第6个点的位置．
变式33： 如图，在4×8的长方形网格OABC中，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解析】如图，根据题意得：P0（0，3），P1（3，0），P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，
∴点Pn的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2020÷6＝336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故选：B．
【小结】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
必考点12： 点的坐标规律问题之递进性
例题12： 如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
A．（1012，1011） B．（1009，1008）
C．（1010，1009） D．（1011，1010）
【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
【解析】因为A1（﹣1，1），A2（2，1）
A3（﹣2，2）A4（3，2）
A5（﹣3，3）A6（4，3）
A7（﹣4，4）A8（5，4）
…
A2n﹣1（﹣n，n） A2n（n+1，n）（n为正整数）所以2n＝2020，n＝1010，所以A2020（1011，1010）
【小结】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．
变式34： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．（﹣26，50） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（25，50）
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．
【解析】经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．
故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：C．
【小结】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．
变式35： 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（ ）
A．（45，6） B．（45，13） C．（45，22） D．（45，0）
【分析】到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，横坐标以n结束的有n2个点，
【解析】观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，
横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，
∴横坐标以n结束的有n2个点，第2025个点是（45，0），∴2019个点的坐标是（45，6）；故选：A．
【小结】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
变式36： 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为（1，0），后面依次为（2，0），（1，2），（1，3），（2，2），（3，0）…，根据这个规律，第110个点的坐标为 ．
【分析】根据“→”方向，按照三角形斜边方向上的点的个数为连续自然数求出总个数的表达式，并且第奇数排从横坐标为1开始，第偶数排到最后一个点的横坐标为1结束，然后求出与第110个点最接近的点，然后确定答案即可．
【解析】从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、…，
所以点的总个数为：1+2+3+4+…+n=n(n+1)2，
当n＝14时，14×(14+1)2=105，
所以第110个点是当n＝15时的第5个点，
即第15个斜边上点为：（1，15），（2，14），（3，13），（4，12），（5，11）…
所以第110个点的坐标为（5，11）．
【小结】本题是对点的坐标变化规律的考查，从“→”方向考虑斜边上点的个数的变化规律解答是解题的关键．
必考点1： 象限的判断
掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
例题1： 如果P（ab，a+b）在第四象限，那么Q（a，﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出a，b的符号进而得出答案．
【解析】∵P（ab，a+b）在第四象限，∴ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴﹣b＞0，
∴Q（a，﹣b）在第二象限．故选：B．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
变式1： 对于任意实数m，点P（m﹣1，9﹣3m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点所在象限中横纵坐标的符号即可列不等式组，若不等式组无解，则不能在这个象限．
【解析】A、当点在第一象限时m-1＞09-3m＞0解得1＜m＜3，故选项不符合题意；
B、当点在第二象限时m-1＜09-3m＞0，解得m＜3，故选项不符合题意；
C、当点在第三象限时m-1＜09-3m＜0，不等式组无解，故选项符合题意；
D、当点在第四象限时m-1＞09-3m＜0，解得m＞1，故选项不符合题意．
故选：C．
【小结】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）．
变式2： 在平面直角坐标系xOy中，若点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，则点B（m﹣1，1﹣2m）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上可得m2-4=0m+1＞0，据此求出m的值，再根据各象限内点的坐标的符号进行判断即可．
【解析】∵点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，∴m2-4=0m+1＞0，解得m＝2，
∴m﹣1＝1，1﹣2m＝﹣3，
∵（1，﹣3）在第四象限，∴点B（m﹣1，1﹣2m）在第四象限．故选：D．
【小结】本题考查了点的坐标，根据y轴上的点的坐标特点求出m的值是解答本题的关键，注意：四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
变式3： 如图，平面直角坐标系中有P、Q两点，其坐标分别为P（4，a）、Q（b，6）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（9﹣2b，a﹣6）落在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】直接利用Q，P的位置进而得出a＜6，b＜4，进而得出9﹣2b＞0，a﹣6＜0，求出答案即可．
【解析】如图所示：a＜6，b＜4，则9﹣2b＞0，a﹣6＜0，故点（9﹣2b，a﹣6）落在第四象限．故选：D．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
必考点2： 坐标轴上点的特征
坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
例题2： 已知点P（3a，a+2）在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣6） C．（2，0） D．（0，6）
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出其横坐标为零，进而得出答案．
【解析】∵点P（3a，a+2）在y轴上，∴3a＝0，解得：a＝0，
故a+2＝2．则点P的坐标是（0，2）．故选：A．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特点是解题关键．
变式4： 已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为 ．
【分析】直接利用x，y轴上点的坐标特点得出a，b的值进而得出答案．
【解析】∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，∴a﹣5＝0，b+3＝0，
解得：a＝5，b＝﹣3，∴C（a，b）的坐标为：（5，﹣3）．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的值是解题关键．
变式5： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a2﹣4，3）在y轴上，点B在x轴上，且横坐标为a，则点B的坐标为 ．
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案．
【解析】∵点A（a2﹣4，3）在y轴上，∴a2﹣4＝0，解得：a＝2或﹣2，
∵点B在x轴上，且横坐标为a，∴点B的坐标为：（2，0）和（﹣2，0）．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．
变式6： 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），|AB|＝3，且点B和点A在同一坐标轴上，则点B的坐标为 ．
【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．
【解析】B在x轴上时点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0），
B在y轴上时点B的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣3）．
【小结】本题考查了点的坐标．解题的关键能够正确确定出点的坐标，利用数轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏．
必考点3： 点到坐标轴的距离
点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
例题3： 若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【分析】若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为
【解析】由题意可得，|x|＝3，|y|＝4，
∵点M在第二象限，∴x＝﹣3，y＝4，即M（﹣3，4），故选：D．
【小结】本题考查了直角坐标系，正确理解横坐标与纵坐标的意义是解题的关键．
变式7： 已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，x＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
【解析】∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，∴|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，∴x＝3，y＝﹣2，∴P的坐标为（3，﹣2），故选：C．
【小结】本题涉及到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；两数相乘，异号得负；异号两数相加，结果的符号和绝对值较大的加数的符号相同．
变式8： 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．
【解析】∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a﹣5＞0，∴a＞53，∴a＝3，故选：C．
【小结】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
变式9： 若点P（2x，x﹣3）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为 ．
【分析】分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．
【解析】当点P在第一象限，x﹣3＞0，解得：x＞3，且2x+x﹣3＝5，解得：x=83＜3，不合题意；
当点P在第二象限，2x＜0x-3＞0，不等式组无解，不合题意；
当点P在第三象限，2x＜0x-3＜0，不等式组的解集为：x＜0，则﹣2x﹣x+3＝5，解得：x=-23；
当点P在第四象限，则2x＞0x-3＜0，不等式组的解集为：0＜x＜3，故2x﹣（x﹣3）＝5，解得：x＝2，
当点P在x轴上，则x﹣3＝0，解得：x＝3，此时2x＝6，不合题意；
当点P在y轴上，则2x＝0，解得：x＝0，此时|x﹣3|＝3，不合题意；
综上所述：x=-23或x＝2．
【小结】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
必考点4： 角平分线上点的特征
象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
例题4： 已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣1或6 D．2或3
【分析】根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．
【解析】∵点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，∴m2﹣2＝5m+4，
∴m2﹣5m﹣6＝0，解得m1＝﹣1，m2＝6，
当m＝﹣1时，m2﹣2＝﹣1，点A（﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，所以m的值为6．故选：A．
【小结】本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，易错点在于要注意对求出的解进行判断．
变式10： 若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2）或（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）或（2，﹣2）
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点M的横坐标与纵坐标的长度相等，再分点M在第一、三象限两种情况解答．
【解析】∵点N在第一、三象限的角平分线上，∴点N到y轴的距离也为2，
当点N在第一象限时，点N的坐标为（2，2）；点N在第三象限时，点N的坐标为（﹣2，﹣2）．
所以，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．故选：C．
【小结】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，要注意分情况讨论．
变式11： 若点P（3a﹣2，2a+7）在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标是 ．
【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于a的方程，解出a的值，即可求得P点的坐标．
【解析】∵点P（3a﹣2，2a+7）在第二、四象限的角平分线上，∴3a﹣2+2a+7＝0，解得：a＝﹣1，
∴P（﹣5，5）．
【小结】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
变式12： 在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0．
（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为 ；
（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；
（3）当a＜b时，则m的取值范围是 ．
【分析】（1）把a＝1代入2a﹣6m+4＝0中求出m值，再把m值代入b+2m﹣8＝0中即可求出b的值，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解；
（2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m的方程求出m的值，最后求出a、b值．
（3）把a、b用m表示出来，代入a＜b，则m的取值范围可求．
【解析】（1）当a＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m＝1．
把m＝1代入b+2m﹣8＝0中，得b＝6．所以P点坐标为（1，6），所以点P到x轴的距离为6．
（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．
由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．
把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．
（3）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．
故答案为m＜2．
【小结】本题主要考察了点的坐标特征及解不等式，熟知特殊点的坐标特征是解题的关键．
必考点5： 点的坐标与象限之新定义问题
例题5： 若定义：f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），例如f （1，2）＝（﹣1，2），g（﹣4，﹣5）＝（﹣4，5），则g（f（3，﹣4））的值为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）
【分析】根据f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），可得答案．
【解析】g（f（3，﹣4））＝g（﹣3，﹣4）＝（﹣3，4），故选：B．
【小结】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n）是解题关键．
变式13： 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：
①“距离坐标”是（0，2）的点有1个；
②“距离坐标”是（3，4）的点有4个；
③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有4个．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据（p，q）是点M的“距离坐标”，得出 ①若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．②若pq＝0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个，进而得出解集确定答案．
【解析】①p＝0，q＝2，则“距离坐标”为（0，2）的点有且仅有2个；故此选项①“距离坐标”是（0，2）的点有1个错误；
②正确，四个交点为与直线L1相距为3的两条平行线和与直线L2相距为4的两条平行线的交点；
③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有无数个，在角平分线上，故此选项错误；
故正确的有：1个，故选：B．
【小结】此题考查了坐标确定位置；解题的关键是要注意两条直线相交时有四个区域，本题是一个好题目，有创新性，但是难度较小，理解题意不难解答，考查学生的逻辑思维能力．
变式14： 对于平面坐标系中任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新运算“*”为：（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．根据这个規则计算：（3，5）*（﹣1，2）＝ ；若A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，则A*B在第 象限．
【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案．
【解析】∵（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1），
∴（3，5）*（﹣1，2）＝（3×2，﹣1×5）＝（6，﹣5）
∵A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＜0，y1＜0，x2＞0，y2＜0，A*B＝（x1y2，x2y1），∴x1y2＞0，x2y1＜0，∴A*B在第四象限．
【小结】此题主要考查了点的坐标以及数字变化规律，正确利用已知运算法则是解题关键．
变式15： 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=x-y(当x≥y时)y-x(当x＜y时)，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；如果点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为 ．
【分析】根据关联点的定义，可得答案．
【解析】∵3＜5，根据关联点的定义，∴y′＝5﹣3＝2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）；
∵点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），∴y′＝y﹣x＝3或x﹣y＝3，
即y﹣（﹣2）＝3或（﹣2）﹣y＝3，解得y＝1或y＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，﹣5）．
【小结】本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．
必考点6： 点的坐标确定位置
首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.
例题6： 棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示“炮”的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（1，2）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解析】如图所示：“炮”的点的坐标为（1，3）．故选：A．
【小结】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
变式16： 如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为（4，2），四号暗堡的坐标为（﹣2，4），原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大约是（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解析】如图所示：敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．
【小结】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
变式17： 如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（﹣2，﹣1），解答以下问题：
（1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆的坐标为C（1，﹣3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置；
（3）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标，向左1个单位，向下2个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可；
（3）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解析】（1）建立平面直角坐标系如图所示；
（2）体育馆C（1，﹣3），食堂D（2，0）如图所示；
（3）四边形ABCD的面积＝4×5-12×3×3-12×2×3-12×1×3-12×1×2，
＝20﹣4.5﹣3﹣1.5﹣1，
＝20﹣10，
＝10．
【小结】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键．
变式18： 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小明家可用坐标（﹣1，2）表示，汽车站可用坐标（3，﹣1）表示．
（1）建立平面直角坐标系，画出x轴和y轴；
（2）某星期日早晨，小明同学从家出发，沿（0，1）→（﹣2，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（0，﹣1）→（1，0）→（2，﹣1）→（2，2）的路线转了一圈，又回到家里，写出他路上经过的地方；
（3）连接他在上一问中经过的地点，你得到了什么图形？
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可；
（2）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后连接即可，再写出各地方的名称；
（3）根据图形形状解答．
【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系；
（2）小明家﹣学校﹣奶奶家﹣宠物店﹣医院﹣公园﹣邮局﹣游乐场﹣消防站﹣小明家；
（3）连接他在上一问中经过的地点，得到“箭头”状的图形．
【小结】本题考查了坐标确定位置，主要是平面直角坐标系的建立与点的坐标位置的确定方法，是基础题．
必考点7： 坐标与图形（平行于坐标轴）
与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．
例题7： 在平面直角坐标系中，已知线段MN∥x轴，且MN＝3，若点M的坐标为（﹣2，1），则点N的坐标为 ．
【分析】根据平行x轴的特点进行解答即可．
【解析】∵线段MN∥x轴，点M的坐标为（﹣2，1），∴点N的纵坐标为1，
∵MN＝3，∴点N的横坐标为﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5，∴点N的坐标为（1，1）或（﹣5，1），
【小结】此题考查坐标与图形性质，关键是根据平行x轴的坐标特点解答．
变式19： 已知A（1，2），B（x，y），AB∥x轴，且B到y轴距离为2，则点B的坐标是 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的长度求出点B的横坐标，然后写出即可．
【解析】∵AB∥x轴，∴y＝2，∵点B到y轴距离为2，∴x＝±2，
∴点B的坐标为（2，2）或（﹣2，2）．
【小结】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键．
变式20： 已知点A（3a﹣6，a+4），B（﹣3，2），AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为 ．
【分析】由AB∥y轴可知AB的横坐标相等，故3a﹣6＝﹣3，即可求出a＝1，得AB＝3，根据已知PA＝2PB，分P在线段AB上和在线段AB延长线两种情况求出PA，即可得到两种情况下P的坐标．
【解析】∵AB∥y轴，∴3a﹣6＝﹣3，解得a＝1，∴A（﹣3，5），
∵B点坐标为（﹣3，2），∴AB＝3，B在A的下方，
①当P在线段AB上时，∵PA＝2PB∴PA=23AB＝2，∴此时P坐标为（﹣3，3），
②当P在AB延长线时，∵PA＝2PB，即AB＝PB，∴PA＝2AB，∴此时P坐标为（﹣3，﹣1）；
故答案为（﹣3，3）或（﹣3，﹣1）．
【小结】本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于y轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据A、B两点的距离及相对位置，分类求解．
变式21： 平面立角坐标系中，点A（﹣2，3），B（2，﹣1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，3）
【分析】根据经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．
【解析】如右图所示，
∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（﹣2，3），∴设点C（x，3），
∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，﹣1），∴x＝2，∴点C的坐标为（2，3）．故选：D．
【小结】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征和点到直线垂线段最短．
必考点8： 点的平移
向右平移a个单位
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位
再向上平移b个单位
（2）二次平移：
例题8： 在平面直角坐标系中，点A'（2，﹣2）可以由点A（﹣2，3）通过两次平移得到，则正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度
【分析】利用点A与点A′的横纵坐标的关系确定平移的方向和平移的距离．
【解析】把点A（﹣2，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点A′（2，﹣2）．
故选：D．
【小结】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
变式22： 已知A（3，﹣2），B（1，0），把线段AB平移至线段CD，其中点A、B分别对应点C、D，若C（5，x），D（y，0），则x+y的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据A、B两点平移后对应点的位置可得图形的平移方法，进而可得x、y的值，再计算出x+y
【解析】∵A（3，﹣2），B（1，0）平移后的对应点C（5，x），D（y，0），
∴平移方法为向右平移2个单位，∴x＝﹣2，y＝3，∴x+y＝1，故选：C．
【小结】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
变式23： 在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣11＜m＜﹣4 B．﹣7＜m＜﹣4 C．m＜﹣7 D．m＞﹣4
【分析】首先根据平移表示出B点坐标，再根据B点所在象限列出不等式组，再解即可．
【解析】∵点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，
∴B（m+4，m+7），
∵点B在第二象限，∴m+4＜0，m+7＞0，解得：﹣7＜m＜﹣4，故选：B．
【小结】此题主要考查了点的平移，以及一元一次不等式组的应用，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
变式24： 在平面直角坐标系中，将A （m2，1）沿着x的正方向向右平移m2+3个单位后得到B点．有四个点M（﹣m2，1）、N（m2，m2+3）、P（m2+2，1）、Q（3m2，1），一定在线段AB上的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【解析】∵将A （m2，1）沿着x的正方向向右平移m2+3个单位后得到B点，∴B（2m2+3，1），
∵m2≥0，∴2m2+3＞0，
∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位，
因为点M（﹣m2，1）在点A左侧，不在线段AB上；
点N（m2，m2+3）距离x轴（m2+3）个单位，不在线段AB上；
点P（m2+2，1）在点A右侧，且距离x轴1个单位，在线段AB上；
点Q（3m2，1）是将A （m2，1）沿着x的正方向向右平移2m2个单位后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB延长线上．所以一定在线段AB上的是点P．故选：C．
【小结】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．
必考点9： 图形的平移
解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
例题9： 如图，三角形ABC经过一定的平移变换得到三角形A'B'C'，若三角形ABC上一点M的坐标为（m，n），那么M点的对应点M'的坐标为 ．
【分析】由图形得出△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，从而得到△ABC上任意一点平移后的对应点的坐标．
【解析】由图形知，△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，
∴△ABC上的一点M（m，n）平移后的对应点M′坐标为（m+4，n+2）
【小结】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
变式25： 如图，三角形ABC中任意一点P（x，y），经过平移后对应点为P1（x+4，y﹣2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若点A的坐标为（﹣4，5），则点A1的坐标为 ．
【分析】直接利用P点平移规律，进而得出A点平移规律．
【解析】∵三角形ABC中任意一点P（x，y），经过平移后对应点为P1（x+4，y﹣2），
∴点A1的坐标为：（﹣4+4，5﹣2），即（0，3）．
【小结】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出平移规律是解题关键．
变式26： 已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1（4，﹣3），则a﹣b﹣c+d的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【分析】由A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（4，﹣3），可得△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．
【解析】∵A（﹣3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（4，﹣3），
∴△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，
∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），
∴a+7＝c，b﹣5＝d，∴a﹣c＝﹣7，b﹣d＝5，
∴a﹣b﹣c+d＝a﹣c﹣（b﹣d）＝﹣7﹣5＝﹣12，故选：D．
【小结】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
变式27： 如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题．
（1）分别写出点A、点B、点C、点A'、点B'、点C'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）若点M（a+2，4﹣b）是点N（2a﹣3，2b﹣5）通过（1）中的平移变换得到的，求（b﹣a）2的值．
【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；
（2）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，代入计算可得．
【解析】（1）由图知，A（0，3），B（2，1），C（3，4），
A′（﹣3，0），B′（﹣1，﹣2），C′（0，1），
且△ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位可以得到△A′B′C′；
（2）由（1）中的平移变换的2a﹣3﹣3＝a+2，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝8，b＝4，
则（b﹣a）2＝（4﹣8）2＝（﹣4）2＝16．
【小结】本题主要考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
必考点10： 坐标系中的面积问题
直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴（y轴）的垂线，将原图形分割为可求
面积的图形，再求其面积和．
例题10： 如图，右边坐标系中四边形的面积是（ ）
A．4 B．5.5 C．4.5 D．5
【分析】过A点作x轴的垂线，垂足为E，将不规则四边形分割为两个直角三角形和一个直角梯形求其面积即可．
【解析】如图，作AE⊥BC，垂足为E，
则：S四边形ABCD＝S△OCD+S梯形ODAE+S△ABE=12×1×1+12×（1+2）×2+12×1×2＝4.5，故选：C．
【小结】本题考查了直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴（y轴）的垂线，将原图形分割为可求面积的图形，再求其面积和．
变式28： 如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 ．
【分析】设P点坐标为（x，0），则根据三角形面积公式得到12•4•|6﹣x|＝6，然后去绝对值求出x的值，再写出P点坐标．
【解析】设P点坐标为（x，0），
根据题意得12•4•|6﹣x|＝6，解得x＝3或9，所以P点坐标为（3，0）或（9，0）．
【小结】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式．
变式29： 已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）过点C向x、y轴作垂线，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解即可．
（2）设点P的坐标为（x，0），于是得到BP＝|x﹣2|，然后依据三角形的面积公式求解即可．
【解析】（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．
S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×4-12×2×4-12×1×2-12×2×3＝4．
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，∴12×1×|x﹣2|＝4．解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．
【小结】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．
变式30： 如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD
（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABDC？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据S△PAC＝S四边形ABDC求解可得．
【解析】（1）由题意知点C坐标为（﹣1+1，0+2），即（0，2），
点D的坐标为（3+1，0+2），即（4，2），
如图所示，S四边形ABDC＝2×4＝8；
（2）当P在x轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABDC，∴12AP⋅OC=8，
∵OC＝2，∴AP＝8，
∴点P的坐标为 （7，0）或 （﹣9，0）；
当P在y轴上时，∵S△PAC＝S四边形ABDC，∴12CP⋅OA=8，
∵OA＝1，∴CP＝16，
∴点P的坐标为（0，18）或 （0，﹣14）；
综上，点P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或 （0，﹣14）．
【小结】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，熟记各性质是解题的关键．
必考点11： 点的坐标规律问题之周期性
例题11： 在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（1﹣y，x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4…，若点A1的坐标为（3，2），则点A2020的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根据点P（x，y）的友好点是点P'（1﹣y，x﹣1），点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，分别计算前几个点的坐标，发现4个点一个循环，进而可得点A2020的坐标．
【解析】根据点P（x，y）的友好点是点P'（1﹣y，x﹣1），
点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，
…，
因为点A1的坐标为（3，2），
所以点A2的坐标为（﹣1，2），
点A3的坐标为（﹣1，﹣2），
点A4的坐标为（3，﹣2），
点A5的坐标为（3，2），
…
发现规律：4个点一个循环，所以2020÷4＝505，则点A2020的坐标为（3，﹣2）．故选：D．
【小结】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据题意准确计算前几个点的坐标，发现规律，运用规律．
变式31： 如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…按这样的运动规律，动点P第2020次运动到点（ ）
A．（2020，﹣2） B．（2020，0） C．（2019，1） D．（2019，0）
【分析】观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2020除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可．
【解析】∵2020÷4＝505，
∴动点P第2020次运动为第505个循环组的第4次运动，横坐标505×4﹣1＝2019，纵坐标为0，
∴点P此时坐标为（2019，0）．故选：D．
【小结】考查了规律型：点的坐标，本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．
变式32： 如图，在平面直角坐标系中，OA1＝1，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2022的坐标为（ ）
A．（1009，1） B．（1010，1） C．（1011，0） D．（1011，﹣1）
【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，即可得出点A2022的坐标．
【解析】由图可得，第一个正方形中，A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），
各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；
第二个正方形中，A5（3，0），A6（3，﹣1），A7（4，﹣1），A8（4，0），
各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，﹣1，﹣1，0；
根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，
∵2016÷8＝252，∴点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，故其纵坐标为﹣1，
又∵A6的横坐标为3，A14的横坐标为7，A22的横坐标为11，
…
∴A2022的横坐标为1011，∴点A2022的坐标为（1011，﹣1），故选：D．
【小结】本题主要考查了点的坐标变化规律问题以及正方形的性质的运用，解决问题的关键是判断点A2022在第253个循环中的第6个点的位置．
变式33： 如图，在4×8的长方形网格OABC中，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解析】如图，根据题意得：P0（0，3），P1（3，0），P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，
∴点Pn的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2020÷6＝336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故选：B．
【小结】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
必考点12： 点的坐标规律问题之递进性
例题12： 如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
A．（1012，1011） B．（1009，1008）
C．（1010，1009） D．（1011，1010）
【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
【解析】因为A1（﹣1，1），A2（2，1）
A3（﹣2，2）A4（3，2）
A5（﹣3，3）A6（4，3）
A7（﹣4，4）A8（5，4）
…
A2n﹣1（﹣n，n） A2n（n+1，n）（n为正整数）所以2n＝2020，n＝1010，所以A2020（1011，1010）
【小结】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．
变式34： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．（﹣26，50） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（25，50）
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．
【解析】经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．
故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：C．
【小结】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．
变式35： 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（ ）
A．（45，6） B．（45，13） C．（45，22） D．（45，0）
【分析】到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，横坐标以n结束的有n2个点，
【解析】观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，
横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，
∴横坐标以n结束的有n2个点，第2025个点是（45，0），∴2019个点的坐标是（45，6）；故选：A．
【小结】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
变式36： 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为（1，0），后面依次为（2，0），（1，2），（1，3），（2，2），（3，0）…，根据这个规律，第110个点的坐标为 ．
【分析】根据“→”方向，按照三角形斜边方向上的点的个数为连续自然数求出总个数的表达式，并且第奇数排从横坐标为1开始，第偶数排到最后一个点的横坐标为1结束，然后求出与第110个点最接近的点，然后确定答案即可．
【解析】从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、…，
所以点的总个数为：1+2+3+4+…+n=n(n+1)2，
当n＝14时，14×(14+1)2=105，
所以第110个点是当n＝15时的第5个点，
即第15个斜边上点为：（1，15），（2，14），（3，13），（4，12），（5，11）…
所以第110个点的坐标为（5，11）．
【小结】本题是对点的坐标变化规律的考查，从“→”方向考虑斜边上点的个数的变化规律解答是解题的关键．
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