2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第25讲 点、线与圆的位置关系 学案

第25讲　点、线与圆的位置关系
知识梳理
1点和圆的位置关系
设圆的半径为，点A到圆心的距离为．
位置关系
几何图形
与的大小比较
点在圆内

＜
点在圆上

＝
点在圆外

＞
2 直线与圆的位置关系
设圆的半径为，圆心到直线的距离为．
位置关系
几何图形
交点个数
与的大小比较
相交

2
＜
相切

1
＝
相离

0
＞
3 圆的切线
切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
证圆切线的技巧
（1）如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”；（2）如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证相等” ．
切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点；
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．
切线长
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间 线段的长叫做这点到圆的切线长
*切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4三角形与圆
确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆
三角形的外接圆
（1）经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；（2）外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．
三角形的内切圆
（1）与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
（2）内心是三角形三内角平分线的交点，到三角形各边的距离相等．
5年真题
命题点1 切线的性质与判定
1．（9分）（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．

解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，

∵AB＝AC，∴AB=AC，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，∴ABBC=BEAB，∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，

∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．
2．（9分）（2018•广东）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．

解：（1）连接OC，在△OAD和△OCD中，∵OA=OCAD=CDOD=OD，∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC=ACBC=2，∴设BC＝a、则AC＝2a，
∴AD＝AB=AC2+BC2=5a，∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OE=12BC=12a，AE＝CE=12AC＝a，在△AED中，DE=AD2-AE2=2a，
在△AOD中，AO2+AD2＝（5a2）2+（5a）2=254a2，OD2＝（OE+DE）2＝（12a+2a）2=254a2，
∴AO2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，则DA与⊙O相切；

（3）连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠BAD＝90°，
∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴DFAD=ADBD，即DF•BD＝AD2①，
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，∴ADOD=DEAD，即OD•DE＝AD2②，
由①②可得DF•BD＝OD•DE，即DFOD=DEBD，
又∵∠EDF＝∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∵BC＝1，
∴AB＝AD=5、OD=52、ED＝2、BD=10、OB=52，
∴EFOB=DEBD，即EF52=210，解得：EF=22．
3．（9分）（2017•广东）如图，AB是⊙O的直径，AB＝43，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；
（3）当CFCP=34时，求劣弧BC的长度（结果保留π）

（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠BCP，∴BC平分∠PCE．
（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCP+∠ACF＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∵∠BCP＝∠BCE，∴∠ACF＝∠ACE，
∵∠F＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF＝CE．
解法二：证明：连接AC．∵OA＝OC∴∠BAC＝∠ACO，
∵CD平行AF，∴∠FAC＝∠ACD，
∴∠FAC＝∠CAO，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE．
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，
∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，∴∠MCB＝∠PBM，
∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB＝∠BMP＝90°，
∴△BMC∽△PMB，∴BMPM=CMBM，∴BM2＝CM•PM＝3a2，
∴BM=3a，∴tan∠BCM=BMCM=33，∴∠BCM＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，∴BC的长=60⋅π⋅23180=233π．

4．（9分）（2016•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=34，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°
∵OA＝OC，∴∠AOC＝60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠AFC＝30°，
∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC＝90°，∴∠D＝∠AFC＝30°∴∠DAE＝∠ACF＝120°，
∴△ACF∽△DAE；
（2）∵∠ACO＝∠AFC+∠CAF＝30°+∠CAF＝60°，∴∠CAF＝30°，∴∠CAF＝∠AFC，
∴AC＝CF∴OC＝CF，∵S△AOC=34，∴S△ACF=34，∵∠ABC＝∠AFC＝30°，∴AB＝AF，
∵AB=12BD，∴AF=12BD，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∴AB＝BE＝AF，∴AFDE=13，
∵△ACF∽△DAE，∴S△ACFS△DAE=（AFDE）2=19，∴S△DAE=934，
过A作AH⊥DE于H，∴AH=33DH=36DE，∴S△ADE=12DE•AH=12×36•DE2=934，
∴DE=33；
（3）∵∠EOF＝∠AOB＝120°，在△AOF与△BOE中，∠OBE=∠OAF∠OEB=∠AFOOA=OB，
∴△AOF≌△BEO，∴OE＝OF，∴∠OFG=12（180°﹣∠EOF）＝30°，
∴∠AFO＝∠GFO，过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF＝∠OGF＝90°，
在△AOF与△OGF中，∠OAF=∠OGF∠AFO=∠GFOOF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG＝OA，∴EF是⊙O的切线．

命题点2 三角形的内接圆与外切圆
5．（4分）（2016•广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD．连接PA、PB、PC，若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF＝　1+32a　．

1+32a【解析】如图，连接OB、OC．

∵AD是直径，AB＝BC＝CD，∴AB=BC=CD，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
∴∠APB=12∠AOB＝30°，∠APC=12∠AOC＝60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP＝90°（AE是A到PB的距离，AE⊥PB），∴AE＝AP•sin30°=12a，
在Rt△APF中，∵∠AFP＝90°，∴AF＝AP•sin60°=32a，∴AE+AF=1+32a．故答案为1+32a．
3年模拟
1．（2020•天河区模拟）⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（　A　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．（2020•南沙区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（B　　）

A．140° B．110° C．70° D．40°
3．（2019•潮阳区一模）如图，∠ACB＝60°，半径为3的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　B　）

A．3 B．33 C．6π D．3
4．（2019•深圳模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　D　）

A．32° B．48° C．60° D．66°
5．（2020•龙岗区模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径r＝2，sinB=34，则弦AC的长为（　B　）

A．4 B．3 C．2 D．3
B【解析】如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，

∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，AD是⊙O的直径，∴∠B＝∠D，∠ACD＝90°．∵⊙O的半径r＝2，∴AD＝4．∵sinB=34，∴ACAD=34，即34=AC4，∴AC＝3．故选：B．
6．（2020•福田区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝　3　．

3【解析】连接OC，

∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠COB，
∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠B，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，
∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，
∴OD＝2+x，∵OD2＝OC2+CD2，
∴（2+x）2＝42+x2，解得：x＝3，
∴CD＝3，故答案为：3．
7．（2020•天河区模拟）如图，E为圆O上的一点，C为劣弧EB的中点．CD切⊙O于点C，交⊙O的直径AB的延长线于点D．延长线段AE和线段BC，使之交于点F．
（1）求证：△AFB和△CEF都是等腰三角形；
（2）若BD＝1，CD＝2，求EF的长．

（1）证明：连接OC，如图，
∵C为劣弧EB的中点．∴∠EAC＝∠BAC，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠FAC＝∠BAC，AC＝AC，∠ACF＝∠ACB，
∴△ACF≌△ACB，∴∠F＝∠ABC，BC＝CF，
∴△ABF为等腰三角形，∴CE-CB，
∴CE＝CB，∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形；
（2）解：连接BE交OC于H，如图，
∵CD切⊙O于点C,∴OC⊥CD，
设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，
在Rt△OCD中，r2+22＝（r+1）2，解得r=32，
∵C为劣弧EB的中点，∴OC⊥BE，
∴BH＝EH，∵BH∥CD，
∴CHCO=BDOD，即CF32=11+32，解得CF=35，
∵CF＝CB，HE＝HB，
∴CH为△BEF的中位线，∴EF＝2CH=65．

8．（2020•龙湖区一模）如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，①求证：ED是⊙O的切线；
②求证：DE2＝BF•AE；
③若DF＝35，cosA=23，求⊙O的直径．

（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，∵BA＝BC，
∴AD＝CD，即D点为AC的中点，
∵点O为BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，∴DE＝DF，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
而OB＝OD，∴∠BDO＝∠OBD，
∴∠ADE＝∠OBD，∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE：BF＝AE：DF，∴DE：BF＝AE：DE，
∴DE2＝BF•AE；
（3）解：∵∠A＝∠C，∴cosA＝cosC=23，
在Rt△CDF中，cosC=CFDC=23，
设CF＝2x，则DC＝3x，
∴DF=DC2-CF2=5x，
而DF＝35，
∴5x＝35，解得x＝3，
∴DC＝9，
在Rt△CBD中，cosC=DCBC=23，
∴BC=32×9=272，
即⊙O的直径为272．

9．（2020•高州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．

（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，OE=BE∠OEC=∠BEFCE=EF，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2，
∴OB＝OC＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴BF＝OC＝1，
∴AF=AB2+BF2=22+12=5，
∴S△ABF=12AB×BF=12AF×BD，
∴2×1=5•BD，
∴BD=255．
（3）解：作AG⊥CE于G，如图2所示：
∵AB＝2，
∴OA＝OC＝OB＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴OE＝BE=12OB=12，
∴AE＝OA+OE=32，
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC=22AB=2，
∵OC⊥AB，
∴CE=OC2+OE2=12+(12)2=52，
∵△ACE的面积=12CE×AG=12AE×OC，
∴AG=AE×OCCE=32×152=355，
∴CG=AC2-AG2=(2)2-(355)2=55，
∴cos∠ACF=CGAC=552=1010．