2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第24讲 圆的基本性质 学案
展开第24讲 圆的基本性质
知识梳理
1圆的有关概念
形成性定义 | 定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径． |
描述性定义 | 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点称为圆心，定长称为半径． |
弦 | 连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径；直径是圆中最长的弦． |
弧 | 圆的任意两点间的部分叫做弧；弧分为半圆、优弧、劣弧（一条直径将圆分成相等的两部分，每一部分就是一个半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧）． |
同心圆 | 圆心相同，半径不相等． |
等圆 | 圆心不同，半径相等的两个圆． |
等弧 | 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧． |
圆心角 | 顶点在圆心的角叫做圆心角． |
圆周角 | 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． |
2圆的对称性
对称性 | 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，对称中心是圆心． |
旋转不变性 | 圆具有旋转不变性，即圆旋转任意角度后都能与自身重合． |
圆心角、弧、弦之间的关系 | 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等．简称“知一得二” ． |
垂径定理 | 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
|
*垂径定理的推论 | （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． |
3圆周角定理及推论
圆周角定理 | 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． |
推论1 | 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等． |
推论2 | 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． |
推论3 | 圆的内接四形的对角互补． |
5年真题
命题点1 圆周角定理及推论
1．（4分）（2018•广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是 50° ．
命题点2 圆内接四边形性质
2．（3分）（2017•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（ C ）
A．130° B．100° C．65° D．50°
3年模拟
1．（2019•福田区模拟）下列语句中，正确的是（ D ）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
2．（2020•东莞市一模）如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（ B ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2020•龙岩模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（ B ）
A．10cm B．10cm
C．10cm D．8cm
4．（2020•英德市模拟）如图，点A，B，C均在圆O上，当∠BOC＝120°时，∠BAC的度数是（ B ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
5．（2020•新会区一模）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD＝36°，则∠ABD的度数为（ C ）
A．36° B．44° C．54° D．72°
6．（2020•顺德区三模）如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（ C ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4.5
7．（2020•金平区一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE．若∠A＝α，则∠DOE的度数为（ A ）
A．180﹣2α B．180﹣α C．90﹣α D．2α
8．（2020•湛江模拟）如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（ D ）
A．4 B．2 C．4 D．2
9．（2020•南山区一模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（B ）
A．48° B．96° C．114° D．132°
10．（2020•东莞市一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝67°，则∠ABC等于 23 度．
11．（2020•禅城区二模）如图，A，B，C，D是圆O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝72°，那么∠ADB＝ 54° ．
12．（2020•白云区一模）四边形ABCD内接于⊙O．若∠BAD＝83°，则∠BCD的度数是 97° ．
13．（2020•会昌县模拟）如图，五边形ABCD内接于⊙O，若AC＝AD，∠B+∠E＝230°，则∠ACD的度数是 65° ．
65°【解析】连接OC，OD，CE，DB．
在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC+∠AEC＝180°；
由圆周角定理知，∠AOC＝2∠AEC，
∴∠ABC∠AOC＝180°，
同理∠AED∠AOD＝180°
两式相加有：230°∠AOC∠AOD＝360°，即∠AOC+∠AOD＝260°，
∴∠COD＝360°﹣（∠AOC+∠AOD）＝100°＝2∠CAD，
∴∠CAD＝50°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD，
故答案为：65°.
