中考数学 专项训练 考点01 截长补短模型证明问题(基础)
展开专题01 截长补短模型证明问题
1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.
解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,
∵CE⊥AB
∴CF=CB
∠CFB=∠B
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°
∴∠D=∠AFC
∵AC平分∠BAD
即∠DAC=∠FAC
在△ACD和△ACF中
∠D=∠AFC
∠DAC=∠FAC
AC=AC
∴ACD≌△ACF（AAS）
∴AD=AF
∴AE=AF+EF=AD+BE
2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
解析：在AB上取一点E,使AE=AC,
连接DE,
∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD
∴△ACD≌△AED
∴CD=DE,∠C=∠3
∵∠C=2∠B
∴∠3=2∠B=∠4+∠B
∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE
∵AB=AE+BE
∴AB=AC+CD
3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.
解析：[来源:学&科&网]
延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC
∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°
∴∠2=∠E
∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE
∴△ABF≌△AED[来源:Z.xx.k.Com]
∠F=∠4，AF=AD
∵BC+BF=CD
即FC=CD
又∵AC=AC
∴△ACF≌△ACD
∴∠F=∠3
∵∠F=∠4
∴∠3=∠4
∴AD平分∠CDE.
4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC
解析：
如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠BCK=180°
∴∠BAD=∠BCK
在△BAP和△BKC中
AP=CK
∠BAP=∠BCK
AB=BC
∴△BPA≌△BKC（SAS）[来源:Z.xx.k.Com]
∴∠ABP=∠CBK,BP=BK
∵PQ=AP+CQ
∴PQ=QK
∵在△BPQ和△BKQ中
BP=BK
BQ=BQ
PQ=KQ
∴△BPQ≌△BKQ(SSS)
∴∠PBQ=∠KBQ
∴∠PBQ=∠ABC
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴∠ABC=180°-∠ADC
∴∠ABC=90°-∠ADC
∴∠PBQ=90°-∠ADC
5、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC.
解析：
由题意可得∠AOC=120°
∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°
在AC上截取AF=AE，连接OF，如图
在△AOE和△AOF中，
AE=AF
∠OAE=∠OAF
OA=OA
∴△AOE≌△AOF（SAS）
∴∠AOE=∠AOF，
∴∠AOF=60°
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60°
又∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF
同理可得：△COD≌△COF（ASA）
∴CD=CF
又∵AF=AE
∴AC=AF+CF=AE+CD
即AE+CD=AC
6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
解析：
在BC上取点F，使BF=AB
∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线
∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE
∵AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
在△ABE和△FBE中
AB=FB
∠ABE=∠FBE
BE=BE
∴△ABE≌△FBE（SAS）
∴∠A=∠BFE
∴∠BFE+∠D=180°
∵∠BFE+∠EFC=180°
∴∠EFC=∠D
在△EFC和△EDC中，
∠EFC=∠D[来源:学§科§网]
∠BCE=∠DCE
CE=CE
∴△EFC≌△EDC（AAS）
∴CF=CD
∵BC=BF+CF
∴BC=AB+CD
7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC
（1） 证明：∠BAD+∠BCD=180°
（2） DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.
[来源:Z_xx_k.Com]
【解析】（1）过点D作BA的垂线，得△DMA≌DEC（HL）
∵∠ABC+∠MDE=180°，∠ADC=∠MDE
∴∠ABC+∠ADC=180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
（2）S四边形ABCD=2S△BED=18
8、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.
【解析】在CD上取一点M使得DM=DB
则CD-BD=CM=AB
∴∠AMD=∠B=2∠C
9、如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.
求∠CAF的度数
判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.
【解析】
（1）延长AF与BC交于点M，可知AF⊥BC
∵BD=DC，BD⊥DC∴∠FBC=45°
∵AF=FG，FD⊥AG∴∠AFD=GFD=45°
∴AF⊥GF
∴∠CAF=45°
（2）由（1）可证FG∥BC
