中考数学复习几何证明计算题型(包括全等相似)解题四条基本数学素养 学案

几何证明计算题型(包括全等相似)解题四条基本数学素养

（一）会审图

①基础要求：题目已知条件、所求结论能在图形上得到体现；

②关键内容：想“办法”（性质、定理等）拉近已知条件、所求结论之间的图形位置；

例1.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图1，菱形ADFE为△ABC的亲密菱形。如图书2，在△CFE中，CF=6，CE=12,∠FCE=45°，以点为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于1/2AD长为半径做弧，交EF于点B，AB//CD.

(1)求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；

(2)求四边形ACDB的面积.

解析：

【审图】：（1）如图3，由题目条件中的尺规作图可知：CA=CD、AB=BD，当这些条件在图上呈现出来后，就能很快找到“判别四边形ACDB为菱形的条件-----四边相等”，即需证CD=BD或CA=AB，以CD=BD为例，则△CDB是等腰三角形，由题目条件“AB//CD”，我们就应联想到一个数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰△”，即要证△CDB是等腰三角形，只需要找出图中隐藏的“一条角平分线”即可，而由尺规作图就能得出CB就是∠FCE的角平分线，这样整个第（1）小题的分析思路线就完整、明确了。

步骤过程：由尺规作图痕迹可得：AC=CD，AB=DB，BC是∠FCE的角平分线，则∠ACB=∠DCB，

又∵AB//CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA， 四边形ACDB是菱形.∵∠ACD与∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点在EF上，∴四边形ACDB为△CFE的亲密菱形.

【审图】：（2）如图4.计算菱形的面积有两种常用方法：底×高、对角线乘积的一半；审好图，可以快速帮我们找到最适合此题的面积方法。将条件：“∠FCE=45°”呈现在图上，结合积累的解题经验：图形若出现45°角，最常用的用法是构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边角关系解题。故作AH⊥CD于点H，而恰恰这条垂线，给了我们选择面积方法的暗示：底×高。面积方法确定后，则可进一步思考：解决底CD、高AH的长度问题，由于△ACH是等腰直角三角形，高AH与线段AC（即底CD）的关系是√2倍的关系，求“底CD、高AH的长度问题”，最终归纳到一个问题：求菱形ACDB的边长问题，这样思考的重点就明确了。将已知条件“CF=6，CE=12”，及所求结论“CA=CD=？”呈现的图上，依审图内容要求“想办法拉近已知条件、所求结论之间的图形位置”，从图上不难度发现，已知条件与所求结论的图形位置，恰好一个放大与缩小关系，而初中几何中与“图形放大与缩小关系”有关联的知识点也就一个：相似，所以这个“办法”就是利用相似知识来求解“菱形ACDB的边长”；利用相似来解题，首先在审图上的要求就是：“找出图中与条件位置最接近的相似典型图形”，就能发现图4中有一个“A字模型”，便可得到：AF：CF=AB：CE，而AF=6-CA，CA=AB，利用方程思想，即可求出AC的长，再利用CA与AH的√2倍的关系可得AH的长，即可求解四边形ACDB的面积，这样，我们从图形中，就能找到解决此小题的全部的思路线。

(2)解：设菱形ACDB的边长为x，∵AB//CE，∴AF：CF=AB：CE，即(6-x):6=x:12，解得：x=4,过A点作AH⊥CD于点H，在直角△CAH中，∠FCE=45°，AH=AC=, ∴菱形ACDB的面积为：.

例2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过

点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．

（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．

【审图分析】

（1）如图1-1，初三求线段DE的长，首选相似，而找相似三角形，首先在图形上找出与线段DE位置联系最靠近的“相似典型图形”，这样不难发现，图中存在一个相似的典型图形：“8字模型”----△ADE∽△FCE，已知AD=BC=3，DC=AB=4，AC=5，关键是求出线段FC的长度，由题目条件“AF是角平分线、AD//BF---角平分线与平行线”，我们可以联想到一个数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰△”，即图中一定隐藏着一个等腰三角形，这样，不难得出△ACF是等腰三角形，则CF=AC=5，如图1-2，利用方程思想与相似边成比例的性质，即可求出DE的长；由图形审出的完整解题思路线就形成了。

【解题过程】解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，

∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴，∴CF＝5，

∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴AD：CF=DE：CE，设DE＝x，则3：5=x:(4-x)，解得x＝1.5,∴DE=1.5；

【审图分析】

（2）①如图2-1，∠1的图形位置处于矩形ABCD的内部，而∠DFC的位置处于整个图形的右上角，首先想办法将这两个角的图形位置“拉近”，“办法”就是利用AH//DF，可得∠DFC=∠2，则∠DFC的图形位置就往下“移”了，此时不难发现，∠1与∠2的图形位置，与知识点“平行线与内错角关系”的图形位置相同，故只需要证明EG//BF即可，

②初中几何中证明两直线平行，一般有两个思考角度：从同位角（内错角、同旁内角）的角度思考、及初三相似中“对应边成比例时两直线平行”这个角度思考，由第（1）小题题目设置“求DE的长”，不难确定首先思考方向：从边成比例的角度证EG//BF，如图2-2，已知DE：DC=1.5：4=3：8，只需求解DG：DB=3：8即可；

③求DG：DB，仍是首选相似，仍是首先在图形上找出与线段DG、DB位置联系最靠近的“相似典型图形”，这样不难发现，图中存在一个相似的典型图形：“8字模型”----△ADG∽△HBG，则DG：GB=AD：BH，故只需求出CH的长即可，则（1）可知CF=5，故只需求FH的长即可，而由AH//DF，AD//FH，可知四边形ADFH是平行四边形，可得FH=AD=3，则HC=2，BH=5，DG：GB=3：5，则DG：DB=3：8，这样，由图形审出的完整解题思路线就形成了。

【解题过程】证明：∵AD∥FH，AF∥DH，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，

∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴DG：BG=AD：BH=3：5，∴DG：BG=3：8，∵DE=1.5，DC=4，∴DE：DC=1.5：4=3：8，∴DG：BG=DE：DC，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∴∠1＝∠DFC．

（二）典型图形、模型要熟悉—-能从题目特点或图形特点能迅速明确

例3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4,点E在AC上，且AE=1，

连接BE，∠BEF=90°，且BE=FE，连接CF，则CF的长为____________

【思路分析】讲义《勾股定理》第一页很明确指出，求线段长题型，首选勾股定理，

要用勾股定理，首先找直角三角形，找直角三角形的三种变化题型，此题属于第三种：构造直角三角形，即把CF置于直角三角形中，辅助线也是围绕着CF是所构造的直角三角形的直角边或斜边而展开，但要明确一个，所构造的直角三角形必须充分利用到已知边，如构造Rt△CFD，不仅使CF置于直角三角形中，且所形成的Rt△EFD与已知边EF、EC联系最紧密，且最关键的是，它能构造出一个数学典型模型-----“一线三垂直模型”，易证△BEC≌△EFD(AAS),则FD=EC=3,DE=BC=4,则DC=1,在Rt△CDF中，由勾股定理可得CF=，这样问题就解决了。

例4.如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（），∠APB=90°,将△ADP沿AP翻折得到△，的延长线交边AB于点M，过点B作BN//MP交DC于点N。（1）求证：（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM,PB于点E,F，若，求的值。

【思路分析】

（1）“”是相似三角形中的一类典型题型：“乘积比”，首先转化成“比例式”：，当我们在图上呈现这几条线段（AD、DP、PC）时，不难发现图中有一个数学典型模型：“一线三垂直模型”，如图3-1，当相似图形中出现“一线三垂直模型”，一定会先证△ADP∽△PCB，则可得，再利用等量代换（CB=AD）好可得出，这样论证第（1）小题的完整思路线就形成了。

【解题过程】∵∠D=∠APB=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∵∠D=∠C，∴△ADP∽△PCB，∴，∵BC=AD，∴，∴；

【思路分析】（2）由CD//AB，PM//BN易知四边形PMBN是平行四边形，这样我们可以首先考虑利用“邻边相等的平行四边形是菱形”来判别，即只需证PM=MB，即△PMB是等腰三角形，如图3-2，而题目条件中有“CD//AB---有平行线”，这让我们联想到了折叠问题中常出现的一个数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰△”，如果能证出PB是角平分线，则此小题就迎刃而解了，这样此小题的解题关键明确了----证PB平分∠MPC，利用折叠性质及余角性质即可求证。

【解题过程】由折叠性质可得∠4=∠5，∵∠4=∠7=90°，∠5+∠6=90°，∴∠6=∠7，∵PC//MB，∴∠7=∠8，∴∠6=∠8，∴MP=MB，∵PN//MB，PM//BN，∴四边形PMBN是平行四边形，∵PM=MB，∴平行四边形PMBN是菱形；

【思路分析】初三题中遇到求线段比的问题，首先考虑相似，要找相似三角形，首先在图中找出与线段AE、EF图形位置联系最靠近的相似典型图形，不难发现图中隐藏着两个相似的典型图形：“8字模型”---图3-3中的△AEM∽△CEP，图3-4中的△AFB∽△CFP，接着要确定利用这二组三角形中的哪四条线段来参与成比例。结合解题经验“题中出现线段比的，常用设参数的方法来参与计算”，即设DP=a，AD=2a，依“解题思路的延续性”，第（1）、（2）题的设置，必定要运用到第（3）小题的论证过程中，这样，则（1）的结论可得PC=4a，DC=AB=5a；由（2）中的PM=MB及△APB是直角三角形，不难联想到一条性质：直角三角形斜边上的中线会等于斜边的一半，即M很有可能是AB的中点，也很容易证明到这个结论，则AM=AB=2.5a，此时，我们就可以明确图3-3、图3-4两组三角形相似涉及到的哪四条边参与计算，则有、，即、，可得AE=AC、AF=AC、则EF=AF-AE=AC,即可求解的值

【解题过程】设DP=a，则AD=2a，由“”可得PC=4a，则DC=AB=5a；由（2）可知∠6=∠8，∵∠6+∠7=90°，∠8+∠9=90°，∴∠7=∠8，∴PM=AM，∴AM=MB=2.5a；∵PC//AM，∴，∴，AE=AC，又∵PC//AB，∴，∴，AF=AC，∴EF=AF-AE=AC,∴；

（三）典型题型的典型方法要熟悉

例5.如下图，已知直线y=x-4分别与坐标轴交于A、B两点，直线OG：y=kx(k<0)交AB于点D.

（1）求A、B两点坐标；

（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF=AE时，求EF的长；

（3）如图2，若，过点B作BC//OG，交x轴于点C，此时在轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO=45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路分析】

一次函数属代数内容，所涉及线、角、形又是几何内容，所以一次函数几何综合题型，思路分析及解题方法上常有两种：代数论证方法和几何论证方法，积累这种题型的这一解题方法，会让我们在思考分析时，思路很开阔的。

如第（2）小题的求线段长，代数角度思考是：设F点的坐标（利用AE⊥OG可求出OG表达式），利用两点间的距离公式表示出线段OF的长，利用OF=AE=，列方程即可求解F点坐标，再次利用两点间的距离公式即可求出EF的长；

从几何角度思考是：求EF的长，首选勾股定理，先寻找EF所在的直角三角形，尽管图中存在，但这个三角形的顶点题目未给出，且这个三角形的另两条边与题目条件近似无联系，暂不考虑，故需要添辅助线构造，怎样添辅助线，由题目已知条件决定，不是随意作条垂线即可，图形中一定有暗示----连接BF，△OEA与△OBF就组成了一个数学典型模型“一线三垂直”的变化模型—---交叉型一线三垂直模型，如图1；通过△OAE≌△BOF即可证明BF⊥OB，便可求出BF=OE=2，BE=OE=2，利用勾股定理即可求出EF的长；

（3）数学典型题型----动点的存在性问题，解题经验是先画草图，再找思路，如图2、3。由“解题思路的延续性”可知，条件中的“45°角”一定藏有“后手”，这样就可找到题目的隐藏条件：∠OBA=∠OAB=45°，依“条件的联系性”，首先考虑∠OBA=45°与条件“∠ABM+∠CBO=45°”之间的联系性-----∠ABM+∠OBM=45°，原来∠OBA=∠ABM，即C点与M点关于y轴对称，这样就解决了第一种分类讨论情况的M点的坐标；

当点M在A点右侧时，结合∠OBA=45°，易得∠CBM=90°，函数中出现两条线垂直，同样可以从代数和几何两个角度思考解题：①从代数角度思考是：先求出直线BC的解析式，利用“两直线垂直K值互为负倒数”及B点坐标可求出直线BM的解析式，进而可得M点的坐标；②从几何角度思考是：有直角必定可以运用勾股定理，△CBM中藏有一个数学典型模型：双垂直模型。设M点坐标表示出线段OM、BM的长，已知OB、CB的长，利用“双垂直模型”的等面积用法：CM×OB=BC×BM列方程即可求出点M的坐标；

例6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=,AC=       ．

【思路分析】

①如图1-1，题目出现“两条角平分线”，一般有两个思考方向：1.利用“两角平分线与另一角的角度关系”解题；2.利用“三条角平分线交于一点”解题，如图1-1，先利用第1个思考方向---“两内角角平分线：”，便可得出∠AFB=135°，进而得出∠AFE=45°；

②如图1-2、图1-3，∠AFE=45°这个结论的得出，是解决此题的“突破口”和思路的关键点，由∠AFE=45°联想到一条解题经验：“出现45°往往构造等腰直角三角形”，所以作EM⊥AD于点M，则△EFM是等腰直角三角形，由EF=，便可算出MF=EM=1，则AM=3，由勾股定理得出AE=，

③如图1-4，这样，在所求线段AC的图形周围，我们已知知道了线段AF、AM、EM、EF、AE的长度，欲求线段AC的长，仍走相似的思路，仍是首先从图上找出相似的典型图形，连接CF，就出现了一个相似的典型图形“共角模型”：△AEF与△AFC，由“三角形三条角平分线会交于一点”可知CF是∠ACB的角平分线，则∠ACF=45°，则易证△AEF∽△AFC，得，即可求出AC的长；

【解题过程】∵BE、AD分别是∠ABC、∠BAC的角平分线，∴，∴∠AFE=45°，作EM⊥AD于点M，∵EF=，∴ MF=EM=1，∴AM=3，由勾股定理得出AE=，连接CF，由“三角形三条角平分线会交于一点”可知CF是∠ACB的角平分线，则∠ACF=45°，∵∠EAF=∠FAC，∠AFE=∠ACF=45°，∴△AEF∽△AFC，∴，即，∴

（四）思路分析过程要讲究“解题思路的延续性”

例7. 如图，在长方形ABCD中，AB=4,BC=8，点E是BC边上一点，且AE=EC，点P是边AD上一动点，连接PE，PC，则下列结论中，①BE=3；②当AP=5时，PE平分∠AEC；③△PEC周长的最小值为15；④当AP=时 ,AE平分∠BEP，其中正确的个数有（     ）个

  A.   4    B.   3   C.  2    D.    1

【思路分析】

多结论题型，是初中几何中一类最经典的题型，是初二、初三、中考必考题型，它相当于一道简化版的解答题，这时有一个非常重要的解题技巧一定要知晓：题目小题的设置，50%起考查作用，另50%起暗示作用，即它会提示你在解决后面小题时的思路方法，这就是我们常说的“解题思路的延续性”。

（1）判别BE是否等于3，联想到一类典型题型：“求线段长问题”，找到“运用勾股定理解题”的方法，配合方程思想即可求解。

设BE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ABE中，由“”可得“”，解得x=3，①正确；

（2）①设置BE=3绝对不是乱设置的，它可得到AE=5，而AP=5这个数字也不是随意设置了，它可得到AE=AP，即存在等腰三角形，长方形又存在平行线，求证的是角平分线，联想到数学典型模型“等腰△+平行线=角平分线”，沿着这个模型的解题思路即可解题；

如图1，由①可知AE=EC=5,∵AP=5,∴AP=AE,△APE是等腰三角形，∴∠1=∠2,∵AD//BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，PE是角平分线，②正确；

（3）周长即是线段的和，由周长的最小值联想到线段和的最小值问题，此题属于“将军饮马问题”的“一动两定”情形，沿着这一模型的思路过程即可解题；

如图2，△PEC的周长=PE+PC+EC=PE+PC+5，当周长最小时，则PE+PC最小，作C关于AD的对称点C`，连接C`E，交AD于点P，此时PE+PC的最小值=C`E=,则周长最小值为，③错误；

（4）②与④题目结构相类，即也可以利用数学典型模型“等腰△+平行线=角平分线”的思路来分析，只要求出PE的长也是等于，便会出现“等腰三角形+平行线”的情形，即可论证AE是否是角平分线；

如图3，若AE是角平线，则AP=PE,△APE是等腰三角形，只要计算出PE=即可，作EF⊥AD于点F，则BE=AF=3,则PF=AP-AF=，Rt△PFE中，由勾股可得PE=，故④正确.①②④正确，选B.

例8.已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：①△BCE≌△ACF；②△CEF是正三角形；③∠AGE=∠BEC；④若AF=1，则EG=3FG.正确的有（    ）个

A.   1  B.  2   C.   3   D.    4

【思路分析】

（1）如图1-1，①的结论很容易证明，用SAS证即可，但它的作用不在于此，而是全等之后得到的性质，将会在之后的论证中得以应用，这一点不能忽视；

（2）如图1-2，②的证明就必须要运用到①中的全等性质：∠1=∠2，EC=FC，由∠1+∠3=60°可得∠2+∠3=60°，由性质“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，即可证明②结论的正确性；同时②的结论也同样会运用到之后的论证过程中，这一点也不能忽视；

（3）如图1-3，∠AGE在图形的左上位置，而∠BEC在图形的左下位置，由“审图要求”可知，我们要想“办法”拉近这两个角的图形位置，这个“办法”就是①中的全等性质：∠BEC=∠AFC，这样∠BEC的图形位置就“拉”到了图形的左上角∠AFC的位置，距离∠AGE的位置更近了，便仍不够近，∠AGE处于△AGF的外部，还可以利用“外角性质”这个办法将这两个的角的图形位置进一步拉近，∠AGE=∠GAF+∠AFG=60°+∠AFG，而∠AFC=∠AFG+∠EFC，利用②的结论可知∠EFC=60°，所以∠AFC=∠AFG+60°，便可得∠AGE=∠AFC，即可证明③的正确性；

（4）如图1-4，求线段EG、FG的倍分关系，首先考虑相似，将题目条件BE=AF=1，AE=3，EG、FG呈现在图上，由AG是角平分线，不难联想到相似性质中补充的一个课外知识：“角平分线的边比例性质”，即，即可论证④的正确性；

【解题过程】（1）∵BE=AF、∠B=∠FAC=60°，BC=AC，∴△BCE≌△ACF，①正确；

（2）∵△BCE≌△ACF，∴∠BCE=∠ACF，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠ACF+∠ACE=60°，即∠FCE=60°，∵EC=FC，∴△CEF是正三角形，②正确；

（3）∵△BCE≌△ACF，∴∠BEC=∠AFC，∵∠AGE=∠GAF+∠AFG=60°+∠AFG，∠AFC=∠AFG+∠EFC=∠AFG+60°，∴∠AGE=∠AFC，∴∠AGE=∠BEC，③正确；

（4）∵AG平分∠EAF，由角平分线相似性质可得：AE：AF=EG：GF，∵AF=BE=1，AB=4，∴AE=3，∵AE：AF=EG：GF=3：1，即EG=3FG，④正确；