专题03 相似三角形模型解题-决胜中考数学之模型解题高分攻略（教师版）学案

解题模型一  A字型

针对训练

1．（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

（1）求证：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；

（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．

【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．

2．（2018•黄石）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．

（1）如图1，若EF∥BC，求证：

（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．

【分析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得=，根据=（）2即可得证；

（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得=，根据=即可得证；

（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△ABM=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，从而得==+a，结合==a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．

∴=.

∴==.

（3）如图2，连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，则MN分别是BC、AC的中点，

【点睛】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．  #

3．（2017•衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．

（1）求证：△COD∽△CBE；

（2）求半圆O的半径r的长．

【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．

（2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．

【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

4．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC； 

（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．

[来源:Z&xx&k.Com]

【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．[来源:Z&X&X&K]

解题模型二  8字型

针对训练

5．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．

【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．

∴=.

∴=.

∴AE=2CE.

∵AC=6=AE+CE，

∴AE=4．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，能求出AE=2CE和△ABE∽△CDE是解此题的关键．

6．（2017•来宾）如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至F，使AH=3FH，过F作FG⊥CD，垂足为G，过F作BC的垂线交BC的延长线于点E．

（1）求证：△ADH∽△FGH；

（2）求证：四边形CEFG是正方形．

【分析】（1）由正方形的性质以及FG⊥CD得出∠ADH=∠FGH=90°，结合对顶角∠AHD=∠FHG，即可判定△ADH∽△FGH；  #

（2）根据三角形相似的性质得出GF=CG，再根据已知条件FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，即可判定四边形CEFG是正方形．

∴==3.

∵GF=AD，DH=CH，

∴CG=2GH.

∴CD=6GH.

∴CG=CD.

∴GF=CG.

∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，

∴四边形CEFG是正方形．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

解题模型三  母子型

针对训练

7．（2018•东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．

（1）求证：∠CAD=∠BDC；

（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．

求出CD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．[来源:]

∴CD=2．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出．  #

解题模型四  一线三等角型

针对训练

8．（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD．

（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．

【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；

（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．

9．（2018•盐城节选）如图，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．

（1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=　  　；

（2）求证：△EBD∽△DCF．

【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE=BD的，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠DEF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC﹣BD；  %

（2）证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角•相似模型”，根据“AA”判定相似.

∴∠CDF+BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°.

∴∠BED=∠CDF．

又∠B=∠C=60°，

∴△EBD∽△DCF.

10．（2017•东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°.

∴∠ABD=∠ADE=30°.

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB.

∴△ABD∽△DCE.

（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

（3）当AD=DE时，如图2，

由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，  #

则AB=CD，即2=2﹣x，

x=2﹣2，代入y=x+2，

解得y=4﹣2，即AE=4﹣2.

当AE=ED时，如图3，

∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

则ED=EC，即y=（2﹣y）.

解得y=，即AE=.

当AD=AE时，

∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，

∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．

【点睛】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．

解题模型五  一线三垂直型

针对训练

11．（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．

（1）求证：△ABE∽△BCD；

（2）若MB=BE=1，求CD的长度．

【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；

（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB、GH和CD的数量关系，求得CD．

【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线，[来源:ZXXK]

∴∠ABC=90°.

∵DC⊥BC，

∴∠BCD=90°.

∴∠ABC=∠BCD.

∵AB是⊙M的直径，

∴∠AGB=90°，即BG⊥AE.

∴∠CBD=∠A.

∴△ABE∽△BCD.

（2）解：过点G作GH⊥BC于点H.

∴GH=.

又∵GH∥AB，  &

【点睛】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．

12．（2018•武汉）在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；

（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．

【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM=∠CBN，即可得出结论；

（2）先判断出MP=MC，进而得出=，设MN=2m，PN=m，根据勾股定理得，PM==3m=CM，即可得出结论；

（3）先判断出=，再同（2）的方法，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠BNC=90°.

∴∠BAM+∠ABM=90°.

∵∠ABC=90°，

（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC==，

如图3，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H.

∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE.  %

∴=.

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，

∴.[来源:ZXXK]

设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，

∵AB=AE，AG⊥BE，

∴EG=BG=4m.

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图1是解本题的关键．