2021年 中考数学 专题复习：三角形（含答案）
展开2021年 中考数学 专题复习：三角形
一、选择题
1. 在一个三角形中，有一个角是55°，则另外的两个角可能是( )
A．95°，20° B．45°，80°
C．55°，60° D．90°，20°
2. 如图，已知AB=AE，AC=AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是 ( )
A.∠B=∠E B.∠BAD=∠EAC C.∠BAC=∠EAD D.BC=ED
3. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( )
A. 35° B. 95° C. 85° D. 75°
4. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( )
A．65° B．70° C．75° D．85°
5. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )
6. 如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是☉P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7. 如图，小明做了一个长方形框架,发现它很容易变形,请你帮他选择一个最好的加固方案 ( )
8. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
9. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为 ( )
A.118° B.119° C.120° D.121°
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于( )
A. B. C. 2 D.
二、填空题
11. 将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= .
12. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 .
14. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.
16. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．
17. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
三、解答题
18. 已知：如图，B，E，F，C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求证：OA＝OD.
19. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是142.5 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm，求DE的长．
20. 如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．
21. (2019•大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732)；
(2)确定C港在A港的什么方向．
2021年 中考数学 专题复习：三角形-答案
一、选择题
1. 【答案】B [解析] ∵在一个三角形中，有一个角是55°，∴另外的两个角的和为125°，各选项中只有B选项中的两个角的和为125°.故选B.
2. 【答案】A [解析]∵AB=AE，AC=AD，∴当∠BAD=∠EAC或∠BAC=∠EAD时，依据SAS即可得到△ABC≌△AED;
当BC=ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED;
当∠B=∠E时，不能判定△ABC≌△AED.
3. 【答案】C 【解析】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠A＋∠B＝∠ACD，∠B＝35°，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°.
4. 【答案】B [解析] ∵DE⊥AB，∠A＝35°，
∴∠CFD＝∠AFE＝55°.
∴∠ACB＝∠D＋∠CFD＝15°＋55°＝70°.
5. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC、BD交于点O，由于点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，所以0＜x＜2.当0＜x＜1时，△AMN∽△ABD⇒＝⇒＝⇒MN＝x⇒y＝x2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x＝0，此时y随x的增大而增大. 所以B和D均不符合条件．当1＜x＜2时，△CMN∽△CBD⇒＝⇒＝⇒MN＝2－x⇒y＝x(2－x)＝－x2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x＝1，此时y随x的增大而减小. 所以A不符合条件．综上所述，只有C是符合条件的．
6. 【答案】B [解析]如图所示，当点D到弦OB的距离最大时，DE⊥OB于E点，且D，E，P三点共线.连接AB，由题意可知AB为☉P的直径，∵A(8，0)，∴OA=8，∵B(0，6)，∴OB=6，∴OE=BE=OB=3，在Rt△AOB中，AB==10，∴BP=AB=×10=5，在Rt△PEB中，PE==4，
∴DE=EP+DP=4+5=9，∴tan∠DOB===3，故选B.
7. 【答案】B [解析] 三角形具有稳定性,选项B通过添加木条,把长方形框架变成两个三角形,从而具有稳定性.
8. 【答案】C [解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；
选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；
选项C中添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．
故选C.
9. 【答案】C [解析] ∵∠A=60°,∠ABC=42°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.
∵∠ABC,∠ACB的平分线分别为BE,CD,
∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.
故选C.
10. 【答案】B 【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝AB＝，故选B.
二、填空题
11. 【答案】40° [解析]由三角形内角和定理知，180°-(∠1+∠2)+180°-(∠3+∠4)+∠5=180°，整理，得∠5=(∠1+∠2+∠3+∠4)-180°=220°-180°=40°.
12. 【答案】10＋1 【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10 m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10 m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.
13. 【答案】8 [解析]∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°.
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=30°.
延长CD到H使DH=CD，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD.
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC(SAS)，
∴AH=BC=4，∠H=∠BCD=90°.
∵∠ACH=30°，
∴CH=AH=4，∴CD=2，
∴△ABC的面积=2S△BCD=2××4×2=8.
14. 【答案】4 【解析】∵△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×12＝6，AG＝2GD，∴由三角形的面积公式得S△ACG＝S△ACD＝4，又∵AE＝CE，∴S△CEG＝S△ACG＝2，同理S△BGF＝2，∴S阴影＝2＋2＝4.
15. 【答案】114 [解析] 因为AB∥CD，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC＝∠BAB′＝22°.在△ABC中，∠B＝180°－(∠BAC＋∠2)＝114°.
16. 【答案】或
【解析】∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，
∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示，
∵，，
∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴点横坐标为﹣4，，，，
∵∽，
∴，即，
解得：，
∴点．
②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图2所示，
∵，∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
∴，∴，
∵∽，
∴，即：，
解得：，，
∴，
∴点，
综上所述：点的坐标为：或，
故答案为：或．
17. 【答案】32° [解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.
∴∠PCF＝∠ACF，∠PBF＝∠ABC.
∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝(∠ACF－∠ABC)＝∠BAC＝32°.
三、解答题
18. 【答案】
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE.
∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC.
∴OF＝OE.
∴AF－OF＝DE－OE，即OA＝OD.
19. 【答案】
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
设DE＝x cm，则S△ABD＝AB·DE＝×20x＝10x(cm2)，S△ACD＝AC·DF＝×18x＝9x(cm2)．
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴10x＋9x＝142.5，
解得x＝7.5，∴DE＝7.5 cm.
20. 【答案】
延长、交于点、．
由等腰三角形三线合一可得、
再由三角形中位线可得．
21. 【答案】
(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，
∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，
∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1 km．
(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
