2021年中考复习数学专题训练：《二次函数》选择题专项培优（一）

2021年中考复习数学专题训练：
《二次函数》选择题专项培优（一）

1．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y＝ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（　　）

A．L1为x轴，L3为y轴 B．L1为x轴，L4为y轴
C．L2为x轴，L3为y轴 D．L2为x轴，L4为y轴
5．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y＝0是抛物线y＝x2的切线；
②直线x＝﹣2与抛物线y＝x2 相切于点（﹣2，1）；
③若直线y＝x+b与抛物线y＝x2相切，则相切于点（2，1）；
④若直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2相切，则实数k＝．
其中正确命题的是（　　）
A．①②④ B．①③ C．②③ D．①③④
7．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
10．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
11．若A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
12．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　）
A．y＝x2+8x+14 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+3
14．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y＝a（a为常数）与C1、C2的交点共有（　　）
A．1个 B．1个或2个
C．1个或2个或3个 D．1个或2个或3个或4个
15．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝﹣x2+x﹣2 C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2+x+2
16．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（　　）
A．有最大值． B．有最大值﹣．
C．有最小值． D．有最小值﹣．
17．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）
A． B．2 C． D．
18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
19．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）
A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4
21．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　）
A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12
22．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　）

A． B．
C． D．
23．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y＝﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
24．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
25．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（　　）
A．140元 B．150元 C．160元 D．180元








参考答案
1．解：解得或．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；
故选：D．
2．解：由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0
∴x2＝﹣1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：C．
3．解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
解法二：
①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；
②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；
故选：B．
4．解：∵y＝ax2+2ax+1，
∴x＝0时，y＝1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1），即抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴L2为x轴；
∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即对称轴在y轴的左侧，
∴L4为y轴．
故选：D．
5．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，
∴x＝h＜4．
故选：D．
6．解：①∵直线y＝0是x轴，抛物线y＝x2的顶点在x轴上，∴直线y＝0是抛物线y＝x2的切线，故本小题正确；
②∵抛物线y＝x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x＝﹣2与y轴平行，∴直线x＝﹣2与抛物线y＝x2 相交，故本小题错误；
③∵直线y＝x+b与抛物线y＝x2相切，∴x2﹣x﹣b＝0，∴△＝（﹣1）2﹣4×b＝1+b＝0，解得b＝﹣1．把b＝﹣1代入x2﹣x﹣b＝0得x＝2，把x＝2代入抛物线解析式可知y＝1，∴直线y＝x+b与抛物线y＝x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；
④∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2 相切，∴x2＝kx﹣2，即x2﹣kx+2＝0，△＝k2﹣2＝0，解得k＝±，故本小题错误．
故选：B．
7．解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b＝，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
8．解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
故选：C．
9．解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：

则，
解得c＜﹣2，
故选：B．
10．解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
11．解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+5中a＝﹣1＜0
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣2
∵B（﹣1，y2），C（，y3）中横坐标均大于﹣2
∴它们在对称轴的右侧y3＜y2，A（﹣，y1）中横坐标小于﹣2，
∵它在对称轴的左侧，它关于x＝﹣2的对称点为2×（﹣2）﹣（﹣）＝﹣，＞﹣＞﹣1
∵a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
12．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），
所以原式可化为a﹣b+c＝0﹣﹣﹣﹣①，
又因为4a+2b+c＞0﹣﹣﹣﹣②，
所以②﹣①得：3a+3b＞0，
即a+b＞0；

（2）②+①×2得，6a+3c＞0，
即2a+c＞0，
∴a+c＞﹣a，
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
故a+c＞0；

（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y＝ax2+bx+c（a＜0）当x＝2时的值大于0，草图为：
可见c＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴﹣a+b﹣c＝0，
两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c＝2c，
整理得﹣a+b+c＝2c＞0，
即﹣a+b+c＞0；

（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0，
∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝（c+2a）（c﹣2a）
又∵4a+2b+c＞0
4a+2（a+c）+c＞0
即2a+c＞0①
∵a＜0，
∴c＞0
则c﹣2a＞0②
由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，
所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，
即b2﹣2ac＞5a2
综上可知正确的个数有4个．
故选：D．

13．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，
∴矩形ABCD关于坐标原点对称，
∵A点C点是对角线上的两个点，
∴A点、C点关于坐标原点对称，
∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；
∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；
∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，
∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14
故选：A．
14．解：函数y＝x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y＝﹣x2﹣2x；
a非常小时，直线y＝a（a为常数）与C1没有交点，与C2有一个交点，所以直线y＝a（a为常数）与C1、C2有一个交点；
直线y＝a经过C1的顶点时，与C2有一个交点，共有两个交点；
直线y＝a（a为常数）与C1有两个交点时，直线y＝a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点．
故选：C．
15．解：先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2﹣x+2；再将所得的抛物线y＝﹣x2﹣x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y＝﹣x2+x+2，
故选：C．
16．解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值﹣，
故选：B．
17．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+＝．
故选：D．
18．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
19．解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
20．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣4或2，
故选：B．
21．解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点，

令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；
故选：A．
22．解：根据图象知：
抛物线开口向下，顶点（，3），
∴答案B、D不符合．
把点（0，1）代入答案A、C检验，该点满足C．
故选：C．
23．解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25（m）．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．

24．解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE＝BF＝CG＝DH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE为x，则AH＝1﹣x，根据勾股定理，得
EH2＝AE2+AH2＝x2+（1﹣x）2
即s＝x2+（1﹣x）2．
s＝2x2﹣2x+1，
∴所求函数是一个开口向上，抛物线对称轴是直线x＝．
∴自变量的取值范围是大于0小于1．
故选：B．
25．解：设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y＝（100+20x）（100﹣10x）
＝﹣200x2+1000x+10000．
当x＝﹣＝＝2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x＝2时，y＝11200；
x＝3时，y＝11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费＝100+3×20＝160元．
故选：C．