高考数学压轴题专练：专题1.3 解密函数零点相关问题（解析版）

玩转压轴题，突破140分之高三数学选择题、填空题高端精品

一、方法综述

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．

根据函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题．

二、解题策略

类型一：函数零点的分布问题

例1．【2020·河南高考模拟】已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，∴，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.

【解题秘籍】判断函数零点所在区间有三种常用方法：①直接法，解方程判断；②定理法；③图象法．

【举一反三】函数f(x)＝ln x＋x－，则函数的零点所在区间是(　　)

A．         B．            C．            D．(1，2)

【答案】C

【解析】函数f(x)＝ln x＋x－的图象在(0，＋∞)上连续，且＝ln＋－＝ln＋＜0，f(1)＝ln 1＋1－＝＞0，故f(x)的零点所在区间为．学科$网

类型二  函数零点的个数问题

例2．【2020·陕西高考模拟】已知函数 ，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，

当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，

当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，

当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝ [﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，

作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，

设h（x）＝ ，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），

作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，

即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【举一反三】 【2020·安徽高考模拟】已知函数若函数有两个零点，，则（   ）

A． B．或 C．或 D．或或

【答案】D

【解析】当时，，

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

所以当时，的最小值为.

又在上，的图像如图所示：

因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的解即直线与有两个不同交点且交点的横坐标分别为，故或或，

若，则，故，则，

若，则.综上，选D.

类型三  已知函数零点求参数

例3．【2020·天津高考模拟】已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解，

即方程恰有三个不相等的实数解，

即与有三个不同的交点.

令，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；且当时，，

当时，，，

当时，，据此绘制函数的图像如图所示，

结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是 .本题选择C选项.

【举一反三】【2020·江苏高考模拟】已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．

【答案】或

【解析】函数0，得|x+a|a＝3，

设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），

不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，

当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，

得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，

解得x＝﹣1，或x＝4；

若 ①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时 x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，

由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．

若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，

所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．

得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，

又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，

解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．

③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；

综上所述，a或﹣1．

三、强化训练

1．【2019甘肃酒泉敦煌中学一模】函数 的零点所在的区间是(　　)

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】函数是上的单调增函数，且是连续函数，∵，，∴，

∴故函数的零点所在的区间为，∴方程的解所在区间是，故选C．学科*网

2．【2019陕西彬州一模】已知函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（   ）

A．充要条件    B．充分不必要条件    C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】命题推不出命题q，所以充分性不具备；比如：，区间为，满足命题p，但，根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；故选C．                

3．【2019上海普陀区一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（    ）

A．5    B．6    C．7    D．8

【答案】D

【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选D．

4．【2020·河南高考模拟】已知函数与函数有相同的对称中心，若有最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为的对称中心为（0，1），则由平移知识可得，.如图作出函数与直线的图象，

它们的交点是，由，可以判断是函数的极大值点，由图象知当时，有最大值是或；当时，由，因此无最大值，∴所求的取值范围是.

5．【2019广东汕头模拟】设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C           

【解析】，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示，在上有且仅有三个零点，和的图象在上只有三个交点，结合图象可得，解得，即的范围是，故选C．

6．【2020·山东高考模拟】已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】是定义在上的奇函数，，且零点关于原点对称，

零点个数为奇数，排除选项，又

，，

，，

的零点至少有个，故选C.

7．【2020·广东高考模拟】已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是（   ）

A．16 B．13 C．12 D．10

【答案】B

【解析】解：由题意可知，

有四个零点等价于函数图象与函数有四个交点，如图所示，

由图形可知，，，，，

∴，，，，

即，，，，

所以，，故，故选B．

8．【2019江西南昌模拟】设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】恰有3个零点，则恰有3个根，令，即 与恰有3个交点，，

当时，，所以在上是减函数；         

当时，，

当时，，

当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，，所以，故选A．

9．【2020·山东高考模拟】设函数，若函数有三个零点，则（　　）

A．12 B．11 C．6 D．3

【答案】B

【解析】作出函数的图象如图所示，

令，由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），

所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得的值分别为，

则故选B．

10．【2019安徽肥东高级中学零模】已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（     ）

A．3    B．5    C．7    D．9

【答案】D

又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，有．
由，取，得，得，

∴．

又∵函数是周期为3的周期函数，∴方程=0在区间上的解有共9个，故选D．

11．【2020·四川高考模拟】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（　　）

A． B．1 C．3 D．5

【答案】C

【解析】∵是定义在R上的奇函数，且当时，

∴当时， ，则

即

则

作出的图象如图：

∵的图象与的图象关于对称

∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点

即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称

即，则所有解的和为，故选C．

12．【2019河北衡水中学四调】已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】当，单调递减，

可得在恒成立．

当，恒成立，可得，而，所以，

当，恒成立，可得，而，所以，故．

由题意知：与图象有三个交点，当时，只有一个交点，不合题意，

当时，由题意知，和为两个图象交点，只需在有唯一零点．

时，，即有唯一解．学科@网

令，．令得，

所以，单调递减；时，，单调递增．

时，，时，，所以要使在有唯一解，只需或，故选D．

13．【2020·辽宁高考模拟】已知函数，若函数的零点为，

则        

【答案】

【解析】因为，所以在上恒成立，

即函数在上单调递增.

又，，

所以在上必然存在零点，即，

因此，所以

14．【2019广西百色摸底调研】已知函数有唯一零点，则______．

【答案】

15．【2019四川成都七中一模】若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如图所示：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1，

在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如图所示，有三个不同的交点，a≤4

故答案为：

16．【2020·河南高考模拟】已知函数，方程对于任意都有9个不等实根，则实数的取值范围为         

【答案】

【解析】因为方程对于任意都有9个不等实根，

不妨令，则方程有9个不等实根，

令，解得：，，.

所以，，都要有3个不同的根

由可得：，

所以函数为奇函数，又，

由有3个不等实根，可得不是单调函数，即：

令，解得：，

作出的关系如下表：

作出的简图如下：

要使得有3个根，至少要满足，

即：，解得：.