2023高考数学高分突破，智取压轴小题03 解密函数零点相关问题

解密函数零点相关问题

一、方法综述

根据函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题．

二、解题策略

题型一：函数零点个数

例1：的零点个数为（　　）

A．1       B．2        C．3         D．4

解析：令.

在同一坐标系下，作出函数的图象，如图所示，

由于的图象有两个交点，

所以的零点个数为2,

故选：B

例2：已知函数,函数则函数的零点的个数为（   ）

A．2             B．3             C．4           D．5

解析：当时,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;

当 时, ,函数无零点;

当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.

【方法规律】

 求函数零点个数常用方法：

①解方程法，令，有几个解就有几个零点.

②图像法，利用函数图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．

③函数极值法，判断函数极值与轴（即）的位置关系，进而判断函数零点个数.

④零点存在性定理，根据零点存在性定理，同时结合函数单调性可以判定函数的零点个数.

注：①函数的零点方程的根函数图像的交点;

②在区间上严格单调的函数，在此区间上最多有一个零点。

题型二：函数零点所在区间

例3：在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）

A． B． C． D．

解析：

因为函数在上连续单调递增，

且,

所以函数的零点在区间内，故选C.

例4：（2019·河北正定中学）若是方程的解，则属于区间(　　)

A.          B.        C.      D.

解析：令,

则

结合图象可得＜x0＜.

【方法规律】

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

①利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若有，则函数在区间内必有零点．

②数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

题型三：由函数零点个数或所在区间求参范围

例5：已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

解析：

注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D.

例6：已知，函数，若函数恰有三个零点，则（  ）

A． B．

C． D．

解析：当时，，得；最多一个零点；

当时，，

，

当，即时，，在上递增，最多一个零点．不合题意；

当，即时，令得函数递增，令，，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点.

如图：

且，

解得，，．

故选．

例7：已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

解析：

（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为

与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．

方法二：由题意，显然，所以令，则,,结合图象可得或．

例8：（2019·辽宁抚顺一中模拟） 若函数的两个零点分别在区间和区间内，则的取值范围是____________．

解析：由题意，结合函数的图象分析可知需满足

解得.

【方法规律】

解决由函数零点求参问题通常先对解析式进行等价变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，利用数形结合来求解．常见的处理技巧如下：

①利用零点存在性定理构建不等式求解.

②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

③转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

题型四：求函数多个零点之和

例9：已知是函数的所有零点之和，则的值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

解析：因为

所以关于对称.由图可知,有8个零点,所以所有零点之和为12,选D

例10：（2019·浙江诸暨中学模拟）已知函数,则函数的所有零点之和是________．

解析：由，得或，由，得，由，得，所以函数的所有零点之和是.

【方法规律】

 求函数多个零点之和常用方法：

 ①对于函数较为简单，零点可求的情况，直接求出函数的零点，然后零点相加求和即可.

 ②若函数具有对称性质，那么函数的零点也是对称的，可以根据对称性质求出函数零点之和.

题型五：函数的“等高线”问题

例11：设函数,若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

解析：因为

由题意可知， ，且.

故,故选.

例12：已知,若有四个不同的实根，且，则的取值范围(     )

A． B． C． D．

解析：由题意知，且．

所以，故选A ．

【方法规律】

函数等高线常见规律总结：

①方程 两根为,

②方程 两根为,

③方程两根为, ，则.

④方程两根为, ，

⑤方程两根为, ，若是关于对称的函数，.

【沙场练兵】

1．已知以为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围为（   ）

A．      B．      C．        D．

2．已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）

A．       B．  C．     D．

3．已知函数若，且满足，则的取值范围为（    ）

A．     B．      C．       D．

4．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ）

A．   B．    C．    D．

5．已知函数,若关于的方程恰好有4个实根，，，．则的取值范围是（    ）

A．     B．[     C．        D．

6．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是（ ）

A．3         B．4         C．5             D．6

7．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是     .

8．已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是_______．

9．函数在的零点个数为________．

10．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.

11．已知函数,则方程实根的个数为    .

函数与导数小题巧解——函数与方程参考答案解析

1．B

因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得

令，则有

由

同样由与第三个半椭圆无交点，由可计算得

综上知．

2．D

函数恰有4个零点，即方程，

即有4个不同的实数根，

即直线与函数的图象有四个不同的交点．

又

做出该函数的图象如图所示，

由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，

故函数恰有4个零点时，

b的取值范围是故选D．

3．A

由函数的图象（如图），可知，由得，所以，所以．

故选：A

4．D

做出函数的图象如图，

因为方程有四个不同的解且

故根据图象得：由时，，则横坐标为与两点的中点横坐标为

即：；当时，由于在上是减函数，在上是增函数，又因为，，则，有，

所以，.

所以令函数，由反比例函数和一次函数的性质得函数在单调递减函数，故，所以.

故选：D.

5．D

由，

且关于的方程恰好有4个实根，，，，

作出的图像以及，如图：

由图可知，方程有4个实根，则，

且，是，则，

又，则，即，所以

所以，

故选：D

6．A

，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，，当，其函数图象如下：

如图则有3个交点，当，其函数图象如下：

以上两种情况都有三个交点，故选A.

7．

作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．

8．(0,1)∪(1,4)

y＝

函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，

kMA＝0，kMB＝4.

当k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．

9．

由题可知，或

解得,或

故有3个零点．

10．

函数有两个零点，

和的图象有两个交点，

画出和的图象，如图，要有两个交点，那么

11．4

如图与交点个数为4