人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题13 函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题（含解析）

专题13函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题

中考压轴题中函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题，选择和填空题主要是一次函数、反比例函数和二次函数图象的分析，解答题集中表现为一次函数和二次函数综合问题。

一. 一次函数、反比例函数和二次函数图象的分析问题

1.一次函数y=ax+b（a＞0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（  ）

A.a＞b＞0    B.a＞k＞0    C.b=2a+k    D.a=b+k

【答案】B

【解析】

试题分析：根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．

解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（﹣2，0），

∴﹣2a+b=0，

∴b=2a．

故本选项错误；

B、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=﹣=﹣=﹣1时，y=﹣k＞﹣=﹣=﹣a，即k＜a，

∵a＞0，k＞0，

∴a＞k＞0．

故本选项正确；

故选B．

点评：本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．

2. 二次函数的图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是【    】

  A．   B．  C．   D．

【答案】B。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象与系数的关系。

3. 如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=﹣2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较大值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2。例如：当x=﹣1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=4。下列判断：

①当x＜0时，y1＞y2；

②当x＞0时，x值越大，M值越小；

③当x≥0时，使得M大于2的x值不存在；

④使得M=1的x值是。

其中正确的有【    】

　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

【答案】C。

【考点】一次函数，二次函数的图象和性质。

二. 一次函数和二次函数的综合问题

4. 已知二次函数， 在和时的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；

（3）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向右平移个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围．

【答案】解：（1）∵二次函数y＝(t+1)x2+2(t+2)x+

在x=0和x=2时的函数值相等，

∴对称轴x=-=1

即-=1

解得，t=-

则二次函数的解析式为：y=（-+1）x2+2（-+2）x+-

即y=-（x+1）（x-3）或y=-（x-1）2+2，

∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（-1，0），（3，0），（0，），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：

（2）∵二次函数的象经过点A（-3，m），

∴m=-（-3+1）（-3-3）=-6．

又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（-3，m），

∴m=-3k+6，即-6=-3k+6，

解得，k=4．

综上所述，m和k的值分别是-6、4．

（3）解：由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=- x2+x+=--（x2-2x-3）=--（x-3）（x+1），-1≤x≤3，

即n=0，

∵与已知n＞0相矛盾，

∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，

∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，

则两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），

则0=4（-n-1）+6+n，

n=,0=4（3-n）+6+n，

n=6，

即n的取值范围是：≤n≤6

【解析】

考点：用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的特点

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征．求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质

三. 反比例函数和二次函数的综合问题

5. 如图，已知二次函数图像的顶点M在反比例函数上，且与轴交于A，B两点。

（1）若二次函数的对称轴为，试求的值，并求AB的长；

（2）若二次函数的对称轴在轴左侧，与轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。

【答案】（1）∵二次函数的对称轴为，

∴。

∴二次函数的顶点为M（）。

∵顶点M在反比例函数上，∴，解得。

∴二次函数的解析式为。

（2）∵二次函数的解析式为，

∴令=0，得，解得。

∴AB=。

（3）∵二次函数的对称轴为，且当时，M点坐标为（）。

∴NO+MN，

即2是NO+MN的最小值。

此时，，解得。

∴M点坐标为（）。

∴此时二次函数的解析式为，即。

【考点】二次函数综合题，二次函数的对称轴和顶点性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，不等式的性质。