人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题11 函数之二次函数实际应用问题（含解析）

专题11 函数之二次函数实际应用问题

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。

一. 以几何为背景问题

1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管高出地面1.5m，在处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头与水流最高点的连线与地平面成的角，水流的最高点离地平面距离比喷水头离地平面距离高出2m，水流的落地点为．在建立如图所示的直角坐标系中：

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求水流的落地点到点的距离是多少m？

【答案】（1）；（2）m．

【解析】

试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5）及B（0，1.5），设顶点式求解析式；

（2）求AD，实际上是求当y=0时点D横坐标．

在如图所建立的直角坐标系中，

由题意知，点的坐标为，

为等腰直角三角形，

，

点坐标为

（1）设抛物线的函数解析式为，

则抛物线过点顶点为，

当时，

由，得，

由，得

解之，得（舍去），．

所以抛物线的解析式为．

考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用

点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型．

2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的（m），花园的面积为（m）．

（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）满足条件的花园面积能达到200 m吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由；

（3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

【答案】（1）；（2）不能；（3）时，最大面积187.5m

【解析】

（2）当时，

即

解得：

此花园的面积不能达到200m

考点：本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用

点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型．

二. 以球类为背景问题

3. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式。已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求二次函数中二次项系数a的最大值。

【答案】（1）把x=0，y=2及h=2.6代入到，即，

∴。 

      ∴当h=2.6时， y与x的关系式为。

（3）把x=0，y=2代入到，得。

x=9时，＞2.43 ①，

x=18时，≤0 ②，

由① ②解得。

∴若球一定能越过球网，又不出边界，二次函数中二次项系数a的最大值为。

【考点】二次函数的性质和应用，无理数的大小比较。

三. 以桥、隧道为背景问题

4.如图，一大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，小王骑自行车从O匀速沿直线到拱梁一端A，再匀速通过拱梁部分的桥面AC，小王从O到A用了2秒，当小王骑自行车行驶10秒时和20秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面AC共需         秒．

【答案】26。

【考点】二次函数的应用

四. 以利润为背景问题

5. 某山区的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=（万元）。当地政府拟规划加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出60万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入万元，可获利润Q=（万元）。

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

【答案】（1）∵每投入万元，可获得利润P=（万元），

∴当=60时，所获利润最大，最大值为41万元。

∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）。

（2）前两年：0≤≤40，此时因为P随的增大而增大，

所以=40时，P值最大，

即这两年的获利最大为：2×[ ]=66（万元）。

后三年：设每年获利，设当地投资额为，则外地投资额为100－，

∴=P+Q=[]+[]

=﹣2+60+129=﹣（﹣30）2+1029。

∴当=30时，y最大且为1029。

∴这三年的获利最大为1029×3=3087（万元）。

∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：66+3087﹣50×2=3153（万元）。

（3）规划后5年总利润为3153万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值。

【考点】二次函数的应用（利润问题）。