人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题09 函数之一次函数和反比例函数综合问题（含解析）
展开专题09 函数之一次函数和反比例函数综合问题
中考压轴题中函数之一次函数和反比例函数综合问题，选择、填空和解答三种题型都有，内容主要包括函数图象的分析，一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数和反比例函数的综合应用三方面的内容。
一.函数图象的分析：
1. 已知，则函数和 的图象大致是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】一次函数和反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，不等式的性质，排它法的应用。
【分析】∵，∴双曲线 的图象在一、三象限。故排除C。
又∵函数的，
∴直线与轴的交点在轴下方。故排除D。
又∵，∴，即OB<OA。故排除A。
故选B。
2.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至20℃，饮水机关机。饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序。若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在下午第一节下课时（14：30）能喝到健康卫生和水温适中的水（水沸腾后水温在20℃和50℃之间，含20℃和50℃），则接通电源的时间最晚是当天下午的 之间。
【答案】13：50～14：14。
【考点】一次函数和反比例函数的图象分析，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。
二. 一次函数和反比例函数的交点问题：
3 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【 】
A．0＜x＜2 B．x＞2 C．x＞2或-2＜x＜0 D．x＜－2或0＜x＜2
【答案】D。
4.在同一直角坐标系下，直线y=x+2与双曲线的交点的个数为【 】
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】B。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程。
5. 已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．
【答案】（1）y1=x+5 （2）21
【解析】
解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，
∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，=y，
解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函数的解析式为y1=x+5；
则点D的纵坐标为2，
∴x+5=2，
解得x=﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，
点A到CD的距离为6﹣2=4，
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键．
三. 一次函数和反比例函数的综合应用问题：
6. 如图，直线与双曲线交于E、F两点，与轴、轴分别交于A、B两点，点C，连结CA、CB、CE、CF，若，则= 。
【答案】。
【考点】直线与双曲线的综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的性质。
【分析】在中，令，解得；令，则。
∴点A（2，0）、B（0，）。
又∵C，∴CB=。
在Rt△OAC中，由勾股定理得，CA==，∴CB=CA。
7. 如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点A、B，交轴于点C。
（1）求的取值范围；
（2）若点A的坐标是(2，4)，且＝，求的值和一次函数的解析式。
【答案】（1）∵反比例函数的图象在第四象限，∴，解得。
（2）∵点A(2， 4)在函数图象上，
∴，解得。
∴反比例函数解析式为。
∵一次函数的图象过点A(2， 4)、B(6，)，
∴，解得。
∴一次函数的解析式是。
【考点】反比例函数图象的性质，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，待定系数法，解二元一次方程组。
