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贵州省贵阳市2019-2020学年九年级(下)开学数学试卷(含解析)
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2019-2020学年贵州省贵阳市九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分．
1．（3分）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
2．（3分）如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等
D．正方形的对角线互相平分
4．（3分）定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点P（x，y）（x＞0，y＞0）在单位圆上，则sin∠POA等于（ ）
A．x B．y C． D．
5．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（ ）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
9．（3分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
10．（3分）一次函数y＝kx﹣1与反比例函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：每小题4分，共20分．
11．（4分）抛掷一枚均匀的正方体骰子，出现偶数点的概率是 ．
12．（4分）如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是 ．
13．（4分）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c＝ ．
14．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a＝ ．
15．（4分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为 ．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（10分）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．
17．（10分）解方程：．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点都在格点上，其中点A的坐标为（2，1）．请在y轴的左侧，以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形（△OA'B'），并使△OA'B'与△OAB的相似比为2．
19．（10分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
21．（10分）已知关于x的方程x2+4x+3﹣a＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
22．（10分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．
（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；
（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．
23．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 500元，每件衬衫应降价多少元？
24．（10分）“建设美丽的新农村”正在如火如荼建设当中，其中某村的标志性雕塑如图，某中学九年级数学兴趣小组想测量雕塑AB的高度，小敏在雕塑前C、D两点处用测角仪测得顶端A的仰角分别为45°和30°，测角仪高EC＝FD＝1m，EF＝4m，求该雕塑的高度．（结果保留根号）
25．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
2019-2020学年贵州省贵阳市九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分．
1．（3分）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
【分析】根据中心投影和平行投影的定义进行判断．
【解答】解：手电筒发出的光线所形成的投影、路灯发出的光线所形成的投影和台灯发出的光线所形成的投影都为中心投影；太阳光发出的光线所形成的投影为平行投影．
故选：B．
2．（3分）如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32，
∴AD＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵H为AD边中点，
∴OH＝AD＝4，
故选：D．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等
D．正方形的对角线互相平分
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质对各个命题分别判断，即可得出答案．
【解答】解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；
B、矩形的对角线相等，错误；
C、菱形的四条边都相等，错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；
故选：D．
4．（3分）定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点P（x，y）（x＞0，y＞0）在单位圆上，则sin∠POA等于（ ）
A．x B．y C． D．
【分析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据正弦函数的定义即可得．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝x、PQ＝y，OP＝1，
∴sin∠POA＝＝y，
故选：B．
5．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【分析】根据反比例函数的性质解题．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴函数图象必在第四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
故选：A．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由＝，根据比例的性质可得＝，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝．
故选：B．
7．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据反比例函数解析式中k的几何意义可知S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，因为S阴影＝1，所以S1＝S2＝3由此解决问题．
【解答】解：∵A、B两点在反比例函数y＝的图象上，
∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，
∵S阴影＝1，
∴S1＝S2＝3，
∴S1+S2＝6．
故选：D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（ ）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG＝BC，
∴＝
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴＝（）2＝，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故选：B．
9．（3分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．
【解答】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：D．
10．（3分）一次函数y＝kx﹣1与反比例函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．
【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣1的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合；
k＜0时，一次函数y＝kx﹣1的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第二、四象限，选项C符合．
故选：C．
二、填空题：每小题4分，共20分．
11．（4分）抛掷一枚均匀的正方体骰子，出现偶数点的概率是 ．
【分析】用偶数点的个数除以总个数即可得出答案．
【解答】解：∵正方体骰子共有6个面，分别标有1，2，3，4，5，6，其中偶数点有3个，
∴出现偶数点的概率是＝；
故答案为：．
12．（4分）如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是 4 ．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图上看，此几何体的下面有3个小正方体，
从左视图和主视图上看，最上面有1个小正方体，
故组成这个几何体的小立方块的个数是：3+1＝4．
故答案为：4．
13．（4分）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c＝ 2cm ．
【分析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．∵
【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，
∴c＝2（cm），
故答案为2cm．
14．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a＝ 2 ．
【分析】首先根据根与方程的关系，将x＝0代入方程求得a的值；又由一元二次方程的二次项系数不能为0，最终确定a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
∵a+2≠0，
即a≠﹣2，
∴a＝2．
故答案为：2．
15．（4分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为 17a2 ．
【分析】利用三角形全等，可得到DE＝CF＝a，再用勾股定理解直角三角形则正方形的面积可求．
【解答】解：设直线l与BC相交于点G
在Rt△CDF中，CF⊥DG
∴∠DCF＝∠CGF
∵AD∥BC
∴∠CGF＝∠ADE
∴∠DCF＝∠ADE
∵AE⊥DG，∴∠AED＝∠DFC＝90°
∵AD＝CD
∴△AED≌△DFC
∴DE＝CF＝a
在Rt△AED中，AD2＝17a2，即正方形的面积为17a2．
故答案为：17a2．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（10分）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
17．（10分）解方程：．
【分析】先去掉括号，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：原方程可化为，5x2﹣4x﹣12＝0，
因式分解得，（x﹣2）（5x+6）＝0，
x﹣2＝0，5x+6＝0，
解得，x1＝2，．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点都在格点上，其中点A的坐标为（2，1）．请在y轴的左侧，以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形（△OA'B'），并使△OA'B'与△OAB的相似比为2．
【分析】分别作出A，B的对应点A′，B′即可．
【解答】解：如图，△OA'B'即为所求．
19．（10分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．
【分析】直接利用已知得出△EAB∽△ECD，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∵AB＝1，
∴CD＝4．
答：这棵树的高度CD为4m．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
21．（10分）已知关于x的方程x2+4x+3﹣a＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）根据（1）的结论可得出a＝0，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程，此题得解．
【解答】解：（1）∵方程x2+4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×（3﹣a）＝4+4a＞0，
解得：a＞﹣1．
（2）根据题意得：a＝0，
此时原方程为x2+4x+3＝0，即（x+1）（x+3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
22．（10分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．
（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；
（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．
【解答】解：
（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，
∴若随机选择其中一个正确的概率＝，
故答案为：；
（2）画树形图得：
由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，
所以小丽回答正确的概率＝．
23．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 500元，每件衬衫应降价多少元？
【分析】设每件衬衫应降价x元，根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，且商场平均每天要盈利1 500元”即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得：（40﹣x）（30+2x）＝1500，
整理，得：x2﹣25x+150＝0，
解之得：x1＝15，x2＝10，
因题意要尽快减少库存，所以x取15．
答：每件衬衫应降价15元．
24．（10分）“建设美丽的新农村”正在如火如荼建设当中，其中某村的标志性雕塑如图，某中学九年级数学兴趣小组想测量雕塑AB的高度，小敏在雕塑前C、D两点处用测角仪测得顶端A的仰角分别为45°和30°，测角仪高EC＝FD＝1m，EF＝4m，求该雕塑的高度．（结果保留根号）
【分析】过F点作FP⊥AB于P，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：如图，由题意可知PB＝EC＝1，
在Rt△APF与Rt△APE中，∠AFP＝30°，∠AEP＝45°，
设AP＝x，则PE＝x，，，
解得，
∴．
即该雕塑的高度为．
25．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出b＝4，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y＝kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式为y＝x+5；
（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，则直线y＝x+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组只有一组解，然后消去y得到关于x的一元二次方程，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入，
得b＝﹣＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5，
得﹣2k+5＝4，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣＝x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，
解得m＝9或m＝1，
即m的值为1或9．
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分．
1．（3分）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
2．（3分）如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等
D．正方形的对角线互相平分
4．（3分）定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点P（x，y）（x＞0，y＞0）在单位圆上，则sin∠POA等于（ ）
A．x B．y C． D．
5．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（ ）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
9．（3分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
10．（3分）一次函数y＝kx﹣1与反比例函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：每小题4分，共20分．
11．（4分）抛掷一枚均匀的正方体骰子，出现偶数点的概率是 ．
12．（4分）如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是 ．
13．（4分）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c＝ ．
14．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a＝ ．
15．（4分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为 ．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（10分）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．
17．（10分）解方程：．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点都在格点上，其中点A的坐标为（2，1）．请在y轴的左侧，以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形（△OA'B'），并使△OA'B'与△OAB的相似比为2．
19．（10分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
21．（10分）已知关于x的方程x2+4x+3﹣a＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
22．（10分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．
（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；
（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．
23．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 500元，每件衬衫应降价多少元？
24．（10分）“建设美丽的新农村”正在如火如荼建设当中，其中某村的标志性雕塑如图，某中学九年级数学兴趣小组想测量雕塑AB的高度，小敏在雕塑前C、D两点处用测角仪测得顶端A的仰角分别为45°和30°，测角仪高EC＝FD＝1m，EF＝4m，求该雕塑的高度．（结果保留根号）
25．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
2019-2020学年贵州省贵阳市九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分．
1．（3分）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
【分析】根据中心投影和平行投影的定义进行判断．
【解答】解：手电筒发出的光线所形成的投影、路灯发出的光线所形成的投影和台灯发出的光线所形成的投影都为中心投影；太阳光发出的光线所形成的投影为平行投影．
故选：B．
2．（3分）如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32，
∴AD＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵H为AD边中点，
∴OH＝AD＝4，
故选：D．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等
D．正方形的对角线互相平分
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质对各个命题分别判断，即可得出答案．
【解答】解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；
B、矩形的对角线相等，错误；
C、菱形的四条边都相等，错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；
故选：D．
4．（3分）定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点P（x，y）（x＞0，y＞0）在单位圆上，则sin∠POA等于（ ）
A．x B．y C． D．
【分析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据正弦函数的定义即可得．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝x、PQ＝y，OP＝1，
∴sin∠POA＝＝y，
故选：B．
5．（3分）反比例函数y＝的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【分析】根据反比例函数的性质解题．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴函数图象必在第四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
故选：A．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由＝，根据比例的性质可得＝，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝．
故选：B．
7．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据反比例函数解析式中k的几何意义可知S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，因为S阴影＝1，所以S1＝S2＝3由此解决问题．
【解答】解：∵A、B两点在反比例函数y＝的图象上，
∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，
∵S阴影＝1，
∴S1＝S2＝3，
∴S1+S2＝6．
故选：D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（ ）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG＝BC，
∴＝
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴＝（）2＝，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故选：B．
9．（3分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．
【解答】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：D．
10．（3分）一次函数y＝kx﹣1与反比例函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．
【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣1的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合；
k＜0时，一次函数y＝kx﹣1的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第二、四象限，选项C符合．
故选：C．
二、填空题：每小题4分，共20分．
11．（4分）抛掷一枚均匀的正方体骰子，出现偶数点的概率是 ．
【分析】用偶数点的个数除以总个数即可得出答案．
【解答】解：∵正方体骰子共有6个面，分别标有1，2，3，4，5，6，其中偶数点有3个，
∴出现偶数点的概率是＝；
故答案为：．
12．（4分）如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是 4 ．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图上看，此几何体的下面有3个小正方体，
从左视图和主视图上看，最上面有1个小正方体，
故组成这个几何体的小立方块的个数是：3+1＝4．
故答案为：4．
13．（4分）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c＝ 2cm ．
【分析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．∵
【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，
∴c＝2（cm），
故答案为2cm．
14．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a＝ 2 ．
【分析】首先根据根与方程的关系，将x＝0代入方程求得a的值；又由一元二次方程的二次项系数不能为0，最终确定a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
∵a+2≠0，
即a≠﹣2，
∴a＝2．
故答案为：2．
15．（4分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为 17a2 ．
【分析】利用三角形全等，可得到DE＝CF＝a，再用勾股定理解直角三角形则正方形的面积可求．
【解答】解：设直线l与BC相交于点G
在Rt△CDF中，CF⊥DG
∴∠DCF＝∠CGF
∵AD∥BC
∴∠CGF＝∠ADE
∴∠DCF＝∠ADE
∵AE⊥DG，∴∠AED＝∠DFC＝90°
∵AD＝CD
∴△AED≌△DFC
∴DE＝CF＝a
在Rt△AED中，AD2＝17a2，即正方形的面积为17a2．
故答案为：17a2．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（10分）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
17．（10分）解方程：．
【分析】先去掉括号，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：原方程可化为，5x2﹣4x﹣12＝0，
因式分解得，（x﹣2）（5x+6）＝0，
x﹣2＝0，5x+6＝0，
解得，x1＝2，．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点都在格点上，其中点A的坐标为（2，1）．请在y轴的左侧，以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形（△OA'B'），并使△OA'B'与△OAB的相似比为2．
【分析】分别作出A，B的对应点A′，B′即可．
【解答】解：如图，△OA'B'即为所求．
19．（10分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．
【分析】直接利用已知得出△EAB∽△ECD，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∵AB＝1，
∴CD＝4．
答：这棵树的高度CD为4m．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
21．（10分）已知关于x的方程x2+4x+3﹣a＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）根据（1）的结论可得出a＝0，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程，此题得解．
【解答】解：（1）∵方程x2+4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×（3﹣a）＝4+4a＞0，
解得：a＞﹣1．
（2）根据题意得：a＝0，
此时原方程为x2+4x+3＝0，即（x+1）（x+3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
22．（10分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．
（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；
（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．
【解答】解：
（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，
∴若随机选择其中一个正确的概率＝，
故答案为：；
（2）画树形图得：
由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，
所以小丽回答正确的概率＝．
23．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 500元，每件衬衫应降价多少元？
【分析】设每件衬衫应降价x元，根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，且商场平均每天要盈利1 500元”即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得：（40﹣x）（30+2x）＝1500，
整理，得：x2﹣25x+150＝0，
解之得：x1＝15，x2＝10，
因题意要尽快减少库存，所以x取15．
答：每件衬衫应降价15元．
24．（10分）“建设美丽的新农村”正在如火如荼建设当中，其中某村的标志性雕塑如图，某中学九年级数学兴趣小组想测量雕塑AB的高度，小敏在雕塑前C、D两点处用测角仪测得顶端A的仰角分别为45°和30°，测角仪高EC＝FD＝1m，EF＝4m，求该雕塑的高度．（结果保留根号）
【分析】过F点作FP⊥AB于P，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：如图，由题意可知PB＝EC＝1，
在Rt△APF与Rt△APE中，∠AFP＝30°，∠AEP＝45°，
设AP＝x，则PE＝x，，，
解得，
∴．
即该雕塑的高度为．
25．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出b＝4，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y＝kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式为y＝x+5；
（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，则直线y＝x+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组只有一组解，然后消去y得到关于x的一元二次方程，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入，
得b＝﹣＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5，
得﹣2k+5＝4，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣＝x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，
解得m＝9或m＝1，
即m的值为1或9．
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