2021湖北省龙泉中学高三下学期5月月考数学试题含答案

龙泉中学2021届高三5月月考

数学试题

考试用时：120分钟   全卷满分：150分

★祝考试顺利★

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设复数的共轭复数为.若(为虚数单位)，则的值为(    )

A.  B.  C. 0 D.

【1题答案】

【答案】B

2. 2021年春季．新冠肺炎疫情在印度失控．下图是印度某地区在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y（万人）与时间t（天）的散点图．则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】C

3. 五国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】B

4. 已知随机变量，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】B

5. 如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（    ）

A. 点 B. 点 C. 点，但不过点 D. 点和点

【5题答案】

【答案】D

6. 将函数的图象上所有的点横坐标扩大为原来的倍得的图象，若在上单调递减，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】C

7. 已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】C

8. 定义在R上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A表示3月1日的指数值为201．则下列叙述正确的是（    ）

A. 这12天中有6天空气质量为“优良” B. 这12天中空气质量最好的是3月9日

C. 这12天的指数值的中位数是90.5 D. 从3月4日到9日，空气质量越来越好

【9题答案】

【答案】ABD

10. 在中，，则（    ）

A.  B. 的面积为1

C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是

【10题答案】

【答案】ACD

11. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（    ）

A. 数列是公比为的等比数列 B.

C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前项和

【11题答案】

【答案】BD

12. 已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上且不在x轴上的一点，且的面积为．设C的离心率为e，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若．且．则的展开式中的常数项为___________．

【13题答案】

【答案】

14. 《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个正整数为a，当时，符合条件的所有a有_______个．

【14题答案】

【答案】53

15. 如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以为圆心，半径长为2的半圆，点、在上，且的长度为，的长度为，则在该圆锥中，点到平面的距离为_________.

【15题答案】

【答案】

16. 双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为___________．

【16题答案】

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知，它的内角的对边分别为，且，____．

①；②当时，函数取得最大值．在①②这两个条件中选择一个补充至上述横线上，求解下述问题：若问题中的三角形存在，能否求出边c的值？若能，请求出边c的值；若不能，请说明理由；若问题中的三角形不存在，请说明理由．

【17题答案】

【答案】答案不唯一，具体见解析．

18. 已知数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【18题答案】

【答案】（1）；（2）.

19. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，点M在线段PD上，且DM＝2MP，平面．

（1）求证：平面MAC平面PAD；

（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值．

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

21. 已知抛物线C∶y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，三角形AOB(点O为坐标原点)的面积为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设不经过原点的直线与抛物线交于P，Q两点，设直线OP，OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当时，直线恒过定点.

【21题答案】

【答案】（1）；（2）证明见解析.

22. 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为；乙发球时，甲得分的概率为．

（Ⅰ）若，记“甲以赢一局”的概率为，试比较与的大小；

（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为，的值．

①完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？

②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战回合此局比赛结束，求的分布列与期望．

参考公式：，其中．

临界值表供参考：

【22题答案】

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①列联表见解析，有；②分布列见解析，

23. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：.

【23题答案】

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.