8.1.5空间向量运算的坐标表示 1课时 教案-2020届高三数学一轮复习

课    题

空间向量运算的坐标表示

教学目标

1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 

2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示

教学重点

1．投影与投影定理                                      

2．分向量与向量的坐标                                

3．模与方向余弦的坐标表示

教学难点

1．投影定理

2．分向量

3．方向余弦的坐标表示

教学方法

启发

教学时间

1课时

教学过程

一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则

(2)  设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有

(3)  两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为

(4)  空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。

(5)  向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。

2．投影定理

性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即               

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

 设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示          图7－5

沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

i + j+k

或     a = ax i + ayj + azk

上式称为向量a按基本单位向量的分解式。

 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为     

     a ＝ {ax，ay，az}。

上式叫做向量a的坐标表示式。

 于是，起点为终点为的向量可以表示为

特别地，点对于原点O的向径

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，

 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.

2．向量运算的坐标表示

 设，即，

则

(1)  加法： 

◆     减法： 

◆     乘数： 

◆     或  

◆     平行：若a≠0时，向量相当于，即

也相当于向量的对应坐标成比例即

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

 设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。                                                                                    图              7－6

1．  模

2．  方向余弦

由性质1知，当时，有

◆     任意向量的方向余弦有性质：

◆     与非零向量a同方向的单位向量为：

3．  例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。

解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}

 ，，

 ，，

 设为与同向的单位向量，由于

 即得

作业:  册p78 预习导学

板书设计：            空间向量运算的坐标表示

一、回顾                                        二、例1