【数学】安徽省巢湖市四中2018-2019学年高二上学期第一次月考试题（文）

安徽省巢湖市四中2018-2019学年高二上学期第一次月考

数学试题（文）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确.

1．以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(　　)

A．0          B．1         C．2         D．3

2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ）

A．2（1＋）cm              B．6 cm

C．2（1＋）cm              D． 8 cm

3．已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是(　　)

A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面

B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交

C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ

D．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交

4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(    )

A．10          B．20    C．30          D．60

5．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)

A．π        B．2π　      C．π        D．π

6．中心角为135°的扇形，其面积为S1，其围成的圆锥的全面积为S2，则(    )

A．         B．         C．        D．

7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（   ）

A. 1.2             B. 1.6         C. 1.8             D. 2.4

8．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A．l与l1，l2都不相交                        B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交                D．l至少与l1，l2中的一条相交

9．已知正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为(　　)

A.             B.           C.          D.

10．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（    ）

A.           B.          C.          D.

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为(　　)

A．1　　　 　B．   C．      D．2

12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为(     )

A．        B．      C．1     D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为       .

14．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______.

15．如图所示，从棱长为6 cm的正方体铁皮箱ABCD-A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________ cm3.

16．在棱长为的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，若，则该球面与正方体表面的交线的总长度为________.

三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程.

17．（本小题满分10分）如图所示，四边形为直角梯形，，，，求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积和表面积.

18．（本小题满分12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

求：(1)该几何体的体积V；(2)该几何体的侧面积S.

19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.

求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.

20．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱中，, .

(1)在棱上求一点, 使得平面，说明理由；

(2)若为的中点, 求四棱锥的体积.

21．（本小题满分12分）已知异面直线，，A∈，B∈，AB的中点为O，平面满足∥，∥，且O∈，M，N分别是直线，上的任意点，MN∩=P.

（1）求证：P是MN的中点；

（2）若AM=8，BN=6，，所成的角为600，求OP的长．

22．（本小题满分12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，对棱AB与CD所成角为60°，且AB=CD=，该三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．

（1）求证：CD∥平面EFGH；

（2）E在AD的何处时，截面面积最大？并求面积的最大值；

（3）求证：四边形EFGH的周长为定值．

【参考答案】

一、选择题

1-12：BDCAD  CBDCA  DD

二、填空题

13．      14．      15．36     16．

三、解答题

17．解：由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为，

半球的体积，则所求体积为．

其表面积.

18．解：由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．

由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC．∴PM＝＝＝5，PN＝＝＝4．

(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64．

(2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN＝8×5＋6×4＝40＋24．

19．证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．

(2)

20．解：（1）当为中点时，使得平面，证明如下：

连接交于，连接，由中位线定理知，，又，，所以平面.

∴当为中点时，使得AB1∥平面BC1M．

（2）∵D为AC的中点，∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积：

V=﹣﹣

=﹣﹣=3．

21．（1）证明：连接AN交平面 α 于Q，连接OQ、PQ，∵A∉b，∴A、b可确定平面β，∴α∩β=OQ，由b∥α 得 BN∥OQ．∵O为AB的中点，∴Q为AN的中点．

同理 PQ∥AM，故P为MN的中点．

（2）解：由（1）得OQ∥BN，且OQ=BN=3，PQ∥AM，且PQ=AM=4，

∵a，b所成的角为600，∴∠PQO=60°或∠PQO=120°，

当∠PQO=60°时，

OP===；

当∠PQO=120°时，

OP===．

∴OP的长为或．

22．（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，

又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，

∵平面ACD∩平面BCD=CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD，

∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．

（2）解：设=x，则EF=xCD=ax，EH=（1﹣x）AB=（1﹣x）a，∠FEH=60°，

∴S=ax•（1﹣x）asin60°=，当x=时，，

∴E为AD的中点．

（3）证明：由（2）知，

四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH）= ax +（1﹣x）a =2a为定值．