【数学】安徽省郎溪中学直升部2018-2019学年高二上学期第一次月考试题

安徽省郎溪中学直升部2018-2019学年

高二上学期第一次月考试题

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是( 　   )

 A．(-∞, -1]    B．[1, +∞）   

 C．[-1，1]    D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）

2. 已知是三个相互平行的平面．平面之间的距离为平面之间的距离为直线与分别相交于，那么“”是“”的( 　   )

   A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

   C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件

3. 已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则＝( 　   )

A.    B.    C.   D.

4. 下列命题中错误的是 ( 　   ) 

 A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

 B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

 C．如果平面，平面，，那么

 D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

5. 在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( 　   )

 A．    B．       C．    D．

6. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=( 　   )

 A．       B．    C．    D．

7. 设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于( 　   )

 A．         B．或2           C．2           D．

8. 如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是( 　   )

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

9.已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，为C的实轴长的2倍，C的离心率为( 　   )

A．            B．          C． 2        D． 3

10.已知直二面角α− −β，点A∈α，AC⊥，C为垂足，B∈β，BD⊥，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于( 　   )

 A．            B．              C．         D．1

11. 命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是( 　   )

 A．所有不能被2整除的数都是偶数         B．所有能被2整除的整数都不是偶数

 C．存在一个不能被2整除的数是偶数       D．存在一个能被2整除的数不是偶数

12. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为( 　   )

A．         B．            C．          D．1

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13.一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________

14. 在椭圆＋=1内有一点M(4, －1),使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程            .

15.设动圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。

C的圆心轨迹L的方程           

16．设集合,

, 若则实数m的取值范围是

______________

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分10分)

已知p：≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m<0)，且p是q的必要条件，求实数m的取值范围.

18．(本小题满分12分)

已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若p或q为真，q为假，求实数m的取值范围．

19. (本小题满分12分)

在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

20. (本小题满分12分)　

直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．

21. (本小题满分12分).

如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若

，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ） 求点到平面的距离；

（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．

22.(本小题满分12分)

椭圆的左顶点,过右焦点且垂直于长轴的弦长

为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于点,与轴交于点,过原点与平行的直线与椭圆交于点,求证:为定值.

参考答案

1-12、CCADB   DADBC  DC

13、6+  14、 x－y－5=0  15、x2 /4-y2＝1    16、[1/2,2+]

17.[解析]　p：由≥0，解得－2≤x<10，令A＝{x|－2≤x<10}．q：由x2－2x＋1－m2≤0可得[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，而m<0，∴1＋m≤x≤1－m，令B＝{x|1＋m≤x≤1－m}．∵p是q的必要条件，∴q⇒p成立，即B⊆A．

则，解得－3≤m<0．所以实数m的取值范围[－3,0)．

18．

[解]　由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.

∴命题p为真时，m>2或m<－2；命题p为假时，－2≤m≤2.

由不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R，得方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3.

∴命题q为真时，1<m<3；命题q为假时，m≤1或m≥3.

∵p或q为真，q为假，∴p真q假，

∴解得m<－2或m≥3.

∴实数m的取值范围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．

19.解法一：（1），

就是异面直线与所成的角，

即，……（2分）

连接，又，则

为等边三角形，……………………………4分

由，，

；………6分

（2）取的中点，连接，过作于，连接，

,平面

                             ………………8分

又，所以平面，即，

所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。…………10分

在中，，，,

，…………………………13分

因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分

说明：取的中点，连接，…………同样给分（也给10分）

解法二：（1）建立如图坐标系，于是，，，（）

，， …………3分

由于异面直线与所成的角，

所以与的夹角为即

………6分

（2）设向量且平面

于是且，即且， 

又，，所以，不妨设……8分

同理得，使平面，（10分）

设与的夹角为，所以依，

，………………12分

平面，平面，

因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分

说明：或者取的中点，连接，于是显然平面

20.

解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标为.

依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①

又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，

∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②

由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，

即(2－a)(x1＋x2)＝2，③

联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，

∴x1＋x2＝，④把④代入③，得(2－a)·＝2，

解得a＝，经检验符合题意，

∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.

故不存在满足题意的实数a.

21.解法一：  （I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，

则  F G .                   …2分

 又由已知有

 ∴四边形AEGF是平行四边形.       …4分

平面PCE，EG…………5分

   （II）

   …………3分

 . …………5分

   （III）由（II）知

直线FC与平面PCE所成角的正弦值为. …………4分

解法二：如图建立空间直角坐标系A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0）…2分

 （I）取PC的中点G，连结EG，        则G

22.【答案】解:(1),设过右焦点且垂直于长轴的弦为,将代入椭圆方程,解得,  故,可得 

所以,椭圆方程为 

(2)由题意知,直线斜率存在,故设为,则直线的方程为,直线的方程为.可得,则 

设,,联立方程组,

消去得:,

,,                              

则 

设与椭圆交另一点为,,联立方程组,

消去得,,

所以 

故.

所以等于定值