【数学】广西南宁市第三中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试题

广西南宁市第三中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试题

一、选择题（每题5分，共60分）

1．已知数据x1，x2，x3，…，x100是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(约100万元)，则相对于x，y，z，这101个数据(　　)

　　A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

　　B．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变

C．平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变

D．平均数变大，中位数可能不变，方差变大

2．下列有关命题的说法错误的是（      ）

　 A．若“”为假命题，则与均为假命题；

　 B．“”是“”的充分不必要条件；

　 C．若命题，则命题；

　 D．“”的必要不充分条件是“”.

3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)

A．   B．   C．   D．

4．与命题“”等价的命题是　(　　)

 A.　　　　　  B.

　 C.　　　　　  D.

5．将八进制数135(8)化为二进制数为(　　)

A．1110101(2) 　 B．1011101(2)  　　　 C．1010101(2)     D．1111001(2)

6．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为(　 )

A． 　　 B．　　 

C．　　   D．

7．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝，则实数m的值为(　　)

A．8   B．8.2 　　 　　　C．8.4   D．8.5

8．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出的值是，则整数的值为(　　)

A．4  　　　　 B．5　　　　

C．6  　　　 D．7

9．设p:,q:,若q是p的必要不充 

分条件,则实数的取值范围是(     )

A．     B．       C． D．

10．已知双曲线 的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线为 （    ）

　 A．     B．     C．     D．

11．设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为  (     )

 A．     B．1    C．2     D．不确定

12．已知椭圆C:()的右焦点为F，短轴的一个端点为M,直线l:交椭圆C于A、B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆C的离心率的取值范围为(    )

 A． B．    C． D．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为         .

14．有下列命题:

 ①“”是“”的充要条件;

 ②“”是“一元二次不等式的解集为R”的充要条件;

 ③“”是“直线平行于直线”的充分不必要条件;

 ④“”是“”的必要不充分条件.

 其中真命题的序号为            .

15．已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”为真，则参数的取值范围是　　　　　　　．

16． 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则          .

三、解答题（６小题，共70分）

17．（10分）在中，内角所对的边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

18．（12分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.

 （Ⅰ）求和的通项公式；

 （Ⅱ）求数列的前n项和.

19．(12分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，有五个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分频率分布直方图如图所示．

（1）请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个；

（2）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6)，[6，8)，[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；

（3）从（2）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．

20．（12分）如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上．

 （1）求证：平面平面；

 （2）（理科做）当时，求二面角的余弦值．

（2）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B到平面ADC的距离.

21．（12分）已知双曲线C:的离心率为,且.

 （1）求双曲线C的方程;

 （2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上,求的值.

22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

参考答案

1．D　[解析] 因为数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工2016年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x101比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．故选D.

2.D解析：因为“”“”但“”“”所以“”的必要不充分条件是“”这个说法是错误的.

3．C　[解析] 由题意知基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，其中满足数字之和为奇数的共4个，故所求概率为＝.

4．C【解析】其等价的命题为其逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3.

5．B　[解析]  先将八进制数135(8)化为十进制数93，再化为二进制数．

6．B　[解析] 设正方形的边长为2，那么图中阴影区域的面积，而正方形的面积S2＝4，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率P＝＝，故选B.

7．A　[解析] 依题意得， ，回归直线必经过样本点的中心，于是有＝0.8×200－155，由此解得m＝8，选A.

８．A [解析] 由题知S＝1＋＋＋＋＝1＋1－＝，所以a＝4.

9．A  [解析] 由2x2-x-1≤0,得≤x≤1.由x2-(2a-1)x+a(a-1)≤0,得a-1≤x≤a.因为q是p的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件（或p是q的必要不充分条件）,所以a-1≥且a≤1(等号不能同时取得),得≤a≤1.

10．B 解析：因为，所以，故选Ｂ.

11．C【解析】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，

设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m  ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a  ②

又∵∴，可得∠F1PF2=900，

故|PF1|2+|PF2|2=4c2③

①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④

将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，可得，

因此，.

故答案为：C

12．A [解析] 如图所示,设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则四边形AFBF'是平行四边形,

∴4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,∴a=2.不妨取M(0,b),

∵点M到直线l的距离不小于,∴≥,解得b≥1,

∴e==≤=,

∴椭圆E的离心率的取值范围是.

13．400　[解析] 设青年、中年、老年职员的人数分别为10k，8k，7k，其中k>0.由 ＝0.2，得k＝40，所以该单位青年职员共有40×10＝400(人)．

14．④   [解析] ①当x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件,故①为假命题;

②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,故②为假命题;

③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,所以a=2,因此,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件,故③为假命题;

④lg x+lg y=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0,所以xy=1必成立,

反之不然,因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件,故④为真命题.

综上可知,真命题是④.

15．(－3，＋∞)． 解：由已知得¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．

所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，

则所以

解得a≤－3，

因为¬p为假，所以a＞－3，

即a的取值范围是(－3，＋∞)．

16．16  解析：如图：

    同理

17．【解析】（1）在中，由，可得，

又由，得，

∴，得……………………5分

（2）由，可得，则

……………………10分

18．【解析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，所以.

又因为，解得.所以，.……………………3分

由，可得 ①.

由，可得 ②，

联立①②，解得，，由此可得.……………………6分

所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.

（II）解：设数列的前项和为，

由，，有，

故，……………………8分

，

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.……………………12分

19．解：(1)补全直方图如图所示．……………………2分

由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6，

(0.25＋0.2)×1×20＝9，(0.1＋0.05)×1×20＝3.

所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路   段分别为6个、9个、3个．……………………5分

 (2)由(1)知三个路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样从18个路段中抽取6个，由×6＝2，×9＝3，×3＝1，得这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1. ……………………8分

 (3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，1个严重拥堵路段为C1，

则从这6个路段选取2个路段的可能情况有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种可能．……………………10分

其中至少有1个路段为轻度拥堵的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9种可能．

所以所选2个路段中至少1个为轻度拥堵的概率为＝.……………………12分

20．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）设点在平面上的射影为点，连接，

则平面，所以．

因为四边形是矩形，所以，

所以平面，·························2分

所以．························3分

又，,所以平面，··············5分

而平面，所以平面平面．··············6分

（理科）（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

设，则，所以．················7分

由（1）知，又，所以，，

那么，，

，························8分

所以，所以，

设平面的一个法向量为，则，即．

取，则所以···················10分

因为平面的一个法向量为，···················11分

所以

所求二面角的余弦值为．···················12分

（文科）（2）作交于F，由（1）知平面BCD,

  平面ADC ··············8分

又由（1）知平面ABD,

··············10分

点B到平面ADC的距离为··············12分

21．解:(1)由题意得解得所以b2=c2-a2=2,

所以双曲线C的方程为x2=1. ……………………5分

 (2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).

由得x2-2mx-m2-2=0,因为判别式Δ=8m2+8>0, …………8分（判别式占1分）

所以x0==m,y0=x0+m=2m.因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,

故m=±1. ……………………12分

22. 【解析】（1）由题意知，，∴

当直线AB的斜率为0时， .

解得得.

∴椭圆的方程为.……………………4分

（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知

.……5分

②当两弦斜率均存在且不为0时，由（1）知，，

设直线AB的方程为，则直线CD的方程为.

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

，………………7分

解得，.

.……………………8分

同理,. ……………………9分

.

令，则，.

设

.

综合①与②可知，的取值范围是……………………12分