2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（理）试题

一、单选题

1．若复数，则其虚部为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．

【详解】

因为复数i．

所以复数的虚部1

故选：A．

【点睛】

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】解不等式得出集合B，根据交集的定义写出A∩B．

【详解】

,则

故选：C

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．

3．已知等比数列的各项均为正实数，其前项和为，若，，则（    ）

A．32 B．31 C．64 D．63

【答案】B

【解析】设首项为a1，公比为q，由，又a3＝4，可得q＝2，再利用求和公式即可得出．

【详解】

设首项为a1，公比为q>0，由，又a3＝4，

∴q＝2，

又因为，所以a1＝1，所以S5＝31，

故选：B．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．已知则(  )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得，=，由的性质可得a＜c，同理可得，=，由可得c＜b，可得答案.

【详解】

解：由题意得：，=，

在为单调递增函数，a＜c，

同理可得：，=，

在R上为单调递增函数，c＜b，

综上，

故选C.

【点睛】

本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小，需熟练掌握指数函数、幂函数的性质.

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意利用二倍角公式可得sinx+cosx，平方利用同角三角函数的基本关系，可得sin2x的值．

【详解】

∵sinx+2cos2sinx+cosx+1，∴sinx+cosx，平方可得1+2sinxcosx，

 则sin2x＝2sinxcosx，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

6．已知，则（    ）

A．81 B．80 C．65 D．64

【答案】B

【解析】分别令，代入原式，即可求出结果.

【详解】

因为

令，可得，即；

令，可得：，即，

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理即可，属于常考题型.

7．已知变量，满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由约束条件作出可行域，再由z的几何意义求解得答案．

【详解】

由变量x，y满足作出可行域如图：

A（2，3），解得B（，），

z的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．

∵kDA4，kDB13．

∴z的取值范围是[﹣13，﹣4]．

故选：B．

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

8．已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.

【详解】

由，两边同时平方得=，

则有3=4+1+2=5+22cos，

∴cos，，故选D.

【点睛】

本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.

9．一个几何体的三视图如图所示．则其体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由三视图还原该几何体，得到几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，再根据图中数据，结合棱柱与棱锥的体积公式即可得出结果.

【详解】

由三视图还原该几何体如下：

该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，

因此其体积为：.

故选：C

【点睛】

本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征，以及棱锥与棱柱的体积公式即可，属于常考题型.

10．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三角形全等可得∠ABD＝∠ACD＝90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．

【详解】

∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边，

∴△ABD≌△ACD，

又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，

设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC，

∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心．

∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，

∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，

∴棱锥外接球的最小半径为AD，

∴外接球的最小体积为V．

故选：C．

【点睛】

本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，确定球心位置是解题的关键，属于中档题．

11．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.

详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，

则当时，得，即，

则满足，

则，即，则，

设，则，

当，解得，当，解得，

当时，函数取得最小值，

当时，；

当时，，

所以，即的取值范围是，故选A.

点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.

12．已知实数满足，，则的最大值为（  ）

A． B．2 C． D．4

【答案】D

【解析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可.

【详解】

设点在圆上，且，

原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，

如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，

作直线于点，直线于点，

取的中点，作直线于点，

由梯形中位线的性质可知，

当直线时，直线方程为，

两平行线之间的距离：，

由圆的性质，

综上可得：的最大值.

本题选择D选项.

【点睛】

本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题

13．的值为________．

【答案】1

【解析】根据微积分基本定理，可直接计算出结果.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查求定积分，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.

14．已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为（0，b），渐近线方程为y＝bx，运用点到直线的距离公式可得b，再由离心率公式，可得所求值．

【详解】

设双曲线虚轴的一个端点（0，b）到

它的一条渐近线y＝bx（b＞0）的距离为，

可得，

解得b，

则双曲线的离心率e2，

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

15．已知递增的等差数列的前n项和为，且，．若，数列的前项和为，则________．

【答案】

【解析】先由数列为递增的等差数列，得到，公差，根据，，求出首项与公差，得到，求出，根据裂项相消的方法即可求出结果.

【详解】

因为为递增的等差数列，所以，公差，

又为等差数列的前n项和，，

所以，即，

由，解得：或，所以或（舍）；

因此，

所以，

又数列的前项和为，

所以

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查求数列的和，熟记裂项相消法，以及等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.

三、解答题

16．已知函数，，且，，恒成立，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】先由恒成立，得到恒成立，令，得到在上恒成立，所以函数在区间上单调递减，对函数求导，得到在上恒成立，推出在上恒成立，令，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.

【详解】

因为，，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

令，则在上恒成立，

即函数在区间上单调递减，

又，

因此在上恒成立，

当时，不等式可化为显然成立；

当时，不等式可化为，

令，

则在区间上恒成立，

所以函数在区间上单调递减，

因此，所以，

即实数a的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查由不等式恒成立求参数，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.

17．某调查机构为了解人们对某个产品的使用情况是否与性别有关，在网上进行了问卷调查，在调查结果中随机抽取了份进行统计，得到如下列联表：

（1）请根据调查结果分析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；

（2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人参加某项活动，记被抽中参加该项活动的女性人数为，求的分布列和数学期望．

附：，

【答案】（1）有把握认为使用该产品与性别有关（2）详见解析

【解析】（1）由题中数据，根据得到的观测值，根据临界值表，即可得出结果；

（2）由题意，根据分层抽样的方法得到抽取人则男性应抽取人，女性应抽取人，再从中随机抽取人参加某项活动，记女生的人数为，由题意确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而可得出分布列，求出期望.

【详解】

（1）由题中数据可得,

，

由于，所以有把握认为使用该产品与性别有关．

（2）由列联表知，不使用该产品的人数为，其中男性人，女性人，按性别用分层抽样抽取人则男性应抽取人，女性应抽取人，再从中随机抽取人参加某项活动，记女生的人数为，则的所有可能取值为：，，，

且，，，

所以的概率分布列为

数学期望为：．

【点睛】

本题主要考查独立性检验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记独立性检验的基本思想，以及离散型随机变量的分布列与期望的概念即可，属于常考题型.

18．已知，，分别是的三个内角，，的对边，且.

（1）求角的值；

（2）若，边上的中线的长为，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：

（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．

【详解】

（1）由及正弦定理得：，

即，

即，

即，

因为，所以，则，又，所以.

（2）在中，，，，由余弦定理得

，所以，所以（负值舍去），

又为中点，所以.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

19．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.

【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E的位置.

试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，

∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），C1（0，0，），B1（﹣，0，），

∴=（0，2，﹣），

设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）

设平面AC1E的一个法向量为=（x，y，z），由，得，

令z=，取=（，1，），

又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）

所以cos＜，＞===，解得λ=．

所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．

【考点】1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.

【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.

20．已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.

（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；

（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设中点，利用点差法得，由点在椭圆内部得，即可求解k的范围

（2）向量坐标化得，，弦长公式得由点在椭圆上，得，进而得AB方程，与椭圆联立得，则可求

【详解】

（1）设，，则，，

两式相减得：，

由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，

设其斜率为，由式得，即.

由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得.

又，所以斜率的取值范围为.

（2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，

所以，，设，则，

，，，

同理可得，因为点在椭圆上，所以，

解得.当时，，直线的方程为，

代入得，由根与系数关系得.

则.

由对称性知，当时也成立，.

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键，是中档题

21．已知函数．

（1）当时，求函数在上的最小值；

（2）若，求证：．

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）由得，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；

（2）先对函数求导，得到，根据，判断函数的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究最小值的范围，即可证明结论成立.

【详解】

（1）当时，由，得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，∴．

（2）由题意，函数的定义域为，，

令，，则，设，则，

易知在上单调递增，

∵，∴，，所以存在唯一的，使，

当时，单调递减，当时，，单调递增，

又∵，，

∴当时，，即在上无零点，

∴存在唯一的，使，即，

∵，∴，则．

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增．

∴，．

令，则在上单调递减，

∵∴，又∵∴，从而．

【点睛】

本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型.

22．已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.

【答案】（1）直线：，曲线：；（2）

【解析】（1）利用 化极坐标方程；

（2）由题极坐标方程为：，进而得，

，利用面积公式求解即可

【详解】

（1）则直线的方程为：，∴极坐标方程为：；

曲线的方程：，即，∴极坐标方程为：.

（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，则极坐标方程为：，

设，，则，，

所以的面积.

【点睛】

本题考查极坐标与普通方程的应用，考查极坐标的几何意义，考查面积公式，准确应用几何意义是关键，是基础题

23．已知函数．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）当时，，分类讨论，即可求解不等式的解集；

（Ⅱ）把不等式都成立，转化为恒成立，分类讨论即可求解．

【详解】

（Ⅰ）由题意，当时，，

故或或，

解得：或，

故不等式的解集是；

（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，

则恒成立，

当时，恒成立，故，解得：，

当时，，解得：，

综上，．

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．