2020高考数学一轮复习检测：第11章 第2节　参数方程(含解析)

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A级　基础夯实练

1．(2018·湖南五市十校高三联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ－6sin θ，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；

(2)若直线l与圆C交于不同的两点P，Q，且|PQ|＝4，求直线l的斜率．

解：(1)由ρ＝4cos θ－6sin θ，得ρ2＝4ρcos θ－6ρsin θ，

将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入，可得x2＋y2－4x＋6y＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心的坐标为(2，－3)，半径为.

(2)由直线l的参数方程知直线l过定点(4,0)，且由题意知，直线l的斜率一定存在．

设直线l的方程为y＝k(x－4)．

因为|PQ|＝4，所以＝3，

解得k＝0或k＝－.

所以直线l的斜率为0或－.

2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．

(2)设D(1＋cos t，sin t)．

由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．

因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.

故D的坐标为，即.

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0，曲线C2的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ＜2π.

解：(1)依题意，将代入x2＋y2＋2x－4＝0，可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.

由得y2＝x，将代入上式化简得ρsin2 θ＝cos θ，

故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2 θ＝cos θ.

(2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1或x＝－4(舍去)，

当x＝1时，y＝±1，即C1与C2交点的直角坐标为A(1,1)，B(1，－1)．

∵ρA＝，ρB＝，tan θA＝1，tan θB＝－1，ρ≥0,0≤θ＜2π，

∴θA＝，θB＝，

故曲线C1与C2交点的极坐标为A，B.

4．(2018·四川成都七中期中)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，.

(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的直角坐标方程；

(2)判断直线l与圆C的位置关系．

解：(1)M，N的直角坐标分别为(2,0)，，于是点P的坐标为，

所以直线OP的直角坐标方程为y＝x，即x－y＝0.

(2)直线l的方程为x＋y－2＝0，

圆C的方程为(x－2)2＋(y＋)2＝4，

圆心C(2，－)到l的距离d＝＜2，

所以直线l与圆C相交．

B级　能力提升练

5．(2018·河北承德实验中学期中)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.

(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．

解：(1)由消去参数t，得

(x＋5)2＋(y－3)2＝2，

所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.

由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，B，

设P点的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t)，则P点到直线l的距离d＝

＝，

所以dmin＝＝2，又|AB|＝2，

所以△PAB面积的最小值为×2×2＝4.

6．(2018·广西桂林综合模拟金卷)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ＝asin θ，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)若a＝2，M是直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最小值；

(2)若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．

解：(1)当a＝2时，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，可化为ρ2＝2ρsin θ，

化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.

直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0，与x轴的交点M的坐标为(2,0)，

∵圆心(0,1)与点M(2,0)间的距离为，

∴|MN|的最小值为－1.

(2)ρ＝asin θ可化为ρ2＝aρsin θ，

∴圆C的直角坐标方程为x2＋2＝.

∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，

∴圆心到直线l的距离为圆C半径的一半，

∴＝×，

解得a＝32或a＝.

7．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0，其中0≤α＜π)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．

所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

8．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l1的方程为kx－y＋k＝0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2的极坐标方程为cos θ－2sin θ＝.

(1)写出曲线C的普通方程和直线l2的直角坐标方程；

(2)若l1与C交于不同的两点M，N，MN的中点为P，l1与l2的交点为Q，l1恒过点A，求|AP|·|AQ|.

解：(1)由曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝16，

由cos θ－2sin θ＝，得ρcos θ－2ρsin θ＝4，

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得直线l2的直角坐标方程为x－2y－4＝0.

(2)设M，N，Q所对应的参数分别为t1，t2，t3，

由题意得直线l1恒过点A(－1,0)，

故l1的参数方程为(t为参数)，

代入曲线C的普通方程得t2＋4t(cos α－2sin α)＋4＝0，

则t1＋t2＝4(2sin α－cos α)，

将代入x－2y－4＝0，

整理得t3＝，

则|AP|·|AQ|＝·|t3|＝2|2sin α－cos α|·＝10.