2020年高考数学一轮复习教案：第8章 第8节 第2课时 范围、最值问题(含解析)
展开第2课时 范围、最值问题
范围问题 |
【例1】 (2018·贵阳监测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．
[解] (1)设椭圆的半焦距长为c，
则由题设有
解得a＝，c＝，∴b2＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，
将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，
Δ＝12k2－12，x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，
|AB|＝|x1－x2|＝·
＝＝，
由题意可得解得k4≥13，
即k≥或k≤－.
故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
[规律方法] 求参数范围的四种方法
1函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
2不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.
3判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围.
4数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.
(2019·临沂摸底考试)已知点F为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
[解] (1)由题意得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.
由得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M，
∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，∴|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋)(2－)＝1，
∴由λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0，∴k2＞，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，
∴λ＝，∵k2＞，∴＜λ＜1，
综上所述，λ的取值范围是.
最值问题 |
►考法1 利用几何性质求最值问题
【例2】 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.]
►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值
【例3】 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
[解] (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，
l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
►考法3 建立函数关系利用导数求最值问题
【例4】 (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)－<x<.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解] (1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－<x<，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
[规律方法] 圆锥曲线中最值问题的解决方法
1代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.
2几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.
(2019·邢台模拟)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
[解] (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，
解得b＝－，②
由①②得m＜－或m＞.
故m的取值范围是∪.
(2)令t＝∈∪，则t2∈.
则|AB|＝·，
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝≤，
当且仅当t2＝时，等号成立，此时满足t2∈.
故△AOB面积的最大值为.
(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解] (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
