2021届高考物理人教版一轮创新教学案：实验专题2　第9讲　探究弹力和弹簧伸长的关系

第9讲　探究弹力和弹簧伸长的关系

基础命题点　课本原型实验

一、实验目的

1．探究弹力和弹簧伸长的关系。

2．学会利用图象法处理实验数据，探究物理规律。

二、实验器材

铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码(若干)、三角板、铅笔、重垂线、坐标纸等。

三、实验原理

1．弹簧受力会发生形变，形变的大小与受到的外力有关。沿着弹簧伸长的方向拉弹簧，当形变稳定时，弹簧产生的弹力与使它发生形变的拉力大小相等。

2．用悬挂法测量弹簧的弹力所运用的正是弹簧的弹力与挂在弹簧下面的钩码的重力大小相等这一原理。

3．弹簧的长度可用刻度尺直接测出，伸长量可以由拉长后的长度减去弹簧原来的长度进行计算，这样就可以研究弹簧的弹力和弹簧伸长量之间的定量关系了。

四、实验步骤与数据处理

1．如图所示，将铁架台放在水平桌面上(固定好)，将弹簧的一端固定于铁架台的横梁上，在靠近弹簧处将刻度尺(最小刻度为1 mm)固定于铁架台上，并用重垂线检查刻度尺是否竖直。

2．记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度L0。

3．在弹簧下端挂上一个钩码，待钩码静止后，记下弹簧下端所对应的刻度L1。

4．用上面的方法，记下弹簧下端挂2个、3个、4个……钩码时弹簧下端所对应的刻度L2、L3、L4……，并将所得数据记录在表格中。

5．用xn＝Ln－L0计算出弹簧下端挂1个、2个、3个……钩码时弹簧的伸长量，并根据当地重力加速度值g计算出所挂钩码的总重力，这个总重力就等于弹簧弹力的大小，将所得数据填入表格。

6．根据所测数据在坐标纸上描点，最好以弹簧弹力为纵坐标，以弹簧的伸长量为横坐标。

7．按照图中各点的分布与走向，尝试作出一条平滑的曲线(包括直线)。所描的点不一定正好都在这条曲线上，但要注意使曲线两侧的点数大致相同。

8．以弹簧的伸长量为自变量，写出曲线所代表的函数，首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数……。

9．解释函数表达式中常数的物理意义。

五、误差分析

1．钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确会带来误差。

2．画图时描点及连线不准确也会带来误差。

[例1]　(2019·北京高考模拟)甲、乙两名同学准备对实验室新买的弹簧进行实验研究，以探究弹簧弹力与伸长量之间的关系。

(1)以下是甲同学根据自己的设想拟定的实验步骤，请按合理的操作顺序将步骤的序号写在横线上________。

A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组数据(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来

B．记下弹簧不挂钩码时，其下端在刻度尺上的刻度L0

C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一刻度尺

D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，在钩码静止时，记下弹簧下端所对应的刻度并记录在表格内，然后取下钩码

E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与弹簧伸长量的关系式

F．解释函数表达式中常数的物理意义

(2)乙同学做该实验时，未进行实验步骤B的操作，而是把弹簧平放在水平桌面上，测量出弹簧的自然长度记为L0。在操作步骤E中，是采用弹簧挂钩码时的长度减去L0作为弹簧伸长量。其余步骤与甲同学相同。不考虑其他因素引起的误差，弹簧伸长始终在弹性限度内，乙同学作出的图象应是下图中的________。

解析　(1)先组装实验器材，测定弹簧不挂重物时的长度，即CB，然后进行实验，在弹簧下端挂上钩码，测量挂上不同钩码的弹簧长度，即D，最后进行数据处理，即AEF，所以先后顺序为CBDAEF。

(2)由于弹簧自身重力的影响，弹簧平放在水平桌面上的自然长度L0小于弹簧竖直放置的自然长度。设弹簧竖直放置的自然长度比弹簧平放在水平桌面上的自然长度长x0，竖直悬挂钩码时，根据胡克定律得，F＝k(x－x0)＝kx－kx0，知F与x成一次函数关系，F­x图象的斜率表示弹簧的劲度系数，且横截距为x0，故B正确。

答案　(1)CBDAEF　(2)B

实验注意事项

(1)安装实验装置：要保持刻度尺竖直并靠近弹簧。

(2)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免超过弹簧的弹性限度。

(3)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。

(4)观察所描点的走向：不要画折线。描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布在直线的两侧。

(5)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。

[例2]　在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，小明同学用如图甲所示的实验装置进行实验：将该弹簧竖直悬挂，在自由端挂上砝码盘，通过改变盘中砝码的质量，用刻度尺测出弹簧对应的长度，测得实验数据如下表：

(1)小明同学根据实验数据在坐标纸上用描点法画出x­m图象如图乙所示，根据图象他得出结论：弹簧弹力与弹簧伸长量不是正比例关系，而是一次函数关系。他的结论错误的原因是：________________________________________。

(2)作出的图线与坐标系纵轴有一截距，其物理意义是：________________________，该弹簧的劲度系数k＝________ N/m(取g＝10 m/s2，结果保留三位有效数字)。

(3)请你判断该同学得到的实验结果与考虑砝码盘的质量相比，结果________。(填“偏大”“偏小”或“相同”)

解析　(1)在x­m图象中，x表示弹簧的长度而不是弹簧的伸长量，故他得出弹簧弹力与弹簧伸长量不是正比例关系而是一次函数关系的错误结论。

(2)图线的纵截距表示未加砝码时弹簧的长度。弹簧的劲度系数

k＝＝＝ N/m≈25.9 N/m。

(3)根据公式ΔF＝kΔx计算出的劲度系数，与是否考虑砝码盘的质量没有关系，故结果相同。

答案　(1)x­m图象的纵坐标不是弹簧的伸长量

(2)未加砝码时弹簧的长度　25.9

(3)相同

(1)F­x图象和F­l图象的斜率均表示弹簧的劲度系数，与弹簧原长无关。

(2)在图象F­x中图线有时不通过原点，应考虑弹簧的原长或自重的影响。

(3)悬挂钩码的质量与实际质量不相符时，会使弹簧劲度系数的测量有误差，质量相差越大，误差越大。

1．(2015·福建高考)某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验。

(1)图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量Δl为________ cm。

(2)本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是________。(填选项前的字母)

A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重

B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重

(3)图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是________________________________。

答案　(1)6.93　(2)A　(3)超过弹簧的弹性限度

解析　(1)图乙的示数为14.66 cm，所以弹簧的伸长量为(14.66－7.73) cm＝6.93 cm。

(2)为了得到较多的数据点，应逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码弹簧的长度和对应钩码的总重力，即A正确。

(3)不遵循胡克定律，说明超出了弹簧的弹性限度。

2．在“探究弹力和弹簧伸长的关系”实验中。

(1)某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的图象如图甲所示。下列表述正确的是(　　)

A．a的原长比b的长

B．a的劲度系数比b的大

C．a的劲度系数比b的小

D．测得的弹力与弹簧的长度成正比

(2)为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码。实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图乙上标出。作出m­l的关系图线如图乙所示。弹簧的劲度

系数为________ N/m(取g＝10 m/s2，结果保留三位有效数字)。

(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏________。

答案　(1)B

(2)如图所示　0.266(0.260～0.270均正确)

(3)大

解析　(1)横轴截距是原长，b的原长比a的长，A错误；斜率表示劲度系数，a的劲度系数比b的大，B正确，C错误；弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，D错误。

(2)k＝＝＝ N/m≈0.266 N/m。

(3)钩码实际质量偏小，但计算中按标值处理，即力偏大，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏大。

能力命题点　实验改进与创新

本实验的改进和创新一般是在课本实验基本原理的基础上进行的。

(2019·广东模拟)某同学在研究性学习中，利用所学的知识解决了如下问题：把一开口向右、内壁光滑、深度为h＝0.25 m的小圆筒水平固定在桌面上，同时把一轻弹簧一端固定于小圆筒内部左端，没有外力作用时弹簧的另一端位于筒内。如图甲所示，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒外弹簧的长度l，现要测出弹簧的原长l0和弹簧的劲度系数，该同学通过改变所挂钩码的个数来改变l，作出F­l图线如图乙所示。

(1)由此图线可得出的结论是________________________________。

(2)弹簧的劲度系数为________ N/m，弹簧的原长l0＝________ m。

(3)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比较，优点在于________________________________________。

解析　(1)从图乙中可以看出为定值，即弹簧弹力和弹簧形变量成正比。

(2)当外力为零时弹簧的长度为原长l0。

根据胡克定律可得F＝k(h＋l－l0)＝kl＋k(h－l0)，图乙中的斜率表示弹簧的劲度系数，故有k＝＝ N/m＝100 N/m，从图乙中得出当l＝0时，F＝10 N，代入可得l0＝0.15 m。

(3)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，优点在于避免弹簧自身所受重力对实验的影响。

答案　(1)弹簧弹力和弹簧形变量成正比

(2)100　0.15

(3)水平放置可以消除由于弹簧自身重力造成的误差

要在课本实验的基础上注重迁移创新能力的培养，善于用课本中实验的基本原理、方法和技巧处理新问题。

1．图1为某物理兴趣小组测定弹簧劲度系数的实验装置。弹簧下端固定在水平桌面上，上端连接一托盘P，在托盘P下方和桌面上方同一竖直线上安装有光电测距仪A和B，通过数据线可以将二者间的距离信息输入到电脑，距离测量精度可达到0.1 mm。实验时，小组同学将6个规格为m＝50 g的砝码逐个放在托盘P上，每加放一个砝码待系统静止后均打开光电测距电路开关进行测距，测距结果直接输入电脑，测距完成关闭测距开关，然后将对应的托盘上放置砝码的数目信息输入电脑，形成一组测量数据。实验过程中弹簧始终保持竖直且在弹性限度内。实验完成后小组同学在电脑上对坐标轴和坐标轴所表示物理量的单位进行了设置，纵轴表示托盘P上砝码的总重力F与单个砝码重力mg的比值；横轴表示A、B间的距离h，单位设置为cm。设置完成后，电脑系统根据实验数据自动拟合出­h图象如图2所示，已知当地的重力加速度为9.8 m/s2。

(1)根据图2可求出弹簧的劲度系数k＝________ N/m。(结果保留一位小数)

(2)输入电脑的数据没有托盘和弹簧的重力，这一疏漏对测量结果________(选填“有影响”或“无影响”)。

(3)针对实验小组在电脑上的设置操作，请你提出一条提高测量精度的改进建议：________________________________。

答案　(1)11.4　(2)无影响　(3)将横轴h的单位设置成mm

解析　(1)由图象可知，托盘上无砝码时，弹簧的长度为0.28 m，每次添加砝码后系统静止，由平衡条件可得，托盘上砝码总重力F＝k(0.28－h)，即n＝＝(0.28－h)，故该图象的斜率为－，即＝－，解得劲度系数k≈11.4 N/m。

(2)输入电脑的数据没有托盘和弹簧的重力，这一疏漏对测量无影响，因为弹簧的形变量和受力成正比，满足k＝。

(3)为了提高实验的精度，可将轴h的单位设置成mm，提高h的显示精度。

2．(2020·广东省实验中学高三上段考)将两根自然长度相同、劲度系数不同、粗细也不同的弹簧套在一起，看做一根新弹簧，设原粗弹簧(记为A)劲度系数为k1，原细弹簧(记为B)劲度系数为k2，套成的新弹簧(记为C)劲度系数为k3，关于k1、k2、k3的大小关系，同学们做出了如下猜想：

甲同学：和电阻并联相似，可能是＝＋

乙同学：和电阻串联相似，可能是k3＝k1＋k2

丙同学：可能是k3＝

(1)为了验证猜想，同学们设计了相应的实验(装置见图甲)。

(2)简要实验步骤如下，请完成相应填空。

①将弹簧A悬挂在铁架台上，用刻度尺测量弹簧A的自然长度L0；

②在弹簧A的下端挂上钩码，记下钩码的个数n、每个钩码的质量m和当地的重力加速度大小g，并用刻度尺测量弹簧的长度L1；

③由F＝________计算弹簧的弹力，由x＝L1－L0计算弹簧的伸长量，由k＝计算弹簧的劲度系数；

④改变________，重复实验步骤②、③，并求出弹簧A的劲度系数的平均值k1；

⑤仅将弹簧分别换为B、C，重复上述操作步骤，求出弹簧B、C的劲度系数的平均值k2、k3，比较k1、k2、k3，并得出结论。

(3)图乙是实验得到的图线，由此可以判断________同学的猜想正确。

答案　(2)③nmg　④钩码的个数　(3)乙

解析　(2)③根据共点力平衡可知，弹簧的弹力为：

F＝nmg；

④要求出弹簧A的劲度系数的平均值k1，需要改变钩码的个数，重复实验步骤②、③。

(3)由图可知：k1＝ N/m＝25 N/m，k2＝ N/m＝37.5 N/m，k3＝ N/m＝62.5 N/m，满足k3＝k1＋k2，故乙同学的猜想正确。

课时作业

1．(2018·全国卷Ⅰ)如图a，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一标尺由游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐的装置，简化为图中的指针。

现要测量图a中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻度线对准指针，此时标尺读数为1.950 cm；当托盘内放有质量为0.100 kg的砝码时，移动游标，再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图b所示，其读数为________ cm。当地的重力加速度大小为9.80 m/s2，此弹簧的劲度系数为________ N/m(保留三位有效数字)。

答案　3.775　53.7

解析　游标卡尺精度为0.05 mm，游标卡尺上游标第15条刻度线与主尺刻度线对齐，根据游标卡尺的读数规则，题图b所示的游标卡尺读数为3.7 cm＋15×0.05 mm＝3.7 cm＋0.075 cm＝3.775 cm。托盘中放有质量为m＝0.100 kg的砝码时，弹簧弹力增加F＝mg＝0.100×9.8 N＝0.980 N，弹簧伸长量增加x＝3.775 cm－1.950 cm＝1.825 cm＝0.01825 m，根据胡克定律，F＝kx，解得此弹簧的劲度系数k＝＝53.7 N/m。

2．(2019·海南高考)某同学利用图a的装置测量轻弹簧的劲度系数。图中，光滑的细杆和直尺水平固定在铁架台上，一轻弹簧穿在细杆上，其左端固定，右端与细绳连接；细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂砝码(实验中，每个砝码的质量均为m＝50.0 g)。弹簧右端连有一竖直指针，其位置可在直尺上读出。实验步骤如下：

①在绳下端挂上一个砝码，调整滑轮，使弹簧与滑轮间的细线水平且弹簧与细杆没有接触；

②系统静止后，记录砝码的个数及指针的位置；

③逐次增加砝码个数，并重复步骤②(保持弹簧在弹性限度内)；

④用n表示砝码的个数，l表示相应的指针位置，将获得的数据记录在表格内。

回答下列问题：

(1)根据下表的实验数据在图b中补齐数据点并作出l­n图象。

(2)弹簧的劲度系数k可用砝码质量m、重力加速度大小g及l­n图线的斜率a表示，表达式为k＝________。若g取9.80 m/s2，则本实验中k＝________ N/m(结果保留三位有效数字)。

答案　(1)图见解析　(2)　102

解析　(1)作出l­n图象如图所示。

(2)由胡克定律：nmg＝k(l－l0)，即l＝n＋l0，则＝a，解得k＝；由图线可知a＝ cm＝0.48 cm，解得k＝ N/m≈102 N/m。

3．(2014·全国卷Ⅱ)某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。实验装置如图a所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度。设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x。测量及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm。

(1)将表中数据补充完整：①________，②________。

(2)以n为横坐标，为纵坐标，在图b给出的坐标纸上画出 ­n的图象。

(3)图b中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝________N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k＝________N/m。

答案　(1)①81.7　②0.0122　(2) ­n图象如图所示

(3)在～之间均可　在～之间均可

解析　(1)由胡克定律有k＝

＝ N/m＝81.7 N/m，

故有＝0.0122 m/N。

(2)作图过程略，图见答案。

(3)因 ­n图线是一条过原点的直线，由图可得图线的斜率＝5.71×10－4 m/N，故有＝5.71×10－4×n m/N，即k＝(N/m)，由题知，n＝60时l0＝11.88 cm，可知n＝l0，代入得k＝(N/m)。

4．(2020·广东省深圳市高级中学高三上学期测试)某同学为研究橡皮筋伸长与所受拉力的关系，做了如下实验：

①如图甲所示，将白纸固定在制图板上，橡皮筋一端固定在O点，另一端A系一小段轻绳(带绳结)；将制图板竖直固定在铁架台上。

②将质量为m＝100 g的钩码挂在绳结上，静止时描下橡皮筋下端点的位置A0；用水平力拉A点，使A点在新的位置静止，描下此时橡皮筋下端点的位置A1；逐步增大水平力，重复5次……

③取下制图板，量出A1、A2、……各点到O的距离l1、l2……；量出各次橡皮筋与OA0之间的夹角α1、α2……

④在坐标纸上作出­l的图象如图乙。

完成下列填空：

(1)已知重力加速度为g，当橡皮筋与OA0间的夹角为α时，橡皮筋所受的拉力大小为________(用g、m、α表示)。

(2)取g＝10 m/s2，由图乙可得橡皮筋的劲度系数k＝________ N/m，橡皮筋的原长l0＝________ m。

答案　(1)　(2)100　0.21

解析　(1)对结点受力分析，根据共点力的平衡条件可知mg＝Tcosα，解得T＝。

(2)在竖直方向，合力为零，则klcosα＝mg，解得＝，故图线的斜率k′＝，由图象可知斜率k′＝100 m－1，故k＝mgk′＝100 N/m；由图象可知，直线与横轴的交点横坐标即为橡皮筋的原长，故橡皮筋的原长为0.21 m。

5．(2019·湖北高考模拟)橡皮筋也像弹簧一样，在弹性限度内，弹力F与伸长量x成正比，即F＝kx，k的值与橡皮筋未受到拉力时的长度L、横截面积S有关，理论与实践都表明k＝Y，其中Y是一个由材料决定的常数，材料力学上称之为杨氏模量。

(1)在国际单位制中，杨氏模量Y的单位应该是________。

A．N  B．m

C．N/m  D．N/m2

(2)有一段横截面是圆形的橡皮筋，应用如图甲所示的实验装置可以测量出它的杨氏模量Y。首先利用刻度尺测出橡皮筋未受拉力时的长度L，然后用螺旋测微器测出橡皮筋的直径d，如图乙所示，则d＝________ mm。

(3)作出橡皮筋受到的拉力F与伸长量x的关系图象，该图象为一条倾斜的直线，其斜率为k0，则该橡皮筋的杨氏模量Y＝________(用k0、d、L表示)。

答案　(1)D　(2)5.695(5.693～5.697均可)　(3)

解析　(1)根据表达式k＝Y得：Y＝。已知k的单位是N/m，L的单位是m，S的单位是m2，所以Y的单位是N/m2，故选D。

(2)螺旋测微器的固定刻度为5.5 mm，可动刻度为19.5×0.01 mm＝0.195 mm，所以橡皮筋的直径d＝5.5 mm＋0.195 mm＝5.695 mm。

(3)根据F＝kx可知，图象的斜率k0等于劲度系数，根据k＝Y可知Y＝＝。