2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第五章第二节平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示

一、基础知识批注——理解深一点
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
2．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　 　　 　　　　　　　　


(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．　　　　
二、基础小题强化——功底牢一点

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　
(二)选一选
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(　　)
A．(－2，－1) 　B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：选D　因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1,1)－(1，－1)＝－＝(－1,2)．
2．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝b＋a，故选B.
3．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴＝＝，
∴＝.
(三)填一填
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则 λ＝________.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝.
答案：
5．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：因为＝3，所以＝＝(a＋b)，又因为＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案：－a＋b


考点一　平面向量基本定理及其应用
[典例]　如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，＝，＝，用a，b表示，，.
[解]　∵＝－＝a－b，
＝＝a－b，
∴＝＋＝a＋b.
∵＝a＋b，
∴＝＋
＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
[解题技法]
1．平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
2．应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
[题组训练]
1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b　　　　　　 　B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析：选A　由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2．已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：依题意，设＝λ (0<λ<1)，
由＋＋＝0，知＝－(＋)，
所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2,0)．
答案：(－2,0)

[典例]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求M，N的坐标及向量的坐标．
[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
[变透练清]
1.本例条件不变，若a＝mb＋nc，则m＝________，n＝________.
解析：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)，
∴
解得
答案：－1　－1
2．已知O为坐标原点，向量＝(2,3)，＝(4，－1)，且＝3，则||＝________.
解析：设P(x，y)，由题意可得A，B两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由＝3，可得
解得故||＝.
答案：

[解题技法]
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．

[典例]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
[解题技法]
1．平面向量共线的充要条件的2种形式
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2．两个向量共线的充要条件的作用
判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．
[题组训练]
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的取值为(　　)
A．－　　　　　　　　 　B.
C．－3 D．3
解析：选A　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
则由(ka＋b)∥(a－3b)得
(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－.
2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝(　　)
A．－3 B．3
C．1 D．－1
解析：选D　设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，
∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)

1．(2019·昆明调研)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝(　　)
A.　　　　　　　　 　B．2
C. D．10
解析：选C　由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝＝.故选C.
2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．
3．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
4．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选C　如图，因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
5．已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在直线AB上，则实数m＝(　　)
A．－12 B．13
C．－13 D．12
解析：选C　因为点C在直线AB上，所以与同向．又＝(－7，－2)，＝(2m－9，m＋3)，故＝，所以m＝－13.故选C.
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B.
C．2 D．4

解析：选A　因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
7．已知||＝1，||＝，⊥， 点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n (m，n∈R)，则等于(　　)
A. B．3
C. D.
解析：选B　如图，由已知||＝1，||＝，⊥，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝，CD＝，所以＝，＝ ，即＝＋，所以＝3.
8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B　以点A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，所以λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得所以λ＋μ＝.
9．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴
∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
10．已知向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝________.
解析：因为a＋b＝(5,2m)≠0，
所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0得2|a|－|b|＝0，
所以|b|＝2|a|，
所以＝2，解得m＝±2.
答案：±2
11．(2019·南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝________.
解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，
∴由|a|＝2，得m2＋n2＝20，　①
由a＝λb(λ<0)，得　②
由①②，解得m＝－2，n＝4.
∴m－n＝－6.
答案：－6
12．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
即10x＝5，解得x＝.
答案：
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n (m，n∈R)，用x，y表示m－n.
解：(1)∵＋＋＝0，＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴解得x＝2，y＝2，
即＝(2,2)，故||＝2.
(2)∵＝m＋n，＝(1,2)，＝(2,1)．
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
即两式相减，得m－n＝y－x.